高中數(shù)學蘇教版(2022)角函數(shù)三角函數(shù)概念三角函數(shù)線（42張）

第2課時三角函數(shù)線第7章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡1.借助單位圓了解三角函數(shù)線的意義.(數(shù)學抽象)2.用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切.(直觀想象)3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.(數(shù)學建模)課前篇自主預習情境導入角是一個圖形概念,也是一個數(shù)量概念(弧度數(shù)).作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個數(shù)量概念(比值),但它是否也是一個圖形概念呢?能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢?如圖,設角α為第一象限角,其終邊與單位圓的交點為P(x,y),則sinα=y,cosα=x都是正數(shù).你能分別用一條線段表示角α的正弦值和余弦值嗎?tanα=怎樣表示?知識點撥一、單位圓和有向線段(1)取r=1,即選取角α終邊與單位圓(圓心在原點,半徑等于單位長度的圓)的交點為P(x,y),則sinα=y,cosα=x.(2)規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點和終點)的線段叫有向線段.類似地,可以把規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線.若有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行,根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反,分別把它的長度添上正號或負號,這樣所得的數(shù),叫作有向線段的數(shù)量,記為AB.微練習

答案

B二、三角函數(shù)線已知角α的終邊位置(圖中圓為單位圓),則角α的三條三角函數(shù)線如圖所示,有向線段MP,OM,AT叫作角α正弦線、余弦線、正切線,則sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.名師點析

三角函數(shù)線的方向:正弦線由垂足指向角α的終邊與單位圓的交點,余弦線由原點指向垂足,正切線由切點指向切線與角α的終邊或其反向延長線的交點.微思考

1三角函數(shù)線的正負方向如何規(guī)定?提示

與x,y軸的正半軸同向的為正,反之為負.微思考

2你能根據(jù)三角函數(shù)線判斷正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的單調(diào)性嗎?能判斷正切函數(shù)在區(qū)間(-)上的單調(diào)性嗎?微練習

已知

的正弦線為有向線段MP,正切線為有向線段AT,則有(

)A.有向線段MP與有向線段AT的方向相同B.MP=ATC.MP>0,AT<0D.MP<0,AT>0答案

C解析

三角函數(shù)線的方向和三角函數(shù)值的符號是一致的.三、三角函數(shù)的定義域

三角函數(shù)定義域y=sinxRy=cosxRy=tanx

微思考

任意角都有三角函數(shù)線嗎?提示

任意角都有正弦線、余弦線,但α=kπ+,k∈Z時,正切線不存在.微練習

函數(shù)y=lg(cosα-)的定義域為

.課堂篇探究學習探究一作三角函數(shù)線例1在單位圓中作出符合下列條件的角的終邊.解

(1)cos

x=-,作直線x=-交單位圓于P,Q兩點,則射線OP,OQ為角α的終邊.(2)sin

x=,作直線y=交單位圓于P,Q兩點,則射線OP,OQ為角α的終邊.(3)tan

x=-2,作直線y=-2交單位圓的切線x=1于點T,直線OT交單位圓于P,Q兩點,則射線OP,OQ為角α的終邊.反思感悟?qū)τ?1),設角α的終邊與單位圓交于P(x,y),則sin

α=y,cos

α=x,所以要作出滿足cos

x=-的角的終邊,只要在單位圓上找出橫坐標為-的點P,則OP即為角α的終邊;對于(2)(3),可采用同樣的方法處理.圖1圖2探究二用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小.反思感悟利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關鍵及注意點(1)關鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點:比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.解析

由圖可知,探究三利用三角函數(shù)線解不等式例3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍,并由此寫出角α的集合.解

(1)作直線y=交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖1陰影部分)即為角α的終邊的范圍.反思感悟1.通過解答本題,我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟:(1)作出取等號的角的終邊;(2)利用三角函數(shù)線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍;(3)將圖中的范圍用不等式表示出來.2.求與三角函數(shù)有關的定義域時,先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組),然后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域.延伸探究求y=lg(1-cosx)的定義域.解

如圖所示,素養(yǎng)形成單位圓和正射影1.單位圓半徑為1的圓叫作單位圓.設單位圓的圓心與坐標原點重合,則單位圓與x軸的交點分別為A(1,0),A'(-1,0),與y軸的交點分別為B(0,1),B'(0,-1),如圖.2.正射影設單位圓的圓心與坐標原點重合,角α的頂點在圓心O,始邊與x軸的正半軸重合,終邊與單位圓交于點P(如圖),過點P作PM垂直x軸于點M,作PN垂直y軸于點N,則點M,N分別是點P在x軸、y軸上的正射影,簡稱射影.由三角函數(shù)的定義可知,點P的坐標為(cosα,sinα),其中cosα=OM,sinα=ON.這就是說,角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標.典例

若α∈(0,),試證明:sinα+cosα>1.當堂檢測1.sin1,cos1,tan1的大小關系為(

)A.sin1>cos1>tan1 B.sin1>tan1>cos1C.tan1>sin1>cos1 D.tan1>cos1>sin1答案

C解析

畫出1

rad的正弦線、余弦線、正切線,易知