江蘇省2023年中考數(shù)學(xué)《第20課時直角三角形與勾股定理》練習(xí)含解析考點(diǎn)分類匯編

第四章三角形第20課時直角三角形與勾股定理1.(2016百色)如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，則BC＝()A.6B.6eq\r(2)C.6eq\r(3)D.12第1題圖第2題圖2.(2016河南)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E，則DE的長為()A.6B.5C.4D.33.(2016荊州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分線交BC于D，DE是AB的垂直平分線，垂足為E.若BC＝3，則DE的長為()A.1B.2C.3D.4第3題圖第4題圖4.(2016陜西)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長為()A.7B.8C.9D.105.(2016東營)在△ABC中，AB＝10，AC＝2eq\r(10)，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.(2016黔東南州)如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，且AB＝eq\r(6)，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，始終保持該直角三角板的兩直角邊分別與AC、BC相交，交點(diǎn)分別為D、E，則CD＋CE等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(6)第6題圖7.(2016株洲)如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外分別作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的圖形個數(shù)有()第7題圖A.1個B.2個C.3個D.4個8.(2016哈爾濱)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)，連接AP，則AP的長為____________．9.(2016桂林)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接OH，則OH＝________．第9題圖第10題圖10.(2016資陽)如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上，且AD＝CE，連接DE交CO于點(diǎn)P.給出以下結(jié)論：①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE＝∠COE；③若AC＝1，則四邊形CEOD的面積為eq\f(1,4)；④AD2＋BE2－2OP2＝2DP·PE.其中所有正確結(jié)論的序號是________．11.(2016北京)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分別為AC、CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN.(1)求證：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長．第11題圖答案1.A【解析】∵在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝6.2.D【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－82)＝6，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝3.3.A【解析】∵AD是∠BAC的平分線，AC⊥BC，AE⊥DE,∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分線，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,∴∠B＝30°.設(shè)DE＝x，則BD＝3－x.在Rt△BDE中，eq\f(x,3－x)＝eq\f(1,2)，解得DE＝x＝1.4.B【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝eq\r(82＋62)＝10，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC＝3，∵CF平分∠ACM，∴∠ACF＝∠MCF，又∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠MCF，∴∠EFC＝∠ACF,∴EF＝CE＝eq\f(1,2)AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.5.C【解析】如解圖①，當(dāng)△ABC是銳角三角形時：在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝8，同理在Rt△ACD中，DC＝2，所以BC＝10；如解圖②，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時：在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝8，同理在Rt△ACD中，DC＝2，所以BC＝6；故答案為C.第5題解圖①第5題解圖②6.B【解析】如解圖，連接OC，∵AB＝eq\r(6)，∴AC＝BC＝eq\r(3).∵∠COD＋∠COE＝90°，∠EOB＋∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠COD，∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB中點(diǎn)，∴OB＝OC，∠B＝∠OCD＝45°，∴△BOE≌△COD(ASA)，得EB＝CD，進(jìn)而得CD＋CE＝CE＋EB＝BC＝eq\r(3).第6題解圖7.D【解析】圖①中，∵S1＝eq\f(\r(3),4)a2，S2＝eq\f(\r(3),4)b2，S3＝eq\f(\r(3),4)c2，∴a2＝eq\f(4,\r(3))S1，b2＝eq\f(4,\r(3))S2，c2＝eq\f(4,\r(3))S3，∵a2＋b2＝c2，∴eq\f(4,\r(3))S1＋eq\f(4,\r(3))S2＝eq\f(4,\r(3))S3，即S1＋S2＝S3；圖②中，∵S1＝eq\f(1,2)π(eq\f(a,2))2＝eq\f(πa2,8)，S2＝eq\f(1,2)π(eq\f(b,2))2＝eq\f(πb2,8)，S3＝eq\f(1,2)π(eq\f(c,2))2＝eq\f(πc2,8)，∴a2＝eq\f(8,π)S1，b2＝eq\f(8,π)S2，c2＝eq\f(8,π)S3，∵a2＋b2＝c2，∴eq\f(8,π)S1＋eq\f(8,π)S2＝eq\f(8,π)S3，即S1＋S2＝S3；圖③中，設(shè)斜邊長為a的等腰直角三角形的直角邊為x，則x＝eq\f(\r(2),2)a，同理可得，另兩個三角形的直角邊分別為eq\f(\r(2),2)b和eq\f(\r(2),2)c，∴S1＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(a2,4)，S2＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)b×eq\f(\r(2),2)b＝eq\f(b2,4)，S3＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)c×eq\f(\r(2),2)c＝eq\f(c2,4)，∴a2＝4S1，b2＝4S2，c2＝4S3，∵a2＋b2＝c2，∴4S1＋4S2＝4S3，即S1＋S2＝S3；圖④中，S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.8.eq\r(13)或eq\r(10)【解析】由題知，P為直角邊BC的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論：①如解圖①所示，當(dāng)P點(diǎn)靠近B點(diǎn)時，∵AC＝BC＝3，∴CP＝2，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝eq\r(13)；②如解圖②所示，當(dāng)P點(diǎn)靠近C點(diǎn)時，∵AC＝BC＝3，∴CP＝1，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝eq\r(10)，綜上可得：AP＝eq\r(13)或eq\r(10).第8題解圖9.eq\f(3\r(5),5)【解析】取BC的中點(diǎn)E，連接HE，OE，又∵O是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴OE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(3,2)，OE∥AC，∵CH⊥BD，CE＝BE，∴HE是Rt△BCH的斜邊中線，∴HE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，∴CE＝HE＝OE＝BE，∴C、H、O、B都在⊙E上，∵∠ACB＝90°，OE∥AC，∴∠BEO＝90°，∴∠BHO＝eq\f(1,2)∠BEO＝45°＝∠A，又∵∠1＝∠1，∴△BOH∽△BDA，∴eq\f(OH,AD)＝eq\f(OB,BD)，又∵AD＝AC－CD＝2，OB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)eq\r(AC2＋BC2)＝eq\f(3\r(2),2)，BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(10)，∴eq\f(OH,2)＝eq\f(\f(3\r(2),2),\r(10))，∴OH＝eq\f(3\r(5),5).第9題解圖10.①②③④【解析】①∵在等腰直角三角形ABC中，CO⊥AB,∠ACB＝90°，∵O為AB的中點(diǎn)，∴AO＝OC,∠DAO＝∠OCE＝45°，又∵AD＝CE，∴△ADO≌△CEO，∴OD＝OE,∠AOD＝∠COE，∵∠AOD＋∠DOC＝90°，∴∠COE＋∠DOC＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形，故①正確；②∵∠CDE＋∠DCO＋∠CPD＝180°，∠COE＋∠OED＋∠OPE＝180°，∠DCO＝∠OED＝45°，∠CPD＝∠OPE，∴∠CDE＝∠COE，故②正確；③∵四邊形CEOD的面積＝S△COD＋S△CEO，△ADO≌△CEO，∴四邊形CEOD的面積＝S△COD＋S△ADO＝S△AOC＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,4)，故③正確；④如解圖，過點(diǎn)O作ON⊥DE于點(diǎn)N，則ON＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(1,2)(DP＋PE)，PN＝NE－PE＝eq\f(1,2)DE－PE＝eq\f(1,2)(DP＋PE)－PE＝eq\f(1,2)(DP－PE)，又∵OP2＝ON2＋PN2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（DP＋PE）))2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（DP－PE）))2，化簡得：2OP2＝DP2＋PE2，AD2＋BE2＝CE2＋CD2＝DE2＝(DP＋PE)2＝DP2＋2DP·PE＋PE2，∴AD2＋BE2－2OP2＝2DP·PE，可得④正確．故答案為：①②③④.第10題解圖11.(1)證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD且MN＝eq\f(1,2)AD，在Rt△ABC中，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴BM＝eq\f(1,2)AC