運用函數(shù)與方程思想解題的策略

第一節(jié)運用函數(shù)與方程思想解題的策略（文）九江市同文中學(xué)敖強【地位與作用】縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一。高考試題中，既有靈活多變的客觀性小題，又有一定能力要求的主觀性大題，難度有易有難，可以說是貫穿了數(shù)學(xué)高考整份試卷。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想,高考中所占比重比較大，與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右，高考題對函數(shù)的思想方法的考查已經(jīng)達到較高的層次，綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多。函數(shù)與方程思想幾乎滲透到高中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個領(lǐng)域，在高中新課標數(shù)學(xué)中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。【高考要求】能力要求：邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)換能力、空間想象能力、運算能力、識別能力、運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題能力。方法要求：函數(shù)思想主要有：（1）引入變量，確定函數(shù)關(guān)系；（2）選定主元，揭示函數(shù)關(guān)系；(3)選取變元，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系；（4）實際問題，建立函數(shù)關(guān)系；（5）特殊函數(shù)，轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系。方程思想主要有：（1）待定系數(shù)求解方程；（2）分類思想討論方程；（2）變量代換構(gòu)造方程。主要題型：（1）利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題；（2）構(gòu)造函數(shù)與方程解題；（3）函數(shù)、方程、不等式三者之間的相互轉(zhuǎn)化；（4）函數(shù)與方程在立體幾何中的應(yīng)用；（5）函數(shù)與方程在解析幾何中的應(yīng)用；（6）函數(shù)與方程在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用；（7）函數(shù)與方程在數(shù)列中的應(yīng)用；（8）應(yīng)用函數(shù)與方程研究實際問題?！纠}選講】1.利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題例1.(2009年山東卷文科第12題)已知定義在上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間上是增函數(shù),則()A.B.C.D.【點撥】首先由可得，再利用函數(shù)的奇偶性、周期性化簡得，，，再利用單調(diào)性進行大小比較.【解答過程】:因為滿足,所以,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),則,,,又因為在上是奇函數(shù)，,得,,而由得,又因為在區(qū)間上是增函數(shù),所以,所以,即,故選D.【易錯點】不能由關(guān)系式判斷出函數(shù)的周期性，不能由定義在上的奇函數(shù)得到，不能將自變量的值通過周期變換和奇偶性轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，進而利用增函數(shù)的性質(zhì)比較大小。2.構(gòu)造函數(shù)與方程解題例2.已知，（、、），則有（）A.B.C.D.【點撥】解法一通過化簡，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點：看作是方程的一個實根，再利用一元二次方程有根的充要條件求得；解法二轉(zhuǎn)化為是、的函數(shù)，運用重要不等式解題．【解答過程】解法一：依題設(shè)有∴是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；∴∴故選B.解法二：去分母，移項，兩邊平方得：∴故選B.【易錯點】不能合理地轉(zhuǎn)化為是、的函數(shù)或構(gòu)造來解題。3.函數(shù)、方程、不等式三者之間的相互轉(zhuǎn)化例3.（2008年廣東卷理科第14題）已知,若關(guān)于的方程有實根，則的取值范圍是.【點撥】求參數(shù)的范圍，可以先將分離出來，表示為的函數(shù)，求出函數(shù)的值域，進而得到參數(shù)的范圍?！窘獯疬^程】方程即，即當時，變?yōu)?，故無解當時，變?yōu)?，故當當時，變?yōu)椋薀o解總之，的取值范圍是【易錯點】不能將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解，解絕對值不等式時分類不清。4.函數(shù)與方程在立體幾何中的應(yīng)用ABCDA1B1C1D1EHFG圖8-1例4.（2010年福建文科第20題）如圖8-1，在長方體中，分別是棱,上的點（點ABCDA1B1C1D1EHFG圖8-1（1）證明：平面；（2）設(shè)，在長方體內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于幾何體內(nèi)的概率為.當點分別在棱,上運動且滿足時，求的最小值.【點撥】（1）要證明線面平行只需證明線線平行，即（2）求的最小值，可以先將用體積來表示，再把體積表示為、的函數(shù)，最后運用重要不等式解出最小值.【解答過程】（1）證明：在長方體中，,又，平面,平面,平面(2)設(shè)，則長方體的體積幾何體的體積當且僅當時等號成立。從而故，當且僅當時等號成立。所以，的最小值等于【易錯點】不能將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為運用函數(shù)、方程與不等式的思想來解決。5.函數(shù)與方程在解析幾何中的應(yīng)用例5.（2008高考全國Ⅱ卷文科第22題）設(shè)橢圓中心在坐標原點，是它的兩個頂點，直線與相交于點，與橢圓相交于、兩點．（1）若，求的值；（2）求四邊形面積的最大值．【點撥】（1）將直線方程和橢圓的方程聯(lián)立，設(shè)出相關(guān)點的坐標，消去參數(shù)，解方程求；（2）由已知可得，四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積的和，從而求點、分別到直線的距離，可以將面積表示為的函數(shù)，再利用均值不等式求最大值．圖8-2【解答過程】（1）依題設(shè)得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．圖8-2如圖8-2，設(shè)，其中，且滿足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化簡得，解得或．（2）根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，．又，所以四邊形的面積為，當且僅當，即時，上式取等號．所以的最大值為．【易錯點】不知道如何表示四邊形面積，從而不知如何下手．6.函數(shù)與方程在導(dǎo)數(shù)中的運用例6.（2010年福建文科第22題）已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)的值；(2)設(shè)是上的增函數(shù).（i）求實數(shù)的最大值；(ii)當取最大值時，是否存在點，使得過點的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由?！军c撥】（1）由在點處的切線方程為，可得，代入列方程可解得；（2）（i）首先由導(dǎo)數(shù)知識轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再把分離出來，表示為的不等式，最后求出函數(shù)的值域，進而得到參數(shù)的最大值.(ii)由兩個封閉圖形的面積相等,等價于求圖像的對稱中心.【解答過程】（1）由及題設(shè)得，即（2）（i）由，得是上的增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，即不等式在上恒成立令，因為，故(ii)由（i）得，其圖像關(guān)于點成中心對稱證明如下：故圖像關(guān)于點成中心對稱這也就表明，存在點,使得過點的直線能與曲線圍成兩個封閉圖形，且這兩個封閉圖形的面積總相等?！疽族e點】不能準確判斷函數(shù)是對稱圖形，并正確求出其對稱中心。此類問題我們可以類比函數(shù)的對稱問題，對稱中心為。7.函數(shù)與方程在數(shù)列中的應(yīng)用例7.（2009浙江文科第20題）設(shè)為數(shù)列的前項和，，，其中是常數(shù)．（1）求及；（2）若對于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．【點撥】（1），求出，再利用求；（2）由成等比數(shù)列得出等式,由任意的都成立，從而求出.【解答過程】（1）解法一：當，（）經(jīng)驗，（）式成立，解法二：由可知，數(shù)列是等差數(shù)列，故，，（2）成等比數(shù)列，，即，整理得：，對任意的成立，【易錯點】化為最簡形式時，運算會發(fā)生錯誤；不能聯(lián)想到等差數(shù)列前項和公式的特征。8.應(yīng)用函數(shù)與方程研究實際問題例8.（2010年福建文科第21題）．某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口北偏西30°且與該港口相距20海里的處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與輪船相遇。(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由。【點撥】(1)首先把表示為的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最小值.(2)把表示為的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)求最小值.(3)列出表示為的函數(shù),由總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇,把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布問題再去求解.O北O(jiān)北南東西A2030tSBC圖8-3（1）解法一：設(shè)相遇時小艇的航行距離為海里，如圖8-3，則故當時，即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。解法二：若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向。設(shè)小艇與輪船在處相遇。在中，此時，輪船航行時間即小艇以海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小。（2）設(shè)小艇與輪船在處相遇由題意可得：化簡得:由于，即，所以當時，取得最小值即小艇航行速度的最小值海里/小時。（3）由（2）知，設(shè)于是小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程應(yīng)有兩個不等正根，即：，解得所以的取值范圍是【易錯點】（1）不能建立正確的函數(shù)關(guān)系以及；（2）對一元二次方程的根的分布不能做出正確判斷。【點評】函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程的解就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標，函數(shù)也可以看作二元方程通過方程進行研究.就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決.1.函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題.2.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程思想是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系.3.(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)，當時，就轉(zhuǎn)化為方程，也可以把函數(shù)式看做二元方程.函數(shù)問題（例如求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程，就是求函數(shù)的零點.(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)，當時，就轉(zhuǎn)化為不等式，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式.(3)數(shù)列的通項或前項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要.(4)函數(shù)（）與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題.(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決.習(xí)題8-11.（2010年全國1文科第7題）已知函數(shù).若且，，則的取值范圍是()A.B.C.D.2.（2008年四川文科第9題）函數(shù)滿足，若，則()Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3.（2010年天津文科第16題）設(shè)函數(shù),對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.4.（2010年江蘇卷第14題）將邊長為1正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則的最小值是________.5.已知，，對于值域內(nèi)的所有實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．6.（2010年遼寧文科第20題）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓相交于,兩點，直線的傾斜角為，到直線的距離為.（1）求橢圓的焦距；（2）如果,求橢圓的方程.習(xí)題8-1參考答案1.C解法一：因為,所以,所以或，即(舍去)，或，所以又，不妨設(shè),所以，令，由“對勾”函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上為減函數(shù)，所以,即的取值范圍是，故選C.解法二：由，不妨設(shè),且得，利用線性規(guī)劃得，轉(zhuǎn)化為求的取值范圍問題.從圖中可知的取值范圍為，故選C.2.C是周期為4的周期函數(shù)，，故選C.3.由已知得為上的增函數(shù)且。若，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知和均為增函數(shù)，此時不符合題意。故，有因為在上的最小值為2，所以，即,解得