2024學(xué)年江西省上饒市上饒縣中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024學(xué)年江西省上饒市上饒縣中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊(duì)”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則（）A. B.C. D.2．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A. B.C. D.3．在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.6C.7 D.84．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線(xiàn)C.拋物線(xiàn) D.橢圓5．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍（）A.-1m B.-1m<0或0<mC.m或m-1 D.m1或m-16．甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰(shuí)先到體育館7．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且直線(xiàn)在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.8．?dāng)?shù)列，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.9．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.2410．一個(gè)幾何體的三視圖都是半徑為1的圓，在該幾何體內(nèi)放置一個(gè)高度為1的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體積最大值為（）A. B.C. D.111．已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線(xiàn)，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線(xiàn)C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；③曲線(xiàn)C被x軸所截得的弦長(zhǎng)為2；④曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離都不超過(guò)2.14．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的___________倍，這說(shuō)明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.15．曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)__________.16．直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積18．（12分）已知直線(xiàn)：和：（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求實(shí)數(shù)m的值19．（12分）自疫情爆發(fā)以來(lái)，由于黨和國(guó)家對(duì)抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國(guó)抗疫工作取得階段性成功，國(guó)家經(jīng)濟(jì)很快得到復(fù)蘇.在餐飲業(yè)恢復(fù)營(yíng)業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計(jì)了近天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計(jì)（1）求、、的值，并估計(jì)該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計(jì)這家快餐店這天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn).（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.21．（12分）已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B，C為E上兩個(gè)不同的點(diǎn)，其中B點(diǎn)在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.22．（10分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【題目詳解】解：由已知得,，則，故選：A【題目點(diǎn)撥】此題考查條件概率問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題2、A【解題分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長(zhǎng)的取值范圍.【題目詳解】的周長(zhǎng)，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線(xiàn)，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A.3、B【解題分析】由得出.【題目詳解】由可得，故選：B4、D【解題分析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【題目詳解】由題意知，關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.5、C【解題分析】把看成動(dòng)點(diǎn)與所確定的直線(xiàn)的斜率，動(dòng)點(diǎn)在所給曲線(xiàn)上.【題目詳解】就是點(diǎn)，所確定的直線(xiàn)的斜率，而在上，因?yàn)椋?故選：C6、A【解題分析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【題目詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對(duì)于甲：，得對(duì)于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，乙花時(shí)間多，甲先到體育館故選：A7、A【解題分析】分析可知直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值，化簡(jiǎn)可得直線(xiàn)的方程.【題目詳解】若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中且，則直線(xiàn)的斜率為，解得，所以，直線(xiàn)的方程為，即.故選：A.8、B【解題分析】根據(jù)給定數(shù)列，結(jié)合選項(xiàng)提供通項(xiàng)公式，將n代入驗(yàn)證法判斷是否為通項(xiàng)公式.【題目詳解】A：時(shí)，排除；B：數(shù)列，，，，…滿(mǎn)足.C：時(shí)，排除；D：時(shí)，排除；故選：B9、B【解題分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B10、B【解題分析】根據(jù)題意得到幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑時(shí)，長(zhǎng)方體體積最大，設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，得到等量關(guān)系，利用基本不等式求解體積最大值.【題目詳解】由題意得：此幾何體為半徑為1的球，長(zhǎng)方體為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體時(shí)，體積最大，此時(shí)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)為球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，則由題意得：，解得：，而長(zhǎng)方體體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B11、D【解題分析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【題目詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D12、A【解題分析】將直線(xiàn)方程變形得，再根據(jù)方程即可得答案.【題目詳解】解：由得到：，∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解題分析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；將x換成，曲線(xiàn)的方程不變則關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；令通過(guò)解方程即可求得被x軸所截得的弦長(zhǎng)；利用基本不等式即可判斷出曲線(xiàn)C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否不超過(guò)2，根據(jù)曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可判斷出曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離是否都不超過(guò)2.【題目詳解】對(duì)于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線(xiàn)C關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，將x換成，曲線(xiàn)的方程不變，則曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故②正確；對(duì)于③，令得，，解得，即曲線(xiàn)C與x軸的交點(diǎn)為和，則曲線(xiàn)C被x軸所截得的弦長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，則，即曲線(xiàn)C上y軸右側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2，此曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即曲線(xiàn)C上y軸左側(cè)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離也不超過(guò)2，故④正確；故答案為：②④.14、①.②.快【解題分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率即為函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后將和代入進(jìn)行計(jì)算，再求，即可得到結(jié)果，進(jìn)而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度的快慢【題目詳解】由題意，可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，所以，，所以，所以?xún)艋郊儍舳葹闀r(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍；因?yàn)椋芍募儍舳仍礁?，凈化費(fèi)用增加的速度越快.故答案為：，快.15、【解題分析】先求導(dǎo)數(shù)，得出切線(xiàn)斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程，然后可求三角形的面積.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以切線(xiàn)方程為，即；令可得，令可得；所以切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、【解題分析】求出圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)合半徑，利用勾股定理可得答案.【題目詳解】的圓心坐標(biāo)為，，圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【解題分析】（1）由直線(xiàn)與平面垂直證明直線(xiàn)與平行的垂直；（2）證明直線(xiàn)與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面，因?yàn)锳B平面，所以平面平面.（2）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因?yàn)?AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.考點(diǎn)：本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想18、（1）2（2）或【解題分析】（1）易知兩直線(xiàn)的斜率存在，根據(jù)，由斜率相等求解.（2）分和，根據(jù)，由直線(xiàn)的斜率之積為-1求解.【小問(wèn)1詳解】由直線(xiàn)的斜率存在，且為，則直線(xiàn)的斜率也存在，且為，因?yàn)?，所以，解得?，①當(dāng)時(shí)，由此時(shí)直線(xiàn)，重合，②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)，平行，綜上：若，則實(shí)數(shù)m的值為2【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)斜率為0，此時(shí)若必有，不可能.②當(dāng)時(shí)，若必有，解得，由上知若，則實(shí)數(shù)m的值為或19、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均數(shù)為，方差為.【解題分析】（1）計(jì)算出第組的頻數(shù)，可求得的值，利用頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關(guān)系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數(shù)公式可求得該快餐店在前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由表可知第組的頻數(shù)為，所以，，，第組的頻率為，，前天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為：.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，則由（1）知前天的平均數(shù)，方差，后天的平均數(shù)，方差，故這天的平均數(shù)為，，同理，這天的方差，由以上三式可得.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線(xiàn)面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，則是等邊三角形，，，在中，，滿(mǎn)足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點(diǎn)坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.21、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線(xiàn)定義，可求得，即得拋物線(xiàn)方程；（2）由題意推出四邊形AOBC是菱形.，設(shè)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可表示出B,C的坐標(biāo)，從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得所設(shè)參數(shù)值，進(jìn)而求得答案.【小問(wèn)1詳解】的準(zhǔn)線(xiàn)為：，作于R，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義有，所以，因?yàn)樵诘膬?nèi)側(cè)，所以當(dāng)P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，解得，所以的方程為.小問(wèn)2詳解】因?yàn)锳B，OC互相垂直平分，所以四邊形AOBC是菱形.由，得軸，設(shè)點(diǎn)，則，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，，，.由，得，解得,所以在菱形中，，邊上的高，所以菱形的面積.22、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見(jiàn)詳解【解題分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，.令，，則.