離散傅立葉變換

離散傅立葉變換第一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

第一節(jié)傅立葉變換的幾種形式

一、引言二、傅立葉變換的幾種形式第二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一一、引言傅立葉變換對(duì)于信號(hào)的分析處理發(fā)揮了重要作用，而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，由于計(jì)算機(jī)無法處理連續(xù)的周期的信號(hào)。因此我們需要的是一種在時(shí)域和頻域都離散、非周期的一對(duì)傅立葉變換對(duì)，這就是離散傅立葉變換，簡稱（DFT）離散傅里葉變換（DFT），也是一種有限長序列的傅里葉變換。離散傅里葉變換在頻率域也以序列表示，它不再是連續(xù)函數(shù)。離散傅里葉變換實(shí)際上相當(dāng)于該信號(hào)的傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣。DFT解決了頻域離散化的問題，在信號(hào)處理的理論上有重要意義。第三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

二、傅立葉變換的形式

按照信號(hào)連續(xù)和周期性的不同，傅立葉變換一共可以分為4種：

1、周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)（FS）

2、非周期信號(hào)的傅立葉變換（FT）

3、離散時(shí)間序列的傅立葉變換（DTFT）

4、離散傅立葉級(jí)數(shù)（DFS）

DFT可看作DFS時(shí)域、頻域各取一個(gè)周期第四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

頻域時(shí)域連續(xù)、非周期離散、非周期連續(xù)、周期離散、非周期傅立葉變換的4種形式第五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

頻域時(shí)域離散、周期離散、周期（DFS）離散、非周期連續(xù)、周期（DTFT）傅立葉變換的4種形式（續(xù)表）第六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一通過對(duì)表分析可以發(fā)現(xiàn)：若時(shí)域連續(xù)，則頻域具有非周期性，而若時(shí)域離散則頻域具有周期性。

第七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

第二節(jié)周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)DFS及其基本性質(zhì)

一、周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)二、離散傅立葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一一、周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)

若信號(hào)周期為T，在每個(gè)周期內(nèi)以間隔對(duì)其采樣，，得到離散周期序列：

其周期為N，將展成傅立葉級(jí)數(shù)為（4-2-1）第九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一其中則（4-2-2）左右同乘

并求和如下：

第十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

考慮到

(4-2-3)

因此：

=

(4-2-4)

由于

即周期為N，所以

取整數(shù)。也是周期序列。

第十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一物理意義：因?yàn)闉榱畲耄?-4）式可得:（4-2-5）其中

（為了表示方便，通常用符號(hào)來書寫這個(gè)變換，稱為旋轉(zhuǎn)因子。）將（2-5）式左右同乘

第十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一并對(duì)k在一個(gè)周期中求和，同理可證

(4-2-6)在（2-5）和（2-6）中

和都是周期為N的周期序列，稱為級(jí)數(shù)，

的離散傅里葉用DFS（DiscreteFourierSeries）表示。第十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一(4-2-8)（4-2-7）記作：第十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一二、離散傅立葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1、線性關(guān)系如果周期為N的兩個(gè)周期序列組合成

則的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)

(4-2-10)式中所有序列均為周期序列，周期同為N。(4-2-9)第十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一二、時(shí)域移位特性

如果的傅里葉系數(shù)為，則所對(duì)應(yīng)的系數(shù)將為，此時(shí)設(shè)m<N(如m>N，可替換成以m′表示，m′=m（模N），它將小于N)。為了求證這個(gè)結(jié)果，我們設(shè)

則

(4-2-11)第十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一如果令n+m=n′，那么同時(shí)，對(duì)于 也可求得其(4-2-12)第十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一三、頻域移位特性 的傅里葉系數(shù)為。證明：設(shè)則

(4-2-13)第十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一四、對(duì)稱性傅里葉變換相仿，一個(gè)周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)表示式同樣具有某些對(duì)稱性質(zhì)。

而的傅里葉系數(shù)將為：

(4-2-14)(4-2-15)第十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一一、DFT的定義二、DFT和Z變換的關(guān)系第三節(jié)離散傅立葉變換（DFT）第二十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

一、DFT的定義

DFS在時(shí)域和頻域都離散，但都具有周期性，和都是無限長。而計(jì)算機(jī)無法處理連續(xù)的周期的信號(hào)，取的一個(gè)周期，

(4-3-1)第二十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一則定義的N點(diǎn)離散傅立葉變換DFT為

(4-3-2)的離散傅立葉逆變換IDFT為(4-3-3)其中，稱為DFT變換區(qū)間長度，大于或等于的序列長度。

第二十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

和長度都為N，具有唯一的映射對(duì)應(yīng)關(guān)系。若N小于的序列長度，則會(huì)出現(xiàn)時(shí)域混疊現(xiàn)象，不能正確反映信號(hào)的頻譜。DFT實(shí)際上來自于DFS，相當(dāng)于在時(shí)域和頻域各取一個(gè)周期，對(duì)其作周期延拓，即可得到和。第二十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一例題例4.3.1

求

的10點(diǎn)DFT。解：N=10，則第二十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一二、DFT和Z變換的關(guān)系長度為N的有限長序列，其Z變換和DFT變換分別為

令，可得：

(4-3-5)(4-3-4)(4-3-6)第二十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一式4-3-6說明，的N點(diǎn)DFT是其Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，而連續(xù)譜經(jīng)N點(diǎn)等間隔采樣后即為離散譜。第二十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一一、線性關(guān)系二、序列的循環(huán)位移三、循環(huán)卷積定理四、共軛對(duì)稱性五、帕斯瓦爾（Parseval）定理第四節(jié)離散傅立葉變換的性質(zhì)第二十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一一、線性關(guān)系若序列長度為N1，長度為N2，取則

式(4-4-1)第二十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一二、序列的循環(huán)位移

先將序列以N為周期進(jìn)行周期性延拓，得到，一般將周期序列中從n=0到n=N-1的第一個(gè)周期稱為的主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱為主值序列。對(duì)進(jìn)行移位，得到，取的主值序列則得到有限長序列的循環(huán)移位序列。第二十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一即：如圖4-1所示，移位后，移出主值區(qū)的序列值，又將從另一端進(jìn)入，故稱循環(huán)移位。第三十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一圖4-1序列的循環(huán)位移第三十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一循環(huán)移位后的DFT為：

(4-4-2)證明：第三十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一由于

所以以Ｎ為周期，改變求和區(qū)間，得：

第三十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一同理，若

則

(4-4-3)

第三十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一三、循環(huán)卷積定理

若序列長度為N1，長度為N2，取，其N點(diǎn)DFT分別為和，若有則與的循環(huán)卷積為

式(4-4-4)式(4-4-5)第三十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一證明:對(duì)（4-4-3）式左右兩邊進(jìn)行DFT，得令第三十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一點(diǎn)循環(huán)卷積通常還表示成下列形式：(4-4-6)第三十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一循環(huán)卷積顯然與一般的線性卷積不同。線性卷積可以理解為將一個(gè)序列先作翻轉(zhuǎn)及線性位移，并與另一個(gè)序列相乘，然后再將乘積求和;所得的新序列的長度為2N-1。而循環(huán)卷積的序列長度應(yīng)為N。循環(huán)卷積過程如圖4-2所示第三十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一圖4-2循環(huán)卷積過程示意圖

第三十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一利用時(shí)域和頻域的對(duì)偶關(guān)系，可以得出：若則：

(4-4-7)即

(4-4-8)

對(duì)于序列的循環(huán)卷積，除了用圖4.4.2所示的圖解法外，還可以用表格法求解。第四十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一例4.4.1設(shè)兩序列分別為

求它們的４點(diǎn)循環(huán)卷積。

解：循環(huán)卷積，用表格法計(jì)算，如表所示。第四十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一表格法求循環(huán)卷積

第四十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一四、共軛對(duì)稱性

任意一個(gè)信號(hào)可以表示成它的奇對(duì)稱部分和偶對(duì)稱部分之和，那里的對(duì)稱是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或者縱坐標(biāo)的對(duì)稱性。DFT也有類似的對(duì)稱性，且其區(qū)間長度為Ｎ，所以這里的對(duì)稱是指主值區(qū)間范圍內(nèi)的對(duì)稱，即關(guān)于N/2點(diǎn)的對(duì)稱性。用和分別表示有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列，則有：第四十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

(4-4-9)

(4-4-10)

任意有限長序列都可以表示成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，即：

(4-4-11)

第四十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一將(4-4-11)式中換成N-n，并取復(fù)共軛，可得式(4-4-12)結(jié)合(4-4-11)和(4-4-12)，有(4-4-13)第四十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一(4-4-14)同理，頻域序列也可以分解成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和：(4-4-17)(4-4-16)(4-4-15)第四十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一易證明DFT共軛對(duì)稱性如下：(4-4-18)其中實(shí)部和虛部為和，實(shí)部和虛部為和，即

(4-4-19)第四十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一五、帕斯瓦爾（Parseval）定理

帕斯瓦爾（Parseval）定理：證明：

證畢。第四十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第五節(jié)頻域抽樣理論在時(shí)域中，對(duì)于連續(xù)信號(hào)抽樣時(shí)，若保證抽樣頻率，即可由抽樣信號(hào)無失真恢復(fù)原始信號(hào)。同樣的在頻域中，若對(duì)序列進(jìn)行頻域離散采樣，則可推導(dǎo)出相應(yīng)的頻域抽樣理論，從而能夠從頻域采樣恢復(fù)出原序列。(4-5-1)

(4-5-2)

第四十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一結(jié)論：在單位圓上的點(diǎn)等間隔采樣得到的的IDFT，是原序列以N為周期的周期延拓序列的主值區(qū)間。頻域采樣定理：若序列長度為M，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)時(shí)，才有：

第五十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一即可由頻域采樣恢復(fù)原序列，否則會(huì)產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。若為長為M的序列在頻域的N點(diǎn)等間隔采樣,，則其Z變換為第五十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)上式，可以推導(dǎo)出表示的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)：第五十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一由于其中為內(nèi)插函數(shù)。第五十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第六節(jié)DFT的應(yīng)用一、用DFT計(jì)算線性卷積二、用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析第五十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一一、用DFT計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積的框圖如圖4-3所示圖4-3用DFT計(jì)算線性卷積第五十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一當(dāng)兩個(gè)序列相差較大時(shí)，即時(shí)，取，利用DFT計(jì)算線性卷積時(shí)，由于短序列需要補(bǔ)很多零點(diǎn)，而長序列必須全部輸入后才能快速計(jì)算。因此存儲(chǔ)容量要求大，運(yùn)算時(shí)間和時(shí)延也較長，同時(shí)某些信號(hào)序列長度不定或接近無限長，這給實(shí)時(shí)處理帶來很大困難。為解決這一問題，我們可以將長序列分成較小的段，分段卷積后再首尾相加，即可得到完整輸出。第五十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一二、用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析

引入DFT的目的就是使能夠借助于計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜，而DFT的快速算法FFT使得DFT的這種分析方法具有實(shí)用價(jià)值和重要性。下面介紹用DFT進(jìn)行譜分析（計(jì)算信號(hào)的傅立葉變換）的基本原理和方法。一、DFT進(jìn)行連續(xù)非信號(hào)的譜分析

1．DFT進(jìn)行連續(xù)非周期信號(hào)的譜分析

(4-6-1)第五十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

(4-6-2)

(4-6-1)和(4-6-2)式說明，連續(xù)非周期信號(hào)可以通過對(duì)其進(jìn)行采樣，進(jìn)行DFT后再乘以T近似得到。同理,IDFT計(jì)算一個(gè)非周期信號(hào)的傅里葉反變換,則需再乘以。由于用到了抽樣與截?cái)嗟姆椒ǎ肈FT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行譜分析必然是近似分析。第五十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一2．DFT進(jìn)行連續(xù)周期信號(hào)的譜分析式(4-6-4)

其中式(4-6-3)

第五十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

根據(jù)(4-6-3)和(4-6-4)，則對(duì)于連續(xù)周期信號(hào)有：式(4-6-5)

式(4-6-6)

二、DFT進(jìn)行序列的譜分析三、DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題

1．混疊現(xiàn)象2．柵欄效應(yīng)3．截?cái)嘈?yīng)第六十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第七節(jié)離散傅立葉變換的Matlab仿真

Matlab中相關(guān)離散傅立葉變換函數(shù)如下：1．fft(X):返回向量X的離散傅立葉變換；設(shè)X的長度為N，若N為2的冪次，則為以2為基數(shù)的快速傅立葉變換，否則為運(yùn)算速度很慢的非2冪次的算法。2．fft(X，N):計(jì)算N點(diǎn)的離散傅立葉變換。限定向量的長度為N，若X的長度小于N，不足部分補(bǔ)零，若大于N，則刪去超出N的元素。3．fft（X,[],dim)或fft（X,N,dim),這是對(duì)于矩陣而言的函數(shù)調(diào)用格式，第六十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期