高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章 平面向量與復(fù)數(shù) 課件

第五章平面向量與復(fù)數(shù)第一講平面向量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求考情分析1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個(gè)向量相等的含義.理解平面向量的幾何表示和基本要素.2.借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.1.本講主要考查平面向量的線性運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘)及其幾何意義、共線向量定理，常與三角函數(shù)、解析幾何交匯考查，有時(shí)也會有創(chuàng)新的新定義問題.課標(biāo)要求考情分析3.通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個(gè)平面向量共線的含義.4.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義2.題型以選擇題、填空題為主，屬于中低檔題目.偶爾會在解答題中作為工具出現(xiàn)(續(xù)表)名稱定義備注向量既有大小又有方向的量平面向量是自由向量零向量長度為0的向量記作0單位向量長度等于1個(gè)單位長度的向量非零向量a的單位向

量為±

1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注

共線向量(平行向量)方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量記作a＝b(續(xù)表)向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算幾何意義a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λ

a|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μ

a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(續(xù)表)3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【名師點(diǎn)睛】題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列關(guān)于平面向量的說法中不正確的是()

A.已知a，b均為非零向量，若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得b＝λa答案：BC題組二走進(jìn)教材答案：b－a

－a－b答案：B題組三真題展現(xiàn)答案：C

考點(diǎn)一平面向量的概念答案：C2.給出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；ABCD為平行四邊形；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線.其中真命題的序號是________.

解析：①錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；

③錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線.答案：②【題后反思】向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個(gè)單位長度.(5)零向量的關(guān)鍵是長度為0，規(guī)定零向量與任何向量共線.

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算考向1向量的線性運(yùn)算圖5-1-1答案：D(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則(

)解析：根據(jù)題意，作圖如圖5-1-2所示.圖5-1-2答案：A考向2利用向量線性運(yùn)算求參數(shù)[例2](1)如圖5-1-3，在平行四邊形ABCD中，AC，BDμ∈R)，則λ＋μ等于()圖5-1-3解析：∵E為線段AO的中點(diǎn)，答案：B答案：3【題后反思】(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.

(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.【考法全練】1.(考向1)如圖5-1-4所示，已知AB是圓O的直徑＝()圖5-1-4解析：連接CD，由點(diǎn)C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，答案：D考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用[例3]設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.∴A，B，D三點(diǎn)共線.(2)解：∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.【題后反思】

(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0

成立.

【變式訓(xùn)練】

如圖5-1-5所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AB，AC所在直線于不同的兩點(diǎn)M，圖5-1-5A.1B.2C.3D.4解析：如圖D21所示，連接AO，圖D21答案：B⊙數(shù)形結(jié)合法在向量中的應(yīng)用

解析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖5-1-6所示，

圖5-1-6答案：D【高分訓(xùn)練】解析：如圖D22所示，作出示意圖.圖D22答案：A圖5-1-7答案：6圖D23第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求考情分析1.理解平面向量基本定理及其意義.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.2.會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.3.能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件1.本講主要考查平面向量基本定理、向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示，考查向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力、數(shù)形結(jié)合能力，常與三角函數(shù)綜合交匯考查，突出向量的工具性.2.一般以選擇題、填空題的形式考查，偶爾有與三角函數(shù)綜合在一起考查的解答題，屬于中檔題1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.2.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).3.共線向量及其坐標(biāo)表示(1)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a，b共線.【名師點(diǎn)睛】(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，則x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.(2)若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.

(3)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，對平面內(nèi)的任一向量a，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)B.若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2C.若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O

D.若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)答案：BCD題組二走進(jìn)教材2.(教材改編題)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則)B.(5,9)D.(3,9)2a－b＝( A.(5,7) C.(3,7)

答案：A3.(教材改編題)下列各組向量中，可以作為基底的是(

)答案：B題組三真題展現(xiàn)4.(2021年全國甲)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝________.5.(2020年全國Ⅰ)設(shè)向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1，2m－4)，若a⊥b，則m＝________.答案：5

考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用圖5-2-1

【題后反思】應(yīng)用平面向量基本定理的注意事項(xiàng)

(1)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來. (2)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等.(3)強(qiáng)化共線向量定理的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練】圖D24

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案：C示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則

＝((2)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖5-2-2所)A.1B.2C.3D.4圖5-2-2

解析：以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖5-2-3所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，圖5-2-3則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，答案：D【題后反思】

(1)巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中注意方程思想的應(yīng)用. (2)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題.【變式訓(xùn)練】1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且答案：(4,7)圖5-2-4解析：建立如圖D25所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0,0).圖D25不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，答案：B考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示考向1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)[例3]已知點(diǎn)O(0,0)，A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.答案：(3,3)考向2利用向量共線求參數(shù)[例4](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，則λ＝________.【題后反思】

(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，則a＝λb.

(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.【考法全練】答案：A2.(考向2)(2021年宣城期末)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b與2a－nb共線，則mn＝()A.1B.－1C.2D.－2

解析：根據(jù)題意，a＝(1，－1)，b＝(2,0)，則ma＋b＝(m＋2，－m)，2a－nb＝(2－2n，－2)，若向量ma＋b與2a－nb共線，則有(－m)(2－2n)＝(－2)(m＋2)，變形可得mn＝－2.故選D.

答案：D⊙利用方程的思想求解平面向量問題【策略指導(dǎo)】(1)易錯(cuò)點(diǎn)：找不到問題的切入口，即想不到利用待定系數(shù)法求解.

(2)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題易忽視M，P，C共線和B，P，N共線這兩個(gè)幾何特征.【高分訓(xùn)練】1.在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中圖D26答案：B2.如圖5-2-5，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線.圖5-2-5第三講平面向量的數(shù)量積課標(biāo)要求考情分析1.通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個(gè)平面向量的夾角1.本講復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)聯(lián)系生活實(shí)例，體會建模，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的基本方法.2.加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，這也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一1.向量的夾角定義已知兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積2.平面向量的數(shù)量積3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a.(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.概念幾何表示坐標(biāo)表示

|a·b|與 |a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(續(xù)表)提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標(biāo)關(guān)系不同.a∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

【名師點(diǎn)睛】

(1)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列命題中正確的是()

A.非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為30° B.若a·b＞0，則a，b的夾角為銳角答案：ACD題組二走進(jìn)教材答案：C

3.(教材改編題)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cos〈a，b〉＝________.題組三真題展現(xiàn)4.(2021年北京)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，則(a＋b)·c＝________；a·b＝________.答案：035.(2020年全國Ⅰ)設(shè)

a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝________.考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算[例1]如圖5-3-1，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，圖5-3-1解析：法一(幾何法)：

法二(坐標(biāo)法)：如圖5-3-2，建立平面直角坐標(biāo)系xAy.

依題意，可設(shè)點(diǎn)D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，圖5-3-2答案：12【題后反思】平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.【變式訓(xùn)練】

解析：如圖D27所示，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，AB的中點(diǎn)為F，連接OA，OF，OD，OE，

圖D27答案：D

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖D28所示，

則B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，圖D28答案：D考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用考向1求向量的模通性通法：求解平面向量模的方法A.2B.4C.6D.8答案：A圖5-3-3答案：5考向2求向量的夾角通性通法：求平面向量的夾角的方法(3)解三角形法：把兩向量的夾角放到三角形中.[例3](1)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()答案：B圖5-3-4

(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________.考向3兩個(gè)向量垂直問題

通性通法：(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題

若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù).[例4](1)(2020年全國Ⅱ)已知單位向量

a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是()A.a＋2bC.a－2bB.2a＋bD.2a－b答案：D

【考法全練】答案：A2.(考向2)(多選題)(2021年城廂模擬)已知向量a＝(λ，)1)，b＝(1，－2)，記向量a，b的夾角為θ，則( A.λ＞2時(shí)，θ為銳角 B.λ＜2時(shí)，θ為鈍角 C.λ＝2時(shí)，θ為直角答案：ACD∵(c－a)·(c－b)＝－1，

∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以點(diǎn)C在以(3,1)為圓心，1為半徑的圓上，|c－a|表示點(diǎn)A，C的距離，即圓上的點(diǎn)與A(4,0)的距離，因?yàn)閳A心到A的⊙數(shù)量積運(yùn)算的最值或取值范圍解析：(法一，幾何法)第一步：畫出圖形，利用向量圖5-3-5圖5-3-6(法二，坐標(biāo)法)第一步：建立平面直角坐標(biāo)系.以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5-3-7所示的坐標(biāo)系，圖5-3-7答案：B【反思感悟】求解平面向量數(shù)量積最值或取值范圍問題的兩個(gè)策略

(1)圖形化策略

所謂圖形化策略，是指解決向量問題時(shí)，利用圖形語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助圖形思考解決問題.圖形化策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)，化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想也深蘊(yùn)其中.

利用圖形化的策略方法，各種數(shù)量關(guān)系在圖形中非常明了，能起到事半功倍的作用.如果沒有圖形的幫助，要用代數(shù)化策略，這樣即使是坐標(biāo)化處理，也可能陷入“僵局”.(2)代數(shù)化策略

所謂代數(shù)化策略，是指解決向量問題時(shí)，利用代數(shù)語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助代數(shù)運(yùn)算解決所面臨的問題.代數(shù)化策略體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想.通過平面向量基本定理演變而來的代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)化的代數(shù)運(yùn)算，是解決向量問題的一般方法.【高分訓(xùn)練】A.[－1,8]C.[0,8]B.[－1，＋∞)D.[－1,0]答案：A

解析：如圖D29，以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，圖D29答案：B第四講平面向量的綜合應(yīng)用課標(biāo)要求考情分析會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題，體會向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用1.平面向量數(shù)量積是高考考查的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)要重視數(shù)量積的兩種運(yùn)算方式，熟練掌握數(shù)量積的運(yùn)算及相關(guān)變形，掌握數(shù)量積在解決垂直、夾角、長度等問題中的應(yīng)用.2.重視以數(shù)量積為聯(lián)系紐帶與直線、三角函數(shù)、圓錐曲線、數(shù)列等知識的綜合問題，并以此來培養(yǎng)分析解決問題的能力.3.常以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù).

(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：

a∥b

?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：

a⊥b

?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問題，利用夾角公式：2.平面向量與其他數(shù)學(xué)知識的交匯

平面向量作為一種運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合.當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列命題是否正確(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)

(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四邊形法則.()答案：(1)√

(2)×

(3)×題組二走進(jìn)教材B.梯形D.平行四邊形)ABCD為( A.菱形 C.矩形

答案：D

3.(教材改編題)已知一個(gè)物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J.答案：300題組三真題展現(xiàn)考點(diǎn)一向量與平面幾何圖5-4-1

解析：如圖5-4-2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(4,0)，C(0,3).圖5-4-2【題后反思】平面幾何問題的向量解法

(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，構(gòu)造向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解.

【變式訓(xùn)練】圖D30答案：B

考點(diǎn)二向量在解析幾何中的應(yīng)用答案：C圖5-4-3答案：B

【題后反思】向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，推導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題常常是比較優(yōu)越的方法.【變式訓(xùn)練】A.(8,24)C.[5,21]B.[8,24]D.(5,21)答案：B答案：[4,8]考點(diǎn)三平面向量在物理中的應(yīng)用

[例3](1)一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動到點(diǎn)B(0,5).在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功等于________.解析：因?yàn)镕1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，即三個(gè)力的合力所做的功為－40.答案：－40圖5-4-4①求F3

的大小；②求F2

與F3

的夾角.【題后反思】向量在物理中的應(yīng)用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量幾何化，借助于向量求和的平行四邊形法則求解.(2)用向量方法解決物理問題的步驟①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算使問題解決；③結(jié)果還原為物理問題.【變式訓(xùn)練】

一條寬為

km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝km，船在水中最大航速為4km/h.問怎樣安排航行速度可使該船從A碼頭最快到達(dá)B碼頭？用時(shí)多少？圖D31⊙三角形的四“心”A.外心C.重心B.內(nèi)心D.垂心同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心.答案：DA.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心的基本性質(zhì)可知AP平分∠BAC，所以點(diǎn)P的圖5-4-5軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.答案：BA.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心答案：B(4)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，若動點(diǎn)P動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心答案：A【反思感悟】三角形各心的概念介紹【高分訓(xùn)練】1.若P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn).答案：垂心；重心；外心A.重心C.內(nèi)心B.垂心D.外心答案：C第五講復(fù)數(shù)課標(biāo)要求考情分析1.通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù).理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.2.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義1.本講主要考查復(fù)數(shù)的基本概念(復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等)，復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，突出考查運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想.2.一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度為低檔1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數(shù)，即形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).復(fù)數(shù)的分類滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))a＋bi為實(shí)數(shù)b＝0a＋bi為虛數(shù)b≠0a＋bi為純虛數(shù)a＝0且b≠0(2)分類：2.復(fù)數(shù)的幾何意義3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.如圖5-5-1給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映圖5-5-1題組一走出誤區(qū)1.(多選題)對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.若a＝0，則a＋bi為純虛數(shù)B.若a－bi＝3＋2i，則a＝3，b＝2C.若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)D.純虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是－z答案：AB題組二走進(jìn)教材2.(教材改編題)若復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數(shù)，)B.0D.－1或1則實(shí)數(shù)x的值為( A.－1 C.1

答案：AB.－1＋2iD.－3－4iA.1－2iC.3＋4i答案：D題組三真題展現(xiàn)

的象限為( )B.第二象限D(zhuǎn).第四象限A.第一象限C.第三象限答案：A5.(2021年北京)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(1－i)·z＝2，)則z＝( A.2＋i C.1－iB.2－iD.1＋i答案：D

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.(多選題)下面關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題中，真命題是(

)答案：AC答案：C答案：C

【題后反思】解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可. (2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義[例1](1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z

對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，)則i·z＝( A.1＋2i C.1－2iB.－2＋iD.－2－i

解析：由題意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i.

答案：BA.第一象限C.第三象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限答案：D【題后反思】復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用【變式訓(xùn)練】A.第一象限C.第三象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限答案：B答案：C

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算考向1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算[例2](1)(2021年衡水期中)復(fù)數(shù)

z＝－2i(2－i)的虛部為()A.－2C.－2iB.－4D.－4i解析：z＝－2i(2