第三節(jié)層次分析

第三節(jié)層次分析第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四層次分析法建模一問題的提出例1購物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。

決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四

假期旅游，是去風(fēng)光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例2旅游例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四

由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。

面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎亟o用數(shù)學(xué)方法解決問題帶來不便。例4科研課題的選擇第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四

層次分析法（AHP）是美國運籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國國防部研究“根據(jù)各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時，應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)理論和多目標(biāo)綜合評價方法，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。這種方法的特點是在對復(fù)雜的決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為多目標(biāo)、多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復(fù)雜系統(tǒng)作出決策的模型和方法。第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機數(shù)學(xué)為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學(xué)工具之一。第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四層次分析法的基本思路：與人們對某一復(fù)雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四二層次分析法的基本步驟買鋼筆質(zhì)量顏色價格外形實用可供選擇的筆1建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層

方案層目標(biāo)層第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四選擇旅游地景色費用居住飲食旅途蘇州、杭州、桂林例2層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層A

方案層B目標(biāo)層Z若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四設(shè)某層有個因素，2構(gòu)造成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標(biāo)的影響程度排序）用表示第個因素相對于第個因素的比較結(jié)果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時取1~9尺度。第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四１３５７９尺度第個因素與第個因素的影響相同第個因素比第個因素的影響稍強第個因素比第個因素的影響強第個因素比第個因素的影響明顯強第個因素比第個因素的影響絕對地強含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第個因素相對于第個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四由上述定義知，成對比較矩陣則稱為正互反陣。比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿足以下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四由上表，可得成對比較矩陣旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四3層次單排序及一致性檢驗層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成各小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣由右面矩陣可以看出，第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四即，但在例2的成對比較矩陣中，在正互反矩陣中，若,則稱為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5.的任一列(行)都是對應(yīng)于特征根的特征向量。第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階互反陣的最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時，為一致陣。表示下層第個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四由于連續(xù)的依賴于，則比大得越多，的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對應(yīng)的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中為的對角線元素之和，也為的特征根之和。第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四則可得一致性指標(biāo)定義隨機一致性指標(biāo)隨機構(gòu)造500個成對比較矩陣隨機一致性指標(biāo)RI的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四一致性檢驗：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對進(jìn)行檢驗的過程。

一般，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對加以調(diào)整。時，認(rèn)為第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四4層次總排序及其一致性檢驗

確定某層所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：對總目標(biāo)Z的排序為的層次單排序為第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四即層第個因素對總目標(biāo)的權(quán)值為：層的層次總排序為：B層的層次總排序AB第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四層次總排序的一致性檢驗設(shè)層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時，認(rèn)為層次總排序通過一致性檢驗。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四計算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗進(jìn)行檢驗。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四層次分析法建模舉例

一、旅游問題

(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四（2）構(gòu)造成對比較矩陣第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應(yīng)的歸一化特征向量第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗，結(jié)果如下：計算可知通過一致性檢驗。第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四對總目標(biāo)的權(quán)值為：（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗又決策層對總目標(biāo)的權(quán)向量為：同理得，對總目標(biāo)的權(quán)值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗。第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四可作為最后的決策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重排序為第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四書例：投資效果評價（1）建立該投資評價問題的遞階結(jié)構(gòu)投資效果好（A）風(fēng)險程度（B1）資金利潤率（B2）轉(zhuǎn)產(chǎn)難易程度（B3）產(chǎn)品1（C1）產(chǎn)品2（C2）產(chǎn)品3（C3）（目的層）（準(zhǔn)則層）（方案層）第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四（2）建立各階段的判斷矩陣A，并進(jìn)行一致性檢驗判斷矩陣標(biāo)度定義

標(biāo)度含義1兩個要素相比，具有同樣重要性3兩個要素相比，前者比后者稍微重要5兩個要素相比，前者比后者明顯重要7兩個要素相比，前者比后者強烈重要9兩個要素相比，前者比后者極端重要2，4，6，8上述相鄰判斷的中間值倒數(shù)兩個要素相比，后者比前者的重要性標(biāo)度第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四34判斷矩陣及其分析處理舉例AB1B2B3WiWioB111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122(3.804)[注]Wi的求取采用方根法（幾何平均值法）

B1C1C2C3WiWioC111/31/50.4060.105C2311/31.0000.258C35312.4660.637第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四35B2C1C2C3WiWioC11272.4100.592C21/2151.3570.333C31/71/510.3060.075B3C1C2C3WiWioC111/31/70.7540.149C2311/90.3330.066C37913.9790.785第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四（4）求各方案的總重要度第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四層次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗2.構(gòu)造成對比較矩陣從第二層開始用1~9尺度構(gòu)造成對比較矩陣。4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗求最大特征對應(yīng)的歸一化特征向量，做一致性比率檢驗。利用層次單排序，計算層次總排序，并做一致性檢驗。第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。2實用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應(yīng)用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。層次分析法的優(yōu)點和局限性（注意的問題）第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四3簡潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。一般，每一層次中各要素所支配的要素一般不要超過9個，否則會給兩兩比較帶來困難。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。第四有時一個復(fù)雜問題的分析僅僅用遞階層次結(jié)構(gòu)難以表達(dá)，需引進(jìn)循環(huán)或反饋等更復(fù)雜的形式。有專門的研究第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣1-9之間的整數(shù)或其倒數(shù)的正互反矩陣。兩兩判斷次數(shù)n（n-1）/2一致性檢驗方法第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四正互反陣最大特征值和特征向量實用算法

成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。

用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當(dāng)困難，特別是階數(shù)較高時。第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四定理（特征根法）對于正矩陣A

（A的所有元素為正）1）A的最大特征根為正單根；2）對應(yīng)正特征向量w（w的所有分量為正）；3）其中是對應(yīng)的歸一化特征向量。第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四和法步驟如下a)將A的每一列向量歸一化得b)對c)歸一化按行求和得d)計算第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對按行求積并開n次方，即以上方法中，和法最為簡便?？聪铝欣?。e)計算，最大特征值的近似值。第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四列向量歸一化求和歸一化精確計算，得第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四

某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用?？晒┻x擇的方案有：以獎金名義發(fā)給職工；擴建集體福利設(shè)施；購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，比如調(diào)動職工的積極性、提高企業(yè)的技術(shù)水平、引進(jìn)新設(shè)備等。如何合理使用這筆利潤。2合理分配資金問題

第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四合理分配資金問題層次結(jié)構(gòu)模型合理利用企業(yè)利潤Z調(diào)動職工的積極性C1提高企業(yè)的技術(shù)水平C2改善職工的生活條件C3

發(fā)獎金P1

擴建福利事業(yè)P2

引進(jìn)新設(shè)備P3

第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四2求解Z-C矩陣ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OKW采用求和法計算第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四C-P矩陣C1P1P2

WP1P2131/310.750.25CI1RI200OKC2P2P3

WP2P311/5510.1670.833CI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四C3P1P2

WP1P2121/210.6670.333CI3RI200OK{0.667,0.333,0}第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四Z-P矩陣ZPC1C2C30.1050.6370.258總排序權(quán)值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四六遞階層次結(jié)構(gòu)與更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)以上層次結(jié)構(gòu)模型有兩個共同特點：模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內(nèi)部因素之間不存在相互影響或支配作用，或者這種影響作用可以忽略。層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對上層的反饋作用，或?qū)哟伍g的循環(huán)作用。遞階層次結(jié)構(gòu)第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)層次內(nèi)部因素之間存在相互影響。下層對上層有支配作用，形成循環(huán)，無法區(qū)分上下層。既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，，又在層次間存在反饋作用。要用層次分析法解決這樣的問題，還需引入新概念，并建立相應(yīng)的算法。思考第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四七練習(xí)某單位擬從3名干部中選拔一名領(lǐng)導(dǎo)，選拔的標(biāo)準(zhǔn)有政策水平、工作作風(fēng)、業(yè)務(wù)知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用AHP方法對3人綜合評估、量化排序。第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四目標(biāo)層選一領(lǐng)導(dǎo)干部

準(zhǔn)則層

方案層健康狀況業(yè)務(wù)知識口才寫作能力工作作風(fēng)政策水平⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)A的最大特征值相應(yīng)的特征向量為：⑵構(gòu)造成對比較矩陣及層次單排序一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1通過一致性檢驗第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四假設(shè)3人關(guān)于6個標(biāo)準(zhǔn)的判斷矩陣為：健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四由此可求得各屬性的最大特征值和相應(yīng)的特征向量。特征值健康情況業(yè)務(wù)知識寫作能力口才政策水平工作作風(fēng)3.023.023.053.053.003.02各屬性的最大特征值均通過一致性檢驗第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四從而有即在3人中應(yīng)選擇A擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)。⑶層次總排序及一致性檢驗第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期四擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，也可直接選擇考研，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。用層次分析法，選擇適合自己的理想工作。課