第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 第1節(jié) 函數(shù)及其表示

第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第1節(jié)函數(shù)及其表示考試要求1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應用(函數(shù)分段不超過三段)．知識診斷基礎夯實內(nèi)容索引考點突破題型剖析分層訓練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1知識梳理1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射兩個集合A，B設A，B是兩個__________設A，B是兩個非空集合對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的____一個數(shù)x，在集合B中都有_________的數(shù)f(x)和它對應如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應非空數(shù)集任意唯一確定名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的________；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的______.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且__________完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).2.函數(shù)的定義域、值域定義域值域?qū)P系表示函數(shù)的常用方法有________、圖象法和列表法.3.函數(shù)的表示法解析法(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的______.4.分段函數(shù)并集常用結論1.函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射.2.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1交點.3.注意以下幾個特殊函數(shù)的定義域(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負的實數(shù)集合.(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.(4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}.×診斷自測解析(1)錯誤.函數(shù)y＝1的定義域為R，而y＝x0的定義域為{x|x≠0}，其定義域不同，故不是同一函數(shù).(2)錯誤.值域C?B，不一定有C＝B.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)×××(4)錯誤.若兩個函數(shù)的定義域、對應關系均相同時，才是相等函數(shù).B解析A中函數(shù)定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是[0，2].2.若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)D所以函數(shù)的定義域為(0，＋∞).(0，＋∞)x2－1(x≥0)∴f(t)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥0).解析當x≤1時，f(x)＝x2＋2，∴f(x)∈[2，＋∞)，(0，1)∪[2，＋∞)綜上，f(x)的值域為(0，1)∪[2，＋∞).KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2考點一函數(shù)的定義域A.(2，＋∞)B.(－1，2)∪(2，＋∞)C.(－1，2)D.(－1，2]CC解析∵f(x)的定義域為[－8，1]，A.(－1，0) B.(－1，0]C.[－1，0) D.[－1，0]A解析由題意0≤x≤1，∴－1≤2x－1≤1，1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.2.求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.感悟提升考點二求函數(shù)解析式(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；例1

求下列函數(shù)的解析式：解(換元法)設1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t.∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；解(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解(構造法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①×2－②，得f(x)＝3x.感悟提升∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞).x2－2，x∈[2，＋∞)(3)(2022·唐山模擬)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝______________.解析設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且f(0)＝c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1，角度1分段函數(shù)的求值考點三分段函數(shù)解析∵f(0)＝2－0＝1，f(－3)＝log2(1＋3)＝2，∴f(0)－f(－3)＝－1.－1解析∵f(2)＝a2＝4，∴a＝2.又f(x)＝f(x＋8)(x<0)，∴f(－2023)＝f(－253×8＋1)＝f(1)＝2.2角度2分段函數(shù)與方程2解析由題意，若a－1≤0，即a≤1，log23角度3分段函數(shù)與不等式C解析當x≤0時，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)，當0<x≤1時，x＋1>1，此時f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴0<x≤1時，恒有f(x)<f(x＋1)；當x>1時，f(x)<f(x＋1)?log2x<log2(x＋1)恒成立，1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.提醒當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應分類討論.3.對于分段函數(shù)的不等式問題要分段解決.感悟提升A.定義域為R B.值域為(－3，＋∞)C.在R上為增函數(shù) D.只有一個零點BD一、單調(diào)性法函數(shù)的值域微點突破

求函數(shù)值域的一般方法：(1)單調(diào)性法；(2)不等式法；(3)配方法；(4)換元法；(5)數(shù)形結合法；(6)分離常數(shù)法；(7)導數(shù)法.CA.2023 B.2024C.4045 D.4046所以f(x)在[－a，a]上遞增，故最大值為f(a)，最小值為f(－a)，二、不等式法3三、配方法配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法，如函數(shù)F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的最值問題，可以考慮用配方法.例3

已知函數(shù)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函數(shù)y的最小值.解y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x(t≥2)，設f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因為t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2，定義域為[2，＋∞).因為函數(shù)y＝f(t)圖象的對稱軸為直線t＝a，所以當a≤2且a≠0時，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；當a>2時，ymin＝f(a)＝a2－2.四、換元法換元法有兩類，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問題及題目形式去靈活選擇換元的方法，以便將復雜的函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的最值問題，從而求出原函數(shù)的最值.2解析由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以設x＝2cosθ(θ∈[0，π])，五、數(shù)形結合法數(shù)形結合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖象求函數(shù)最值的一種常用的方法.解析由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2.其圖象如圖所示.六、分離常數(shù)法故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞).七、導數(shù)法例7

已知f(x)＝2x－lnx，求f(x)的值域.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3A級基礎鞏固解析由y與x的關系知，在中間時間段y值不變，只有D符合題意.1.如圖是張大爺晨練時離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關系的圖象.若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是(

)DA.1 B.2 C.3 D.42.下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為(

)B解析圖象①關于x軸對稱，x>0時，每一個x對應2個y，圖象②中x0對應2個y，所以①②均不是函數(shù)圖象；圖象③④是函數(shù)圖象.CCC解析由條件可知，當x0≥0時，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；所以實數(shù)x0的值為－1或1.A.[0，1] B.(0，1) C.[0，1) D.(0，1]B解析由函數(shù)f(x)的定義域為[－1，1]，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函數(shù)g(x)的定義域為(0，1).B解析令t＝2x，t∈(1，4)，因此[g(t)]∈{－1，0，1}，則函數(shù)y＝[f(x)]的值域為{－1，0，1}.A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪