第二節(jié)排列與組合理

第二節(jié)排列與組合理第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四1.理解排列、組合的概念．2．能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡單的實際問題．第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四

1．排列第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四2．組合第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[思考探究]如何區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題？提示：區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看所選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則是組合問題．

第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四1．從1,2,3,4,5,6六個數(shù)字中，選出一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)，

組成一個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有 (

)A．9個B．24個

C．36個D．54個解析：這樣的三位數(shù)共有：＝3×3×6＝54(個)．答案：D第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四2．從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙

至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為 (

)A．85 B．56C．49 D．28解析：分兩類計算，＝49.答案：C第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四3．數(shù)列{an}共有六項，其中四項為1，其余兩項各不相同，

則滿足上述條件的數(shù)列{an}共有 (

)A．30個 B．31個C．60個 D．61個

解析：在數(shù)列的六項中，只要考慮兩個非1的項的位置，即得不同數(shù)列，共有＝30個不同的數(shù)列．答案：A第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四4．的值為________．解析：依題意得解得≤n≤且n∈N*，∴n＝10.∴＝466.答案：466第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四5．電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則

共有________種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示)．解析：采用特殊位置法．先讓兩個不同的公益廣告排在首尾兩個位置，再讓4個商業(yè)廣告排在剩下的4個位置，據(jù)分步計數(shù)原理可知共有2＝48種播放方式．答案：48

第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四1.排列數(shù)公式：右邊第一個因數(shù)為n，后面每個因數(shù)都比它前

面那個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1，共m個因

數(shù)．公式主要用于含有字母的排列數(shù)的式子

的變形與論證．2．組合數(shù)公式有乘積形式與階乘形式兩種，與排列數(shù)公式的

應(yīng)用一樣，前者多用于數(shù)字計算，后者多用于對含有字母

的組合數(shù)的式子進行變形和論證．還應(yīng)注意組合數(shù)公式的

逆用，即由寫出.第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[特別警示]

在排列數(shù)、組合數(shù)計算過程中要注意階乘的運算及組合數(shù)性質(zhì)的運用，注意含有排列數(shù)或組合數(shù)的方程都是在某個正整數(shù)范圍內(nèi)求解．第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四解方程或不等式：(1)3＝2＋6；(2)>6；(3)已知，求.[思路點撥]第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[課堂筆記]

(1)由題意得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍)，∴x＝5.(2)由題意得解得2≤x≤8，根據(jù)排列數(shù)公式，原不等式化為，即>1.第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四又∵2≤x≤8，解得2≤x≤8.∴原不等式的解集為x∈{2,3,4,5,6,7,8}．(3)由題意m的取值范圍是0≤m≤5，且m∈N.由已知得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.又∵0≤m≤5，∴m＝2.∴＝28.第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四求排列應(yīng)用題的主要方法有：1．直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算．2．特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法．即先排特殊元素或特

殊位置．3．排列、組合混合問題先選后排的方法．4．相鄰問題捆綁處理的方法．即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列．第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四5．不相鄰問題插空處理的方法．即先考慮不受限制的元素的

排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中．6．分排問題直排處理的方法．7．“小集團”排列問題中先集體后局部的處理方法．8．定序問題除法處理的方法．即可以先不考慮順序限制，排

列后再除以定序元素的全排列．9．正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法．第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四(5)全體排成一行，男生不能排在一起；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[思路點撥]第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[課堂筆記]

(1)利用元素分析法(特殊元素優(yōu)先安排)，甲為特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三個位置可供甲選擇，有種，其余6人全排列，有種．由乘法原理得＝2160種．(2)位置分析法(特殊位置優(yōu)先安排)，先排最左邊，除去甲外，有種，余下的6個位置全排有種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)種．則符合條件的排法共有＝3720種．第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四(3)捆綁法．將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有＝720種．(4)插空法．先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有＝144種．(5)插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有＝1440種．第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四(6)定序排列．第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為七個人的全排列，因此＝N×，∴N＝＝840種．(7)與無任何限制的排列相同，有＝5040種．(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有種，最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可，共有＝720種．

第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四1.組合問題常有以下兩類題型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這

些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些

元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十

分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復

與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法

分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四2．解答組合應(yīng)用問題的基本思路：(1)整體分類，從集合的角度來講，分類要做到各類的并集

等于全集，即“不漏”，任意兩類的交集為空集，即“不重”；(2)局部分步，整體分類后，對每類進行局部分步，分步要

做到步驟連續(xù)，保證分步不遺漏，同時步驟要獨立．第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四從7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？(1)A，B必須當選；(2)A，B必不當選；(3)A，B不全當選；(4)至少有2名女生當選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔任，班長必須由女生擔任．第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[思路點撥]第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[課堂筆記]

(1)由于A，B必須當選，那么從剩下的10人中選取3人即可，∴有＝120種．(2)從除去的A，B兩人的10人中選5人即可，∴有＝252種．(3)全部選法有種，A，B全當選有種，故A，B不全當選有＝672種第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進行，∴有＝596種．(5)分三步進行：第一步：選1男1女分別擔任兩個職務(wù)為；第二步：選2男1女補足5人有種；第三步：為這3人安排工作有.由分步乘法計數(shù)原理共有＝12600種．

第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四以選擇題或填空題的形式考查排列與組合的應(yīng)用是高考對本講內(nèi)容的常規(guī)考法.09年廣東、遼寧等高考將排列、組合及兩個計數(shù)原理綜合考查，是一個新的考查方向．第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[考題印證](2009·廣東高考)2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 (

)A．48種B．12種C．18種D．36種第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四【解析】

若小張和小趙恰有1人入選，則共有：

＝24種方案；若小張和小趙兩人都入選，則共有

＝12，故總共有24＋12＝36種方案．【答案】

D第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四[自主體驗](2009·遼寧高考)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有 (

)A．70種B．80種C．100種D．140種第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四解析：當選擇的3名醫(yī)生都是男醫(yī)生或都是女醫(yī)生時，共有

＝14種組法，從9人中選擇3人一共有＝84種組法，所以要求男、女醫(yī)生都有的情況共有84－14＝70種組隊方法．答案：A第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四1．在數(shù)字1,2,3與符號“＋”，“－”五個元素的所有全排列中，

任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列的個數(shù)是 (

)A．6B．12C．18D．24第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四解析：先排列1,2,3，有＝6種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有＝2種方法，共有6×2＝12種方法．答案：B第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四2．(2009·四川高考)3位男生和3位女生共6位同學站成一排，

若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，

則不同排法的種數(shù)是 (

)A．360B．288C．216D．96解析：先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有種排法，再從中排除甲站兩端，∴所求N＝·(－2)＝6×(6×12－24)＝288.答案：B第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四3．(2010·深圳模擬)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不

同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生

不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為 (

)A．18B．24C．30D．36第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四解析：由四名學生分到三個班，每個班至少分到一名學生可知，有一個班有2個人，另外兩個班各1人，故共有種不同分法，其中甲、乙兩名學生分到同一個班有種不同分法，所以滿足題意的不同分法為＝30種．答案：C第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四4．若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e了，則可能出現(xiàn)

的錯誤共有________種．解析：由于有兩個o，只要在4個位置選2個安排即可，余下兩個字母全排列，故所有的數(shù)目為＝12，寫對的只有1種，故共有11種錯誤的可能．答案：11第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四5．已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N}，B＝{x||x－6|<3，x∈N}．從集合A中取1個元素，從B中取3個元素，可

以組成無重復數(shù)字且比4000大的自然數(shù)的個數(shù)為________．第四十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期四解析：由題意得A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}，①若A中取3，則先從B中任意取3個并排好，故有＝60種排法，第二步將A中的3以插空的形式插入，有種方法，故有＝180個．②若A中