第三章 冪級數(shù)展開

第三章冪級數(shù)展開第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第三章冪級數(shù)展開3.2冪級數(shù)3.3泰勒級數(shù)展開3.4解析延拓§3.1復數(shù)項級數(shù)§3.5洛朗級數(shù)展開§3.6孤立奇點的分類第一篇復變函數(shù)論

第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第三章

冪級數(shù)展開§3.1

復數(shù)項級數(shù)★它的每一項都可分為實部和虛部★那么它們的和為：一、復數(shù)項級數(shù)定義及其收斂判據(jù)復數(shù)項級數(shù)定義：★這樣，復數(shù)無窮項的收斂問題就歸結為兩個實數(shù)項級數(shù)：

第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2、復數(shù)項級數(shù)的收斂判據(jù)——柯西收斂判據(jù)（1）實數(shù)項級數(shù)的收斂定義

★如果實數(shù)項級數(shù)的部分和序列有極限S，即

★則，稱級數(shù)收斂；★這極限S稱為這級數(shù)的和?！锓粗?，稱為極限不存在。

第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四（2）實數(shù)項級數(shù)柯西收斂原理

第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四（3）復數(shù)項級數(shù)的收斂定義=S......★則稱級數(shù)收斂?！镞@時極限S稱為這級數(shù)的和：★反之，稱為極限不存在。

如果復數(shù)項級數(shù)的部分和序列有極限S，即★

第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四級數(shù)收斂的充分必要條件為成立。對于任意給定的正數(shù),總存在自然數(shù)N使得當n＜N時，對于任意的自然數(shù)p都有：★說明從n＞N后面項的和為一小數(shù)，所以收斂。★由★給定，存在N，與N

一一對應關系。（4）復數(shù)項級數(shù)柯西收斂原理

第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四二、絕對收斂與一致收斂的概念及性質(zhì)1、絕對收斂及其性質(zhì)（1）

絕對收斂定義★如果級數(shù)是絕對收斂的，則該級數(shù)收斂。——充分條件！由復數(shù)級數(shù)的各項模、….組成的新級數(shù)或寫為：

收斂，則稱這個級數(shù)為絕對收斂級數(shù)。（2）絕對收斂性質(zhì)

第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★如果級數(shù)和是絕對收斂的，則它們的乘積也是絕對收斂的?！锔淖兘^對收斂級數(shù)的各項先后次序其和不變?！锲浜拖嗤?/p>

第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2、一致收斂及其性質(zhì)（1）一致收斂定義：

如果級數(shù)是定義在區(qū)域B（或境界線L）上，則在區(qū)域B（或L）上的各點z，對于給定的小正數(shù)，存在與z無關的正整數(shù)N，使得n>N時，對于任意的自然數(shù)p

★恒有：成立。則稱級數(shù)為一致收斂。

第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四*三、關于收斂的討論1、一致收斂是對區(qū)域B或L而言?；蛘哒f是對復函數(shù)而言的。2、如果復數(shù)項級數(shù)是B的解析函數(shù)，其級數(shù)和一定是B上的收斂函數(shù)。若則該級數(shù)是絕對一致收斂的。3、一致收斂的性質(zhì)

★如果中的每一項在區(qū)域B上連續(xù)，且級數(shù)在區(qū)域B上一致收斂，則級數(shù)和在B上也是連續(xù)的?！锶绻墧?shù)中的每一項在境界線L上連續(xù),且級數(shù)在境界線L上一致收斂，則級數(shù)和在L上也是連續(xù)的。

第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★如果級數(shù)是解析函數(shù)級數(shù)，若在閉區(qū)域是解析的，在L上是一致收斂的，則有：上Ⅱ級數(shù)和S（z）在上是解析的；Ⅲ在B上有：★對于區(qū)域B或L上的各點z，級數(shù)的各項函數(shù)均有界。即收斂，則由各界值構成新的常數(shù)項級數(shù)收斂,則級數(shù)在上（或L上）是絕對且一致收斂。在上一致收斂；Ⅰ

第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四§3.2冪級數(shù)一、冪級數(shù)表示……均是復常數(shù)。，★這樣的級數(shù)叫做以為中心的冪級數(shù)?！锲渲?、復變函數(shù)的正項冪級數(shù)1、復變函數(shù)的冪級數(shù)表示

第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四二、冪級數(shù)收斂判別法★則絕對收斂，否則發(fā)散?！锸諗堪霃綖椤?/p>

1、達朗貝爾判別法求級數(shù)收斂半徑（比值法）★對于正項冪級數(shù)：

第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2、柯西法求收斂半徑（根式法）＜1，級數(shù)收斂；若其＞1，則發(fā)散?！锸諗堪霃綖椋骸飳ν患墧?shù)而言，兩種方法給出的收斂半徑相同?！飳τ谡梼缂墧?shù)：

第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四例1，求級數(shù)的收斂圓，t為復變數(shù)。=1R=1解：★故級數(shù)在＜1的圓內(nèi)收斂?！锛墧?shù)的和為（幾何級數(shù)）：

第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四例⒉求級數(shù)的收斂半徑。z為復變數(shù)令解★收斂半徑為：★級數(shù)為：★級數(shù)的和為：

第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四1、級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂★設級數(shù)的收斂圓半徑為R,做比收斂圓稍微縮小的圓周；其半徑為R1三、冪級數(shù)性質(zhì)★由構成的常數(shù)項級數(shù)★則有：收斂,則級數(shù)絕對切一致收斂！★因為★即，證明：

第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2、級數(shù)的和在收斂圓內(nèi)部是解析函數(shù)（無奇點）

★由于級數(shù)在收斂圓內(nèi)一致且絕對收斂，則說明級數(shù)在偏小的上一致收斂，則它可在上逐項積分。

★兩邊乘★兩邊積分，并應用柯西公式：證明：

第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★即級數(shù)的和可用連續(xù)函數(shù)的回路積分來表示，且連續(xù)函數(shù)的回路積分可在積分號下求任意多次導數(shù)，說明該級數(shù)的和是一個解析函數(shù)。3、推論：級數(shù)在收斂圓內(nèi)部可以逐項求導任意多次?！飸昧?/p>

第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四3、級數(shù)在收斂圓內(nèi)部可以逐項求導任意多次=++…★用有界函數(shù)乘下式：★得：★兩邊應用求導的柯西公式：★得：★請查閱P30式（2.4.7）

第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四§3.3泰勒級數(shù)展開一、解析函數(shù)以冪級數(shù)展開問題定理：設f(z)在以z0為圓心圓內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任意在z點，

f(z)可以展開冪級數(shù)：★其中，★為圓內(nèi)包含z且與同心的圓。

第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★

f(z)在內(nèi)解析，則應用柯西公式，在內(nèi)有證明：將展為以為圓心的收斂圓內(nèi)的冪級數(shù)★

第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★則有內(nèi)的點，則上的點，z是★

∵是

第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★則有

★其中

第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★收斂圓半徑為即★解析函數(shù)在收斂圓內(nèi)展開的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)！（1）解析函數(shù)在收斂圓內(nèi)以同一點為中心展為泰勒級數(shù)是唯一的。（2）若函數(shù)f(z)在收斂圓上或外部不解析，則函數(shù)與展開的泰勒級數(shù)只有在收斂圓內(nèi)部才相等。說明

第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四二、解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)舉例1、直接展開法：在的鄰域上把展開。例1,解：在復平面上解析，則在z0=0的鄰域上也是解析的，則其導函數(shù)：

第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★故有：★收斂半徑為：

第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四在的鄰域上把展開。例2（1）在復平面上解析的，則在的鄰域上解析，解：

第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★（2）同理：

第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2、間接展開法例3求在z=0處的泰勒級數(shù)。解：★函數(shù)可以表為:

第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四求函數(shù)在z=0的泰勒展開。例4f(z)=ln(1+z)解

第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★一些常用初等復變函數(shù)的泰勒展開式

第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四例5，在zo=0的鄰域上將

展開（m不是整數(shù)）。解：先計算展開系數(shù)：

第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★根據(jù)

★得：第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四§3.4解析延拓一、問題的提出與解析延拓概念1、問題的提出★上式的左端的函數(shù)在很大的區(qū)域內(nèi)都是解析的，只有在點不解析，但上式右端泰勒級數(shù)只在區(qū)域解析，這樣，我們可以說有兩個函數(shù)：（除以外）★其一，★其二，

第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★兩函數(shù)有怎樣的關系呢？★函數(shù)的解析區(qū)域大于的解析區(qū)域；★在小區(qū)域上★能否通過找到呢？2、解析延拓

若已知f(z)在某個鄰域b上解析，若能找到另一個函數(shù)F(z)，使它在含有區(qū)域b的一個較大的鄰域上是解析的，并且在區(qū)域b上等同于f(z)

，這一過程稱為解析延拓。解析延拓就是使得解析函數(shù)定義域的擴大！

第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四二、解析延拓的方法★利用泰勒級數(shù)方法將兩類函數(shù)“等值互相換”進行解析延拓；★選區(qū)域b的內(nèi)點，在的鄰域上把解析函數(shù)展開；★如果這收斂區(qū)域有一部分超出b，函數(shù)f(z)定義域就擴大了一步，再在超出部分的區(qū)域選定一點為中心展開，這樣反復下去就可以找到函數(shù)F(z)所有的解析區(qū)域了。

第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四三、函數(shù)解析延拓的唯一性定理：函數(shù)f(z)通過某種方法進行了解析延拓，得到的函數(shù)是唯一的?！镌赽上有★設用兩種方法將函數(shù)f(z)從較小區(qū)域b解析延拓到較大區(qū)域B上，得到的函數(shù)分別是F1(z)和F2(z).★構成新函數(shù)，該函數(shù)是解析的，且在b上處處為零,在B上不一定處處為零。證明：

第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★顯然，G(z)在B上不為零，若使G(z)在b上處處為零，必須有★則，滿足b上G(z)處處為零，必然要求在整個區(qū)域上處處為零?！锛热辉贐上處處為零則必然處處有：在b的境界線上的點,將G(z)在的鄰域內(nèi)做泰勒展開：★若系數(shù)中首項不為零的是，則：★證畢！

第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四§3.5洛朗級數(shù)展開一、問題的引入1、雙邊冪級數(shù)★負冪項部分主要部分★正冪項部分解析部分★其收斂半徑為★收斂域★其收斂半徑為★收斂域

第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四（1）如果，兩收斂域無公共部分；（2）如果,兩收斂域有公共部分:收斂環(huán)收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域1/R2

第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★解析部分與負冪部分都收斂的區(qū)域，洛朗級數(shù)才可能收斂?！锛?，洛朗級數(shù)的收斂域為：2、問題:★其中：回答:

第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四三、洛朗定理

有時需要討論一個函數(shù)在它的奇點附近的性質(zhì)，需要把函數(shù)展開為冪級數(shù)進行討論。在這種情況下，顯然不能做泰勒展開，而洛朗級數(shù)將解決這一問題。1、洛朗定理：★其中

★積分路徑C是內(nèi)外境界線，為正方向（按逆時針閉合曲線）。設f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任意點z，f(z)可展為冪級數(shù)：

第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★由復通區(qū)域的柯西公式：★對于第一項，有：★因為ξ在上，2、洛朗定理的證明：★取（虛線）比外境界線稍小，（虛線）比內(nèi)境界線稍大，以便不考慮圓周上的問題?！餅槭裁?？

第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★在上，★因為ξ在上，★即★所以，有

第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★令k=－（l+1），得

第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★最后的洛朗級數(shù):★合寫在一起:★即

第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四(1)洛朗級數(shù)既可以在奇點附近展開，也可在非奇點附近展開；(3)如果只有環(huán)心是f(z)的奇點，則內(nèi)圓半徑可以任意小，這時的展開稱為孤立奇點的鄰域內(nèi)展開。★最后的洛朗級數(shù):3、關于洛朗級數(shù)的幾點說明(2)洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)不完全相同，其系數(shù)關系為：★請學生課堂說明：為什么洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的系數(shù)不完全相同？

第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四四、函數(shù)的洛朗展開法解：z=0處是函數(shù)的奇點，其余在復平面上收斂，則有例1，1、洛朗級數(shù)展開的求法（1）直接法：由定義求.太繁雜，一般不用。

（2）間接法：借助一些常用函數(shù)的級數(shù)展開式，以唯一性為依據(jù)，運用冪級數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)運算、復合運算、求導和積分等得到解析函數(shù)的洛朗展開式。2、舉例

第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四例2，將函數(shù)在區(qū)域中展成洛朗級數(shù)。解：函數(shù)f(z)存在兩個奇點：z=1，z=2，函數(shù)在上述兩環(huán)域中均為解析。級數(shù)中心均指定為z=1。（1）在環(huán)域中

第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四（2）在區(qū)域中

第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四例3.求ctgz在z=0的鄰域內(nèi)的洛朗展開。解：用待定系數(shù)法。因為ctgz是奇函數(shù)，則：??￥+-￥=+++￥-￥=++==nnnnnnzbzzzbctgz12121212sincos★所以有：

第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★由此推得：

第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四例4.在z=z0的鄰域內(nèi)展開解：由★正冪次數(shù)應當是：m=l-n；負冪次數(shù)應當是：-h=-(n-l)

第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四★正冪次數(shù)應當是：m=l-n

第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四§3.6孤立奇點的分類一、孤立奇點與非孤立奇點1、孤立奇點函數(shù)f(z)在不可導，而的鄰域內(nèi)處處可導，此點稱為f(z)的孤立奇點。2、非孤立奇點函數(shù)f(z)在的鄰域內(nèi)除在點處不可導以外，還至少存在一點使f(z)在該點處不可導，此點稱為非孤立奇點。

第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四二、孤立奇點的分類及性質(zhì)1、孤立奇點的分類（1）可去奇點★若函數(shù)f(z)在的環(huán)域內(nèi)，只有正冪項級數(shù)★該點稱為可去奇點！說明:無論在是否有定義,補充定義使函數(shù)在解析.(1)(2)