第七講 建筑設(shè)計(jì)原理

第七講建筑設(shè)計(jì)原理第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四微積分的萌芽微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追溯到古代。我們已經(jīng)知道，面積和體積的計(jì)算自古以來一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希臘、中國和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長的例子。下面我們回顧一下。第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四中國的微積分思想萌芽公元前5世紀(jì)，戰(zhàn)國時(shí)期名家的代表作《莊子?天下篇》中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，是我國較早出現(xiàn)的極限思想。魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”開創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元，用他的話說，就是：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！钡谒捻?，共三十四頁，編輯于2023年，星期四西方的微積分思想萌芽安提芬的“窮竭法”。他在研究化圓為方問題時(shí)，提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積逼近圓面積，從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、……無限重復(fù)這一過程，得到一個(gè)邊長極微小的圓內(nèi)接正多邊形，從而求出圓面積。之后，阿基米德借助窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計(jì)算問題。第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的起源則要晚的多，刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問題。古希臘學(xué)者曾進(jìn)行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德《論螺線》中確定給定點(diǎn)處切線的方法；阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》中討論過圓錐曲線的切線，等等。但所有這些都是基于靜態(tài)的觀點(diǎn)，真正意義上的微積分醞釀主要在17世紀(jì)上半葉這半個(gè)世紀(jì)。第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四十七世紀(jì)微積分的醞釀首先來回顧一下這一時(shí)期自然科學(xué)的一般形勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動(dòng)了光學(xué)的研究。第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運(yùn)動(dòng)定律。行星運(yùn)動(dòng)三大定律主要為：1。行星運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；

2。由太陽到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等；3。行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

開普勒主要是通過觀測歸納出這三條定律，要從數(shù)學(xué)上推證開普勒的經(jīng)驗(yàn)定律，成為當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的中心課題之一。第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

1638年，伽利略建立了自由落體定律、動(dòng)量定律等，為動(dòng)力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認(rèn)識(shí)到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45度時(shí)達(dá)到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對(duì)動(dòng)力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本主義生產(chǎn)力刺激下蓬勃發(fā)展的自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的基本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四集中的焦點(diǎn)主要有：

<一>

非勻速運(yùn)動(dòng)物體在任意時(shí)刻的速度和加速度使瞬時(shí)變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急。

<二>望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計(jì)使得求曲線的切線問題不可回避。<三>確定炮彈的最大射程以及求行星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題。<四>求行星沿軌道運(yùn)動(dòng)的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力等，使面積、體積、曲線長、重心和引力等微積分基本問題的計(jì)算被重新研究。第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四1.開普勒與球體積開普勒(德，1571-1630)無窮小求和思想球的體積是無數(shù)個(gè)小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點(diǎn)在球心，底面則是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和,體積為故球的體積為第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四2.卡瓦列里不可分量原理(意,1598-1647)

他在《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分量的幾何學(xué)》中發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法。認(rèn)為線是由無限多個(gè)點(diǎn)組成；面是由無限多條平行線段組成；立體則是由無限多個(gè)平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量”。

意大利數(shù)學(xué)家，積分先驅(qū)者之一。自稱是伽利略的學(xué)生，1629年，在伽利略的大力推薦下，任博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授直到去世?？ㄍ吡欣锢眠@條原理計(jì)算出許多立體圖形的體積，他對(duì)積分學(xué)創(chuàng)立最重要的貢獻(xiàn)還在于在1639利用平面下的不可分量原理建立了等價(jià)于下列積分式子：第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

在平行四邊形ACDF中，AF=a，其內(nèi)任一平行于AF的截線GE被對(duì)角線分成兩部分GH=x,HE=y.取正方形情形得到，亦即第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四按費(fèi)馬的方法,設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處取極值，費(fèi)馬用“a+e”代替原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即：f(a+e)～f(a)，消去公共項(xiàng)后，用e除兩邊，再令e消失，即

3.費(fèi)馬求極大值和極小值方法由此方程求得的a就是f(x)的極值點(diǎn)。（駐點(diǎn)）

費(fèi)馬的方法相當(dāng)于現(xiàn)今微積分學(xué)當(dāng)中所有的方法，只是以符號(hào)e代替了增量“”。第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

4.巴羅的“微分三角形”巴羅（英1630-1677）巴羅是牛頓的老師。是英國劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”，也是英國皇家學(xué)會(huì)的首批會(huì)員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)到牛頓的杰出才能時(shí)，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，舉薦自己的學(xué)生——當(dāng)時(shí)才27歲的牛頓來擔(dān)任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

與笛卡爾“圓法”、費(fèi)馬不同，巴羅使用幾何法求曲線切線。如圖：設(shè)曲線f(x,y)=0，欲求其上一點(diǎn)P處的切線。

巴羅考慮一段“任意小的弧”，它是由增量QR=e引起的。就是所謂的微分三角形。他認(rèn)為當(dāng)這個(gè)三角形越來越小時(shí)，它與應(yīng)趨近于相似，故應(yīng)有：因Q、P在曲線上，故應(yīng)有在上式消去一切包含e,a的冪或二次乘積的項(xiàng)，從所得方程中解出，即切線斜率，于是可得到t值而作出切線。實(shí)質(zhì)上是把切線看作當(dāng)a和e趨于零時(shí)割線PQ的極限位置。a和e相當(dāng)于現(xiàn)在的和，而則是相當(dāng)于點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y）第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四5.牛頓

英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家，牛頓的主要貢獻(xiàn)發(fā)明了微積分，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律和經(jīng)典力學(xué)，設(shè)計(jì)并實(shí)際制造了第一架反射式望遠(yuǎn)鏡等，被譽(yù)為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學(xué)家。為了紀(jì)念牛頓在經(jīng)典力學(xué)方面的杰出成就，“牛頓”后來成為衡量力的大小的物理單位。艾薩克·牛頓（1642-1727）第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四少年1643年1月4日，牛頓，誕生于英格蘭林肯郡小鎮(zhèn)沃爾索浦的一個(gè)農(nóng)民家庭，早產(chǎn)兒，出生時(shí)只有三磅重。牛頓自幼沉默寡言、性格倔強(qiáng)，少年時(shí)并不是神童，資質(zhì)平常、成績一般，但酷愛讀書與制作玩具。迫于生活，停學(xué)在家務(wù)農(nóng)，贍養(yǎng)家庭。后在其舅父的勸說下重返校園。歷史上最幸運(yùn)的預(yù)言：“在繁雜的農(nóng)務(wù)中埋沒這樣一位天才，對(duì)世界來說將是多么巨大的損失！”（史托克斯校長對(duì)其母親的勸說辭）第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四求學(xué)歲月

牛頓1661年入英國劍橋大學(xué)圣三一學(xué)院，1665年獲學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖微積分、萬有引力、光學(xué)分析的思想都是在這時(shí)孕育成形的.1667年回劍橋后當(dāng)選為圣三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授.牛頓爵士第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四二項(xiàng)式定理在牛頓的全部科學(xué)貢獻(xiàn)中，數(shù)學(xué)成就占有突出的地位。1665年，剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理。(數(shù)學(xué)生涯中的第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果)，這對(duì)于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步?！爸R(shí)在于積累，聰明來自學(xué)習(xí)”“你若想獲得知識(shí)，你該下苦功；你若想獲得食物，你該下苦功；你若想得到快樂，你也該下苦功，因?yàn)樾量嗍谦@得一切的定律”第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四微積分（“流數(shù)術(shù)”）

牛頓對(duì)微積分問題的研究始于1664年秋，首創(chuàng)了小o記號(hào)表示x的無限小且最終趨于零的增量。為解決運(yùn)動(dòng)問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的，牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”。1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法)，次年5月又建立了”反流數(shù)術(shù)”(積分法)，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，著稱《流數(shù)簡論》，這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)?？赡苁怯捎谠缒杲?jīng)歷所致，牛頓性格沉郁內(nèi)向，不善在公眾場合表述思想，故未正式發(fā)表但在同事中傳閱。第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

任意時(shí)刻的速度看是在微小的時(shí)間范圍里的速度的平均值，這就是一個(gè)微小的路程和時(shí)間間隔的比值，當(dāng)這個(gè)微小的時(shí)間間隔縮小到無窮小的時(shí)候，就是這一點(diǎn)的準(zhǔn)確值。這就是微分的概念。求微分相當(dāng)于求時(shí)間和路程關(guān)系得在某點(diǎn)的切線斜率。第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

一個(gè)變速的運(yùn)動(dòng)物體在一定時(shí)間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時(shí)間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當(dāng)于求時(shí)間和速度關(guān)系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發(fā)，建立了微積分。第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四6.萊布尼茲萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個(gè)教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時(shí)開始接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡及巴羅等人的科學(xué)思想。1667年獲法學(xué)博士學(xué)位，次年開始為緬因茨選帝侯服務(wù)，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年(1672—1676)，這四年對(duì)他整個(gè)科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多重大的成就包括創(chuàng)立微積分都是在這一時(shí)期完成或奠定了基礎(chǔ)。第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四特征三角形

與牛頓流數(shù)論的運(yùn)動(dòng)學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三角形，也稱“微分三角形”，在巴羅的著作中已經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也使用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形．第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四

三角形EFG由dy,dx和弦EG所組成，AD是曲線BC在點(diǎn)D的法線。萊布尼茲認(rèn)為弦EG是“E和G之間的曲線，而又是點(diǎn)D的切線的一部分”。無窮小時(shí)，它相似于三角形ADK。因此，

于是該公式清楚地確立了切線問題（由切線給出）與求積問題（計(jì)算）的互逆關(guān)系。萊布尼茲還發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)?shù)亟⑴c特征三角形的相似關(guān)系，可以進(jìn)一步解決曲線的求長與求積問題。

（或

）

第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四創(chuàng)建微積分符號(hào)早在1666年，萊布尼茨在《組合藝術(shù)》一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論?！扒笄芯€不過是求差，求積不過是求和”。在1675年10月29日的一份手稿中，他決定用符號(hào)代替omn，顯然是“sum”的首字母s的拉長。

1684年萊布尼茨發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，簡稱《新方法》，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對(duì)自己1673年以來微分學(xué)研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào)dx，dy（相鄰x或y值得差）。第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四萊布尼茲的主要成果★1675年給出積分號(hào)“”，同年引入微分號(hào)“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684年，“求極大與極小值和求切線的新方法”★1686年，“深?yuàn)W的幾何與不可分量的無限的分析”第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四萊布尼茨引進(jìn)的符號(hào)d和體現(xiàn)了微分與積分的“差”和“積”的實(shí)質(zhì)，后來獲得普遍接受并沿用至今。相對(duì)而言，牛頓對(duì)符號(hào)不太講究，他用帶點(diǎn)字母、……表示流數(shù)，就是我們現(xiàn)在的一階導(dǎo)，二階導(dǎo)等，用帶撇字母……表示流量，就是一次積分，二次積分等?，F(xiàn)在已被完全淘汰。第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期四