第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合

第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第2節(jié)排列與組合考試要求1.理解排列、組合的概念；2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式；3.能解決簡單的實(shí)際問題.知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層訓(xùn)練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1知識梳理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照____________排成一列組合合成一組一定的順序(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù).(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有__________的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).2.排列數(shù)與組合數(shù)不同排列不同組合3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！常用結(jié)論1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.×診斷自測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)××√√DA.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.CA.60種 B.120種 C.240種 D.480種3.(2021·全國乙卷)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有(

)A.8 B.2 C.16 D.204.(2021·黑龍江六校聯(lián)考)電影《奪冠》講述中國女排姑娘們頑強(qiáng)奮斗、為國爭光的勵(lì)志故事，打造一部見證新中國體育改革40年的力作，該影片于2020年9月25日正式上映.在《奪冠》上映當(dāng)天，一對夫婦帶著他們的兩個(gè)小孩一起觀看該影片，訂購的4張電影票恰好在同一排且連在一起.為安全起見，影院要求每個(gè)小孩子要有家長相鄰陪坐，則不同的坐法種數(shù)是(

)C解析法一將4個(gè)座位編號如下，4人的座位可分四種情況，①④坐家長②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家長、①③坐家長②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家長.①②③④2106.(易錯(cuò)題)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法種數(shù)為________.30KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一排列問題(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(7)甲、乙、丙三人從左到右順序一定.例1

有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)常見排列數(shù)的求法為：①相鄰問題采用“捆綁法”.②不相鄰問題采用“插空法”.③有限制元素采用“優(yōu)先法”.④特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).感悟提升訓(xùn)練1

(1)現(xiàn)有10名學(xué)生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相鄰排在一起，則不同的排法種數(shù)有(

)D(2)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計(jì)劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周.若課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，則所有的可能的排法種數(shù)為(

)A.216 B.480 C.504 D.624C考點(diǎn)二組合問題(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？例2

某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.感悟提升訓(xùn)練2

(1)某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車輛均多于4輛.現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車，并且每個(gè)車隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有________種不同的抽調(diào)方法.84(2)在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能夠唱歌，5人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有________種選派方法(用數(shù)字作答).199角度1不等分問題考點(diǎn)三分組、分配問題解析將6名教師分組，分三步完成：例3

若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法.360例4

國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法.角度2平均分組問題90例5

某班6名同學(xué)去A，B，C，D四個(gè)城市參加社會(huì)調(diào)查，要求將這6名同學(xué)分成四組，每組去一個(gè)城市，其中兩組各有兩名同學(xué)，另外兩組各有1名同學(xué)，則不同的分配方案的種數(shù)是________(用數(shù)字作答).角度3部分均分問題10801.平均分配給不同小組的分法種數(shù)等于平均分堆的分法種數(shù)乘堆數(shù)的全排列.2.對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點(diǎn)：(1)處理分配問題要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分堆時(shí)要注意是否均勻.3.對于部分均分問題，解題時(shí)要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！.感悟提升A.360種 B.300種

C.150種 D.125種訓(xùn)練3

(1)安排5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，且每人只去一個(gè)社區(qū)，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則不同的安排方式共有(

)C(2)將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有________種(用數(shù)字作答).1680FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A級基礎(chǔ)鞏固A.12 B.24 C.64 D.811.從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(

)BA.90 B.180 C.220 D.3602.(2022·昆明診斷)小華在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌，打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩，他準(zhǔn)備在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6個(gè)冬季節(jié)氣與立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨6個(gè)春季節(jié)氣中一共選出3個(gè)節(jié)氣，若冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少選出1個(gè)，則小華選取節(jié)氣的不同方法種數(shù)是(

)BA.240種 B.192種

C.96種 D.48種3.有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有(

)B4.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為(

)AA.480 B.240 C.384 D.14405.(2021·東北師大附中模擬)永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨(dú)一無二的神奇的山區(qū)居民建筑，是中國古建筑的一朵奇葩.2008年7月，永定土樓成功列入世界遺產(chǎn)名錄.它歷史悠久、風(fēng)格獨(dú)特，規(guī)模宏大、結(jié)構(gòu)精巧.土樓具體有圓樓、方樓、五角樓、八角樓、日字形樓、回字形樓、吊腳樓等類型.現(xiàn)某大學(xué)建筑系學(xué)生要重點(diǎn)對這七種類型的土樓依次進(jìn)行調(diào)查研究.要求調(diào)查順序中，圓樓要排在第一個(gè)或最后一個(gè)，方樓、五角樓相鄰，則不同的排法種數(shù)為(

)AA.25種 B.35種 C.45種 D.55種6.作為當(dāng)代大學(xué)生，應(yīng)當(dāng)具有較強(qiáng)的健身意識，應(yīng)當(dāng)把提高自身的身體健康素質(zhì)作為終身追求的目標(biāo)和對個(gè)人、家庭、社會(huì)乃至整個(gè)民族的一種責(zé)任.某大一新生甲準(zhǔn)備在每周一到周五的下午安排自己的鍛煉時(shí)間，甲規(guī)定自己每周必須完成4個(gè)小時(shí)的鍛煉，每天最多鍛煉一次，每次鍛煉1個(gè)小時(shí)或2個(gè)小時(shí)，則甲在某一周的周一到周五安排身體鍛煉時(shí)間的不同方法有(

)CA.18 B.24 C.30 D.367.(2022·西安調(diào)研)甲、乙、丙、丁四人分別去云南、張家界、北京三個(gè)地方旅游，每個(gè)地方至少有一人去，且甲、乙兩人不能去同一個(gè)地方，則不同的方法種數(shù)為(

)CA.96個(gè) B.78個(gè) C.72個(gè) D.64個(gè)8.用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)共有(

)B解析由組合數(shù)公式化簡整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21(舍去).2所以恰有1個(gè)盒子是空盒的放法有3×6＝18(種).10.(2022·貴陽監(jiān)測)將編號為1，2，3且大小相同的三個(gè)球放入三個(gè)不同的盒子中，恰有1個(gè)盒子是空盒的放法有________種.1811.(2021·成都診斷)某學(xué)科視導(dǎo)團(tuán)有三名男專家和兩名女專家，安排到五所學(xué)校進(jìn)行教學(xué)視導(dǎo)，這五所學(xué)校中省級重點(diǎn)中學(xué)有三所，省級建設(shè)重點(diǎn)中學(xué)有兩所，要求每所學(xué)校各派一位專家，兩類學(xué)校都要有男專家，則不同的分派方案有________種(結(jié)果用數(shù)字作答).10812.把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種.36B級能力提升A.144 B.120 C.72 D.2413.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

)DA.114 B.90 C.108 D.6014.某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法有(

)A解析根據(jù)題意，四個(gè)人每人隨意取走一頂帽子，第一個(gè)人取走不是自己的帽子，有3種取