微積分課程論文

PAGEPAGE4微積分課程論文——非線性哲學(xué)與線性非哲學(xué)PB08207021夏爾玉引言——一階線性微分方程的一般形式是+p(x)y=Q(x)二階線性微分方程的一般形式是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)n階常系數(shù)線性微分方程的一般形式是p1y’+p0y=f(x)《微積分》180頁：設(shè)y1(x),y2(x)……ym(x)是定義在（a,b）上的函數(shù)，若存在不全為0的常數(shù)c1,c2,……cm,使得在（a，b）上c1y1(x)+c2y2(x)+……+cmym(x)恒為0，則稱它們在（a，b）上線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。F(x)和g(x)線性相關(guān)，則它們的Wronsky行列式恒為零。在學(xué)習(xí)常微分方程這一章時(shí)，以上幾個(gè)概念已經(jīng)作為一種基礎(chǔ)被我們接受。出現(xiàn)在上述幾個(gè)概念中有一個(gè)共同的名詞——“線性”，什么是線性？它究竟是怎樣一種性質(zhì)？帶著疑問我開始了自己的探索，卻發(fā)現(xiàn)了解了一些反而更迷茫。我?guī)е鴮€性代數(shù)的無知走入這個(gè)陌生的領(lǐng)域，僅以我的思考為大家呈現(xiàn)“非線性的哲學(xué)與線性非哲學(xué)”?；遣怀杀壤?，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數(shù)的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關(guān)系在變量的定義域內(nèi)是不對稱的?？梢哉f，這種對稱破缺是非線性關(guān)系的最基本的體現(xiàn)，也是非線性系統(tǒng)復(fù)雜性的根源。為了說明其含義，我們給出幾個(gè)例子：激光的生成是非線性的。當(dāng)外加電壓較小時(shí)，激光器猶如普通電燈，光向四面八方散射；而當(dāng)外加電壓達(dá)到某一定值時(shí)，會(huì)突然出現(xiàn)一種全新現(xiàn)象：受激原子好像聽到“向右看齊”的命令，發(fā)射出相位和方向都一致的單色光，就是激光。電容器的電阻很大，在一定范圍內(nèi)其導(dǎo)電能力很微弱，幾乎不隨外加電壓變化而變化，可是當(dāng)外界電壓達(dá)到擊穿電壓后電容器就突變成一種可以導(dǎo)電的狀態(tài)。化學(xué)酸堿滴定過程中PH的變化也是非線性的。加入NaOH(ml)中和百分比混合溶液的PH001.0090.0090.002.2899.0099.003.3099.9099.904.31100.0100.07.00100.1100.19.70101.0101.010.70110.0110.011.70圖0.01000mol/lNaOH溶液滴定0.1000mol/lHCl溶液可以看到在滴入氫氧化鈉99.90到100.1的過程中PH變化很快，化學(xué)上，我們稱之為PH突躍。兩只眼睛的視敏度是一只眼睛的6-10倍。十枚橘子的價(jià)錢是一枚的十倍。但批發(fā)價(jià)格是不成比例的：一大箱橘子的價(jià)錢比一枚的價(jià)錢乘以橘子的個(gè)數(shù)要少。通過以上這些例子我們知道線性關(guān)系是互不相干的獨(dú)立關(guān)系，而非線性則是相互作用，而正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地等于部分之和，而可能出現(xiàn)不同于"線性疊加"的增益或虧損。由此我聯(lián)想到人類社會(huì)的發(fā)展。從前，人與人的關(guān)系非常緊密，人們?nèi)壕?，或稱聚居，這相當(dāng)于一種非線性，而隨著時(shí)代的發(fā)展，人與人之間的冷漠，生疏是否在走向“互不相干”的獨(dú)立線性關(guān)系呢？這一種由線性向非線性的轉(zhuǎn)化，究竟是一種進(jìn)步，還是一種退步呢？與非線性定義相關(guān)的兩個(gè)詞是混沌和耦合?；煦纾?.古代傳說中指天地未分之前渾然一體的狀態(tài)；2.模糊，糊涂。（《現(xiàn)代漢語規(guī)范字典》2005年7月第一版）混沌，可以近似理解為非線性。天體運(yùn)動(dòng)存在混沌；電、光與聲波的振蕩，會(huì)突陷混沌；地磁場在400萬年間，方向突變16次，也是由于混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統(tǒng)的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動(dòng)并不是規(guī)則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現(xiàn)。宇宙形成之初的狀態(tài)是混沌的。我們可以從輸入輸出的角度理解。能量的輸入與輸出既不是成正比例也不是成反比例的。耦合：物理學(xué)上指兩個(gè)或兩個(gè)以上的體系或運(yùn)動(dòng)形式之間通過各種作用而彼此影響的現(xiàn)象。例如在兩個(gè)單擺中間連一根線，它們的振動(dòng)就會(huì)發(fā)生耦合。（《現(xiàn)代漢語規(guī)范字典》2005年7月第一版）由此我們聯(lián)想到排列組合問題中的耦合問題。有甲乙兩副紙牌各n張，編號1至n，把牌洗過后配成n對，每對甲乙紙牌各一張，若有同一隊(duì)的兩張牌同號則說又一個(gè)耦合，問至少有一個(gè)耦合的配牌方法有多少種？通過容斥原理我們可以得到想要的公式：n!*(1-)但如果不存在耦合呢？就是說，甲乙兩副牌中牌號兩兩不同，要求配牌方法則顯然要容易的多了。耦合與否類似于非線性和線性，我們看出線性問題的處理要比非線性問題容易得多。正如我們說1+1=2是一種簡單線性，1+1=3，1+1=4相當(dāng)于非線性，似乎非線性是更遠(yuǎn)離我們認(rèn)識范圍的。又比如線性方程組的求解相對非線性方程組要簡單許多。我認(rèn)為，實(shí)質(zhì)上線性只是非線性的一種理想化模型，一種近似處理和特殊情況。其存在意義類似于質(zhì)點(diǎn)，光滑曲面及勻速直線運(yùn)動(dòng)。因而觀點(diǎn)二：線性是從數(shù)學(xué)含義上對非線性的近似，它只是簡化問題的一種手段。這里我也就回答了剛剛提出的關(guān)于人類社會(huì)是進(jìn)步還是退化的問題，如果我們尚且不能說這是一種退步，但起碼這是一種簡化，一種向簡單方向的特化。為了說明觀點(diǎn)二我們舉線性規(guī)劃為例。決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素.當(dāng)我們得到的數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)為線性函數(shù)，約束條件為線性等式或不等式時(shí)稱此數(shù)學(xué)模型為線性規(guī)劃模型。比如我們在處理最簡單的問題，工廠如何安排人手生產(chǎn)不同產(chǎn)品獲取最大利潤的問題，我們在編寫目標(biāo)函數(shù)時(shí)往往單純的把某件物品的利潤與它的價(jià)格相乘。但我們忽略了經(jīng)濟(jì)中的基本規(guī)律，也就是說，當(dāng)供求關(guān)系改變時(shí)，產(chǎn)品的利潤也會(huì)隨之發(fā)生變化。因此線性規(guī)劃其實(shí)只是一種簡化的模型。同時(shí)，我們又考慮，線性與非線性簡單疊加的結(jié)果往往是非線性的，這就類似于0與任何實(shí)數(shù)的乘積都是0，因?yàn)?在乘法運(yùn)算中起主導(dǎo)作用。我們也可以考慮，非線性其實(shí)是起主導(dǎo)作用的。因此，我們可以認(rèn)為線性是從數(shù)學(xué)含義上對非線性的近似，它只是簡化問題的一種手段。在這里，我對我的前兩個(gè)觀點(diǎn)做一個(gè)簡要的總結(jié)：觀點(diǎn)一：“線性”在文學(xué)角度和自然科學(xué)角度的定義有著不同的外延和內(nèi)涵。觀點(diǎn)二：線性是從數(shù)學(xué)含義上對非線性的近似，它只是簡化問題的一種手段。由于線性的特殊性，其特性已被廣泛研究，而非