湖北省黃岡市蘄春縣2024學年高二上數學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖北省黃岡市蘄春縣2024學年高二上數學期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（）A.外切 B.內切C.相交 D.相離2．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.3．如圖，是水平放置的的直觀圖，其中，，分別與軸，軸平行，則（）A.2 B.C.4 D.4．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.85．設拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標為，則的最小值為（）A. B.C. D.6．的二項展開式中，二項式系數最大的項是第（）項.A.6 B.5C.4和6 D.5和77．一組“城市平安建設”的滿意度測評結果，，…，的平均數為116分，則，，…，，116的（）A.平均數變小 B.平均數不變C.標準差不變 D.標準差變大8．已知向量是兩兩垂直的單位向量，且，則（）A.5 B.1C.-1 D.79．已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.11．已知圓柱的表面積為定值，當圓柱的容積最大時，圓柱的高的值為（）A.1 B.C. D.212．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.14．已知內角A，B，C的對邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為__________.15．已知函數f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________16．傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數.他們根據沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦捣殖稍S多類，下圖中第一行的稱為三角形數，第二行的稱為五邊形數，則三角形數的第10項為__________，五邊形數的第項為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列的前項和為，已知，且（1）證明：；（2）求18．（12分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程19．（12分）撫州市為了了解學生的體能情況，從全市所有高一學生中按80：1的比例隨機抽取200人進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，分為組畫出頻率分布直方圖如圖所示，現一，二兩組數據丟失，但知道第二組的頻率是第一組的3倍（1）若次數在以上含次為優(yōu)秀，試估計全市高一學生的優(yōu)秀率是多少？全市優(yōu)秀學生的人數約為多少？（2）求第一組、第二小組的頻率是多少？并補齊頻率分布直方圖；（3）估計該全市高一學生跳繩次數的中位數和平均數？20．（12分）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，A1C的中點，AD=AA1=2，AB=（1）求證：EF∥平面ADD1A1；（2）求平面EFD與平面DEC的夾角的余弦值；（3）在線段A1D1上是否存在點M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由21．（12分）已知函數，數列的前n項和為，且對一切正整數n、點都在因數的圖象上（1）求數列的通項公式；（2）令，數列的前n項和，求證：22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，點和點都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（1）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）；（2）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N，問：y軸上是否存在點Q（不與O重合），使得？若存在，求點Q的坐標，若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據圓心距與半徑之和半徑之差的關系，即可判斷位置關系.【題目詳解】對圓，其圓心，半徑；對圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.2、D【解題分析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【題目詳解】由，可知，則有，解之得故選：D3、D【解題分析】先確定是等腰直角三角形，求出，再確定原圖的形狀，進而求出.【題目詳解】由題意可知是等腰直角三角形，，其原圖形是，，，，則，故選：D.4、C【解題分析】根據等差數列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關于與的方程組，通過解方程組求數列的公差.【題目詳解】設等差數列的公差為，則，，聯立，解得.故選：C.5、B【解題分析】設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【題目詳解】解：由題意，設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B6、A【解題分析】由二項展開的中間項或中間兩項二項式系數最大可得解.【題目詳解】因為二項式展開式一共11項，其中中間項的二項式系數最大，易知當r＝5時，最大，即二項展開式中，二項式系數最大的為第6項.故選：A7、B【解題分析】利用平均數、方差的定義和性質直接求出，，…，，116的平均數、方差從而可得答案.【題目詳解】，，…，的平均數為116分，則，，…，，116的平均數為設，，…，的方差為則所以則，，…，，116的方差為所以，，…，，116的平均數不變，方差變小.標準差變小.故選：B8、B【解題分析】根據單位向量的定義和向量的乘法運算計算即可.【題目詳解】因為向量是兩兩垂直的單位向量，且所以.故選：B9、A【解題分析】根據平面向量垂直的性質，結合平面向量數量積的坐標表示公式、充分性、必要性的定義進行求解判斷即可.詳解】當時，有，顯然由，但是由不一定能推出，故選：A10、D【解題分析】設，則，.所以當時，的最小值為.故選D.11、B【解題分析】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，則可得，則圓柱的體積為，利用導數求出最大值，確定值.【題目詳解】設圓柱的底面半徑為，則圓柱底，圓柱側，∴，∴，則圓柱的體積，∴，由得，由得，∴當時，取極大值，也是最大值，即故選：B【題目點撥】本題主要考查了圓柱表面積和體積的計算，考查了導數的實際應用，考查了學生的應用意識.12、D【解題分析】根據不等式性質并結合反例，即可判斷命題真假.【題目詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質，可知D正確.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【題目詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【題目點撥】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.14、【解題分析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據與的關系，求得，即可求得c的最小值.【題目詳解】，即，又，當最大時，即，最小，且為由正弦定理得：，當時，c的最小值為故答案為：【題目點撥】方法點睛：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到.15、【解題分析】根據零點定義，分離出，構造函數，通過研究的值域來確定的取值范圍【題目詳解】根據零點定義，則所以令則，令解得當時，，函數單調遞減當時，，函數單調遞增所以當時取得最小值，最小值為所以由零點的條件為所以，即的取值范圍為【題目點撥】本題考查了函數零點的意義，通過導數求函數的值域，分離參數法的應用，屬于中檔題16、①.②.【解題分析】對于三角形數，根據圖形尋找前后之間的關系，從而歸納出規(guī)律利用求和公式即得，對于五邊形數根據圖形尋找前后之間的關系，然后利用累加法可得通項公式.【題目詳解】由題可知三角形數的第1項為1，第2項為3=1+2，第3項為6=1+2+3，第4項為10=1+2+3+4，，因此，第10項為；五邊形數的第1項為，第2項為，第3項為，第4項為，…，因此，，所以當時，,當時也適合，故，即五邊形數的第項為.故答案為：55；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】（1）當時，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗證當n=1時，命題成立即可；（2）通過求解數列的奇數項與偶數項的和即可得到其對應前n項和的通項公式.【題目詳解】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，（2）由（1）知，，所以，于是數列是首項，公比為3的等比數列，數列是首項，公比為3的等比數列，所以，于是從而，綜上所述，.【題目點撥】已知數列{an}的前n項和Sn，求數列的通項公式，其求解過程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當n≥2時an的表達式；（3）對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．數列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據通項特點進行選用.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】（1）設，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，消元，寫韋達；根據條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，聯立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標為，故動點的軌跡方程為．19、（1）8640；（2）第一組頻率為，第二組頻率為．頻率分布直方圖見解析；（3）中位數為，均值為121.9【解題分析】（1）求出優(yōu)秀的頻率，計算出抽取的人員中優(yōu)秀學生數后可得全體優(yōu)秀學生數；（2）由頻率和為1求得第一組、第二組頻率，然后可補齊頻率分布直方圖；（3）在頻率分布直方圖中計算出頻率對應的值即為中位數，用各組數據中點值乘以頻率后相加得均值【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖，分數在120分以上的頻率為，因此優(yōu)秀學生有（人）；（2）設第一組頻率為，則第二組頻率為，所以，，第一組頻率為，第二組頻率為頻率分布直方圖如下：（3）前3組數據的頻率和為，中位數在第四組，設中位數為，則，均值為20、（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；理由見解析【解題分析】（1）連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO，根據判定定理證明四邊形AEFO是平行四邊形，進而得到線面平行；（2）建立坐標系，求出兩個面的法向量，求得兩個法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的夾角的余弦值；（3）假設在線段A1D1上存在一點M，使得BM⊥平面EFD，設出點M的坐標，由第二問得到平面EFD的一個法向量，判斷出和該法向量不平行，故不存在滿足題意的點M.【題目詳解】（1）證明：連接AD1，A1D，交于點O，所以點O是A1D的中點，連接FO因為F是A1C的中點，所以OF∥CD，OF=CD因AE∥CD，AE=CD，所以OF∥AE，OF=AE所以四邊形AEFO是平行四邊形所以EF∥AO因為EF?平面ADD1A1，AO?平面ADD1A