2024學年湖南省湘潭市名校高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2024學年湖南省湘潭市名校高二數學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設為數列的前n項和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.92．如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，則M點的坐標為（）A. B.C. D.3．函數的圖象在點處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.14．已知，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.5．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.46．若等比數列的前n項和，則r的值為（）A. B.C. D.7．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.-2 B.2C.10 D.-108．橢圓的焦點為、，上頂點為，若，則（）A B.C. D.9．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數）與氣溫（單位：℃）存在著較強的線性相關關系.某地觀測人員根據如表的觀測數據，建立了關于的線性回歸方程，則下列說法不正確的是（）（次數/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關關系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當時的氣溫預報值為33.5℃10．中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現從盤中任取3塊，在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）A B.C. D.11．已知命題p：函數在（0，1）內恰有一個零點；命題q：函數在上是減函數，若p且為真命題，則實數的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>212．積分（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．總體由編號為01，02，…，30的30個個體組成.選取方法是從下面隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為____________.66065747173407275017362523611665118918331119921970058102057864532345647614．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________15．已知為曲線：上一點，，，則的最小值為______16．給出下列命題：①若兩條不同的直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；②若兩個不同的平面同時垂直于同一條直線，則這兩個平面互相平行；③若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；④若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相垂直.其中所有正確命題的序號為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在棱長為4的正方體中，點分別在線段上，點在線段延長線上，，，連接交線段于點.（1）求證平面；（2）求異面直線所成角的余弦值.18．（12分）已知函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最大值與最小值.19．（12分）已知函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）討論的零點個數.20．（12分）函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數的圖象在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）若關于的方程在上有解，求的取值范圍.22．（10分）已知動點M到定點和的距離之和為4（1）求動點軌跡的方程；（2）若直線交橢圓于兩個不同的點A，B，O是坐標原點，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】先求得，然后求得.【題目詳解】依題意，當時，，當時，，，所以，所以.故選：D2、A【解題分析】設點的坐標為，由平面,可得出，利用空間向量數量積為0求得、的值，即可得出點的坐標.【題目詳解】設點的坐標為，,,，，則，,，平面,即，所以，，解得，所以，點的坐標為，故選：A.3、A【解題分析】求出導函數，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【題目詳解】，設傾斜角為，則，，故選：A4、A【解題分析】根據給定條件構造函數，再探討其單調性并借助單調性判斷作答.【題目詳解】令函數，求導得，當時，，于是得在上單調遞減，而，則，即，所以，故選：A5、A【解題分析】延長交延長線于N,則選:A.【題目點撥】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉化研究，而角平分線性質可轉化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.6、B【解題分析】利用成等比數列來求得.【題目詳解】依題意，等比數列的前n項和，，，所以.故選：B7、C【解題分析】根據向量共線可得滿足的關系，從而可求它們的值，據此可得正確的選項.【題目詳解】因為，故存在常數，使得，所以，故，所以，故選：C.8、C【解題分析】分析出為等邊三角形，可得出，進而可得出關于的等式，即可解得的值.【題目詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因為橢圓的上頂點為點，焦點為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.9、D【解題分析】根據樣本中心過經過線性回歸方程、正相關的性質和線性回歸方程的意義進行判斷即可.【題目詳解】由題意，得，，則，故A正確；由線性回歸方程可知，，變量，呈正相關關系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當時，，故D錯誤.故選：D.10、C【解題分析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數，再根據概率公式即可得解.【題目詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有種情況，取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況，所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是.故選：C.11、C【解題分析】命題p為真時：；命題q為真時：，因為p且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點：命題真假12、B【解題分析】根據定積分的幾何意義求值即可.【題目詳解】由題設，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、23【解題分析】根據隨機表，由編號規(guī)則及讀表位置列舉出前5個符合要求的編號，即可得答案.【題目詳解】由題設，依次得到的數字為57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根據編號規(guī)則符合要求的依次為17，07，27，25，23，……所以第5個個體編號為23.故答案為：23.14、；【解題分析】根據相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【題目詳解】由題,設圓心到直線的距離為,所以,因為圓與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【題目點撥】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程,考查點到直線距離公式的應用15、【解題分析】曲線是拋物線的右半部分，是拋物線的焦點，作出拋物線的準線，把轉化為到準線的距離，則到準線的距離為所求距離和的最小值【題目詳解】易知曲線是拋物線的右半部分，如圖，因為拋物線的準線方程為，是拋物線的焦點，所以等于到直線的距離．過作該直線的垂線，垂足為，則的最小值為故答案為：16、②③【解題分析】由垂直于同一直線的兩直線的位置關系判斷①；由直線與平面垂直的性質判斷②③；由空間中平面與平面的位置關系判斷④【題目詳解】①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關系：平行、相交或異面，故錯誤；②根據線面垂直的性質知，若兩個不同的平面垂直于一條直線，則這兩個平面互相平行，故正確；③由線面垂直的性質知：若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行，故正確④若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，這兩個平面相交或平行，故錯誤.其中所有正確命題的序號為②③故答案為：②③三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）由線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，用空間向量法求異面直線所成的角【小問1詳解】證明：且，由三角形相似可得，，，又，，又平面，平面平面；【小問2詳解】解：以為坐標原點，分別以為軸建立空間坐標系，如圖．則設異面直線所成角為，則18、（1）單調遞增區(qū)間為；單調減區(qū)間為和；（2）；.【解題分析】（1）求出導函數，令，求出單調遞增區(qū)間；令，求出單調遞減區(qū)間.（2）求出函數的單調區(qū)間，利用函數的單調性即可求解.【題目詳解】1函數的定義域是R，，令，解得令，解得或，所以的單調遞增區(qū)間為，單調減區(qū)間為和；2由在單調遞減，在單調遞增，所以，而，，故最大值是.19、（1）單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解題分析】（1）求解函數的導數，再運用導數求解函數的單調區(qū)間即可；（2）根據導數分析原函數的極值，進而討論其零點個數.【題目詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當或時，有1個零點；當或時，有2個零點；當時，有3個零點.20、（1）答案見解析；（2）.【解題分析】（1）求出函數的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構造函數，由題意可知恒成立，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區(qū)間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數的取值范圍.【題目詳解】（1）函數的定義域為，.（i）當時，，函數在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數在上單調遞增；②當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；綜上，可得，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數在上單調遞增，且.當時，，于是，函數在上單調遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數的取值范圍是.【題目點撥】本題考查利用導數求解函數的單調區(qū)間，同時也考查了利用導數研究函數不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.21、（1）（2）【解題分析】（1）求，由條件可得，得出關于的方程組，求解可得；（2）令，注意，所以在具有單調性時，則方程無解，求，對分類討論，求出單調區(qū)間，結合函數值的變化趨勢，即可求得結論.【題目詳解】解：（1），因為，所以，解得，，所以.（2）令，則.令，則在上單調遞增.當，即時，，所以單調遞增，又，所以；當，即時，則存在，使得，所以函數在上單調遞減，在上