競賽電路等效電阻計算方法技巧

競賽課件電路等效電阻計算方法技巧第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一對稱法電流疊加法

Y-△變換法

對具有一定對稱性的電路,通過對等勢點的拆、合，對稱電路的“折疊”，將電路簡化為基本的串并聯(lián)電路。

直流電路中各電源單獨存在時的電路電流代數(shù)疊加后與所有電源同時存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流分布，總可歸結(jié)為只含某一個直流電源的電路電流分布．這就是電流的可疊加性．對于一些并不具備直觀的對稱性的電路，可根據(jù)電流的可疊加性，重新設(shè)置電流的分布方式，將原本不對稱問題轉(zhuǎn)化成具有對稱性的問題加以解決。利用Y型聯(lián)接電阻與△型聯(lián)接電阻間等價關(guān)系的結(jié)論，通過電阻Y型聯(lián)接與△型聯(lián)接方式的互換，達(dá)到簡化電路成單純串聯(lián)或并聯(lián)的目的．第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一ABCDEFHGACBDEGFHAC間等效電阻:

如圖所示，12個阻值都是R的電阻，組成一立方體框架，試求AC間的電阻RAC、AB間的電阻RAB與AG間的電阻RAG．專題19-例1續(xù)解第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一ABCDEFHGAB間等效電阻:EGFHABCD續(xù)解第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一ABCDEFHGAG間等效電阻:FHCABEDG第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一AB電源外電路等效電阻:通過電源的電流由

如圖所示的正方形網(wǎng)格由24個電阻r0=8Ω的電阻絲構(gòu)成，電池電動勢ε=6.0V，內(nèi)電阻不計，求通過電池的電流．專題19-例2第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1916年研究了一個有趣的幾何圖形．他將如圖1所示的一塊黑色的等邊三角形ABC的每一個邊長平分為二，再把平分點連起來，此三角形被分成四個相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，得到如圖2的圖形；接著再將剩下的黑色的三個等邊三角形按相同的方法處理，經(jīng)過第二次分割就得到圖3的圖形．經(jīng)三次分割后，又得到圖4的圖形．這是帶有自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊．它的自相似性就是將其中一個小單元（例如圖4中的△BJK）適當(dāng)放大后，就得到圖2的圖形．如果這個分割過程繼續(xù)下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空．

圖1圖2圖3圖4數(shù)學(xué)家對這類幾何圖形的自相似性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門稱為“分形幾何學(xué)”的新學(xué)科．近三十多年來，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)的研究成果和方法用于有關(guān)的物理領(lǐng)域，取得了有意義的進(jìn)展．我們現(xiàn)在就在這個背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題：設(shè)如圖1所示的三角形ABC邊長L0的電阻均為r；經(jīng)一次分割得到如圖2所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻r的二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖3所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻r的四分之一；三次分割得到如圖4所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻r的八分之一．⑴試求經(jīng)三次分割后，三角形ABC任意兩個頂點間的等效電阻．⑵試求按此規(guī)律作了n次分割后，三角形ABC任意兩個頂點間的等效電阻專題19-例3ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGIJ解答第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一讀題對三角形ABC,任意兩點間的電阻rA

BC對分割一次后的圖形對分割二次后的圖形可見,分割三次后的圖形遞推到分割n次后的圖形

第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r．試求A、B兩點間的等效電阻．

小試身手題9ABABBABArAB第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一AB

三個相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)．已知每一個金屬圓圈的電阻都是R，試求圖中A、B兩點間的等效電阻RAB．小試身手題12三個金屬圈共有六個結(jié)點，每四分之一弧長的電阻R/4.將三維金屬圈“壓扁”到AB所在平面并“抻直”弧線成下圖BA第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所示，其中每一小段電阻均為R．試求RAB和RCD．

小試身手題15BAEFABHIE乙DCIGHL甲甲BAFDCIGHLEDC丙第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一解題方向:由于對稱，可將AB中垂線上各電勢點拆分，原電路變換為圖乙，我們看到這是一個具有自相似性的無限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙BBnAnRxRRRR2R丙BA甲A乙當(dāng)n→∞時，多一個單元，只是使Rx按邊長同比增大，即

試求框架上A、B兩點間的電阻RAB．此框架是用同種細(xì)金屬制作的，單位長度的電阻為ρ．一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無窮，如圖所示．取AB邊長為a，以下每個三角形的邊長依次減少一半．小試身手題5第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一解題方向:將原無限長立體正三棱柱框架沿左、右遞縮為三棱臺再“壓”在AB所在平面，各電阻連接如圖ABCAB

如圖所示是由電阻絲連接成的無限電阻網(wǎng)絡(luò)，已知每一段電阻絲的電阻均為r，試求A、B兩點之間的總電阻．小試身手題11ABC返回第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一專題19-例4ABABOOABO

田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每小段電阻絲的電阻均為R，試求網(wǎng)絡(luò)中A、B兩點間的等效電阻RAB．第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

如圖所示的一個無限的平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩個結(jié)點的導(dǎo)線的電阻為r0，如果將A和B接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)的等效電阻RAB．專題19-例5BA第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一專題19-例6ba

有一無限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為R0，求間位結(jié)點a、b間的等效電阻．第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

如圖是一個無限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無數(shù)個大小相同的正三角形網(wǎng)眼構(gòu)成，小三角形每邊的電阻均為r，求把該網(wǎng)絡(luò)中相鄰的A、B兩點接入電路中時，AB間的電阻RAB．小試身手題4AB第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

半徑為R的薄壁導(dǎo)電球由連在A、B兩點上的（AO⊥BO，O點是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖．通過電源的電流為I0．問在球面上C點處（OC⊥OA，OC⊥OB）電荷朝什么方向運動？若在C點附近球面上作兩個小標(biāo)志，使它們相距R／1000，其連線垂直電荷運動方向．問總電流中有多大部分通過這兩標(biāo)志之連線？小試身手題6BAＯCi1i2C處單位長度上電流C處垂直于電荷運動方向上一段弧是的電流為第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)包括兩個立方形，每邊電阻均為2r，求A、B間的電阻．小試身手題10ABBACCBAC返回第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一ACIAIc甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙RaRbRcbIbY→△變換

△→Y變換

第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一專題19-例8abBAdcDCABAB間等效電阻:cabO2rr1.5r1.25rOBAC

如圖所示,一個原來用12根相同的電阻絲構(gòu)成的立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現(xiàn)將其中一根拆去，求A、B兩點間的電阻．第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

如圖所示,甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為△型網(wǎng)絡(luò)元，乙中三端電容網(wǎng)絡(luò)為Ｙ型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間的等效變換公式．小試身手題1ACqAqC甲BqBCABCACCBC乙acqaqcbqbCbCaCcOY→△變換

△→Y變換

第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一小試身手題2RABR/3R/8R/2R/6

電阻均為R的九個相同的金屬絲組成構(gòu)架如圖所示，求構(gòu)架上A、B兩點間電路的電阻．第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一如圖所示，由九根相同的導(dǎo)線組成的一個三棱柱框架，每根導(dǎo)線的電阻為R，導(dǎo)線之間接觸良好，求BD之間的電阻值．小試身手題3BDRBR/3DR/62R/32R/15第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一小試身手題14ABRR/8R/4

如圖所示，由電阻絲構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，每一段電阻絲的電阻均為R，試求RAB．

第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一由7個阻值相同的均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限網(wǎng)絡(luò)如圖⑵所示，試求P、Q兩點之間的等效電阻．小試身手題13Rxr/4r/2rrrrrrr⑴⑵PQ第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一如圖所示，一長為L的圓臺形均勻?qū)w，兩底面半徑分別為