甘肅省鎮(zhèn)原縣第二中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

甘肅省鎮(zhèn)原縣第二中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用3，4，5，6，7，9這6個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有480個(gè)B.在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰的共有120個(gè)C.在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰的共有504個(gè)D.在這樣六位數(shù)中，4個(gè)奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有60個(gè)2．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.24．已知直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.或 D.5．在等比數(shù)列中，，，則（）A.2 B.4C.6 D.86．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(2)=2,，則f(x)＞x的解集是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若定點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.8．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.19．已知拋物線的焦點(diǎn)恰為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，的另一頂點(diǎn)為，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.10．等差數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.11．曲線在處的切線如圖所示，則（）A.0 B.C. D.12．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是雙曲線上的點(diǎn)，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)________14．對(duì)某市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中100名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可估計(jì)該市“四城同創(chuàng)”活動(dòng)中志愿者年齡在的人數(shù)為_(kāi)_______15．已知拋物線C的方程為：，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______16．設(shè)函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，則a與b的大小關(guān)系為_(kāi)_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上（1）求拋物線的方程（2）設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值19．（12分）如圖1是一張長(zhǎng)方形鐵片，，，，分別是，中點(diǎn)，，分別在邊，上，且，將它卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面圖2，使與重合，與重合.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.20．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是，直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)（1）求拋物線的方程；（2）求弦長(zhǎng)；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：21．（12分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，且.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】A選項(xiàng)，特殊位置優(yōu)先考慮求出這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)個(gè)數(shù)；B選項(xiàng)，相鄰問(wèn)題捆綁法求解；C選項(xiàng)，不相鄰問(wèn)題插空法求解；D選項(xiàng)，定序問(wèn)題使用倍縮法求解.【題目詳解】用3，4，5，6，7，9這6個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，個(gè)位為3,5,7,9中的一位，有種，其余五個(gè)數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行全排列，有種，綜上：在這樣的六位數(shù)中，奇數(shù)共有個(gè)，A正確；在這樣的六位數(shù)中，3、5、7、9相鄰，將3、5、7、9捆綁，有種排法，再與4,6進(jìn)行全排列，故共有個(gè)，B錯(cuò)誤；在這樣的六位數(shù)中，4，6不相鄰，先將3、5、7、9進(jìn)行全排列，再?gòu)奈鍌€(gè)位置中任選兩個(gè)將4,6排列，綜上共有個(gè)，C錯(cuò)誤；在這樣的六位數(shù)中，4個(gè)奇數(shù)從左到右按照從小到大排序的共有個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：A2、D【解題分析】由斜率得傾斜角【題目詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D3、B【解題分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B4、B【解題分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求解即可.【題目詳解】由已知可得，解得.故選：B.5、D【解題分析】由等比中項(xiàng)轉(zhuǎn)化得，可得，求解基本量，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即得解【題目詳解】設(shè)公比為，則由，得，即故，解得故選：D6、D【解題分析】構(gòu)造，結(jié)合已知有在R上遞增且，原不等式等價(jià)于，利用單調(diào)性求解集.【題目詳解】令，由題設(shè)知：，即在R上遞增，又，所以f(x)＞x等價(jià)于，即.故選：D7、C【解題分析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【題目詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故：，當(dāng)時(shí)，.本題選擇C選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓方程問(wèn)題，橢圓中的最值問(wèn)題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8、D【解題分析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可判斷①；根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷③④.【題目詳解】由得：，故①錯(cuò)誤；對(duì)于，，故，故②正確；對(duì)于，則，故③錯(cuò)誤；對(duì)于，則，故④錯(cuò)誤，故選：D9、D【解題分析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，由題可知；又點(diǎn)在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時(shí)，又，故直線的斜率為.故選：D.10、C【解題分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和性質(zhì)進(jìn)行求解.【題目詳解】由題意，得.故選：C.11、C【解題分析】由圖示求出直線方程，然后求出，，即可求解.【題目詳解】由直線經(jīng)過(guò)，，可求出直線方程為：∵在處的切線∴，∴故選：C【題目點(diǎn)撥】用導(dǎo)數(shù)求切線方程常見(jiàn)類型：(1)在出的切線：為切點(diǎn)，直接寫(xiě)出切線方程：；(2)過(guò)出的切線：不是切點(diǎn)，先設(shè)切點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再寫(xiě)出切線方程：.12、C【解題分析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【題目詳解】由已知得，設(shè)點(diǎn)，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.14、【解題分析】首先根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出年齡在的頻率，從而可計(jì)算出年齡在的人數(shù).【題目詳解】年齡在的頻率為，所以年齡在的人數(shù)為.故答案為：.15、8【解題分析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，再求出點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)和即可計(jì)算作答.【題目詳解】拋物線C：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，依題意，直線l的方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則，于是得，所以線段AB的長(zhǎng)為8.故答案為：816、a＞b【解題分析】構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)，利用F(x)的單調(diào)性求解即可.【題目詳解】設(shè)函數(shù)F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，∴F(x)＝xf(x)在R上為增函數(shù)，又∵30.3＞1，logπ3＜1，∴30.3＞logπ3，∴F(30.3)＞F(logπ3)，∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，∴a＞b.故答案為：a＞b.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）的方程為、、【解題分析】（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）結(jié)合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向上，直線與軸的交點(diǎn)為，則，所以，拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).那個(gè)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.18、（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)?，所以面PAQ//面MNC【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則19、（1）證明見(jiàn)解析.（2）.【解題分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）作圓柱的母線，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，利用等體積法可求得，由幾何體的體積，可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：∵是直徑，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，平面，，∴平面；【小問(wèn)2詳解】如圖，作圓柱的母線，則，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，且①又依題知，，，為底面圓的四等分點(diǎn)，∴，且②由①②知四邊形為平行四邊形，得，且，∴，∵到面的距離為，∴，所以幾何體的體積.20、（1）；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.【解題分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求解；（2）由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解；（3）結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積運(yùn)算證明；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是，所以，解得，所以拋物線的方程是；【小問(wèn)2詳解】由，得，設(shè)，則，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，，所以，?21、（1）；（2）.【解題分析】（1）由，等式右邊可化為余弦定理形式，根據(jù)求角即可（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面積的最大值.【題目詳解】（1）由得：，即：.∴，又，∴.（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.得：..【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面積公式，屬于中檔題.22、（1）；（2）【解題分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，令，得出變化情況