提分沖刺預測02二次函數的最值（4種類型）

提分沖刺預測02二次函數的最值（4種類型）【安徽十年真題考點及分值細目表】二次函數的最值（10年10考）題型1：對稱軸和取值范圍已知題型2：對稱軸不確定，取值范圍已知題型3：取值范圍不確定，對稱軸已知題型4：實際應用問題，自變量的取值范圍不含頂點命題規(guī)律與備考策略命題規(guī)律與備考策略研究二次函數的最值，一般需要三個條件：（1）圖象的開口方向；（2）對稱軸（由對稱軸看增減性）；（3）自變量的取值范圍。在此基礎上找到取得最值的點解決問題。【安徽最新模擬練】題型1：對稱軸和取值范圍已知一、填空題1．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考二模）已知函數（m為常數）的圖形經過點．（1）___________．（2）當時，y的最大值與最小值之和為2，則n的值___________．【答案】4或【分析】（1）把已知坐標代入解析式計算即可．（2）根據拋物線額性質，分類計算．【詳解】（1）∵函數（m為常數）的圖形經過點．∴，解得，故答案為：4．（2）∵函數（m為常數）的圖形經過點．∴，解得，∴函數的解析式為，∴，故拋物線的對稱軸為直線，二次函數的最小值為，的對稱點為，當時，y的最大值與最小值之和為2，當時，最大值為5，時，取得最小值，且為，根據題意，得，解得（舍去），故；當時，最大值為5，時，取得最小值，且為，根據題意，得，不符合題意；當時，時，取得最小值，且為，時，取得最大值，且為，根據題意，得，解得（舍去），故；故答案為或．【點睛】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，熟練掌握函數的性質是解題的關鍵．2．（2023·安徽滁州·統(tǒng)考一模）已知拋物線（m是常數，且）經過點．（1）該拋物線的頂點坐標為_________；（2）若一次函數的圖象與二次函數的圖象的交點坐標分別是，且，則的最大值為_________．【答案】9【分析】（1）將點代入拋物線，求出m的值，再將拋物線解析式表示成頂點式即可求解；（2）將一次函數和二次函數解析式聯立，求出，然后表示出，求出的表達式，再將表達式化為頂點式，求二次函數的最值即可．【詳解】（1）將點代入拋物線，得，解得，∴，∴該拋物線的頂點坐標為，故答案為：；（2）聯立，整理得，解得，∵，∴，∴，∴，∴，∴當時，的值最大，最大值為9，故答案為：9．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的最值，二次函數的頂點式，一次函數與二次函數的交點問題，熟練掌握知識點是解題的關鍵．3．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）已知：拋物線．（1）此拋物線的對稱軸為直線____；（2）當時，y的最小值為?4，則______．【答案】14或【分析】（1）根據拋物線的解析式可得，再代入對稱軸進行計算即可；（2）根據二次函數的圖象與性質可知當當時，在，函數有最小值，當時，在中，當時，函數有最小值，再根據y的最小值為?4代入進行計算即可．【詳解】解：（1）由拋物線可知，，對稱軸，故答案為：1；（2）當時，在，函數有最小值，∵y的最小值為，，；當時，在中，當時，函數有最小值，，解得；綜上所述：a的值為4或．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、二次函數的最值及對稱軸，熟練掌握二次函數的性質和對稱軸公式是解決問題的關鍵．4．（2022·安徽合肥·校考二模）已知拋物線（1）拋物線的對稱軸為_____；（2）若當時，y的最大值是1，求當時，y的最小值是_____．【答案】直線【分析】（1）根據拋物線的對稱軸公式即可得結論；（2）根據拋物線的對稱軸為直線，可得頂點在范圍內，y的最大值是1，得頂點坐標為，把頂點代入，可得a的值，進而可得y的最小值．【詳解】解：（1）拋物線的對稱軸為：直線，故答案為：直線；（2）∵拋物線，∴該函數圖象的開口向下，對稱軸是直線，當時，取得最大值，∵當時，y的最大值是1，∴時，，得，∴，∵，∴時，取得最小值，此時，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，求出a的值，利用二次函數的性質解答．二、解答題5．（2023·安徽合肥·合肥38中?？级＃┮阎獟佄锞€C：y＝x2﹣2bx+c；(1)若拋物線C的頂點坐標為(1，﹣3)，求b、c的值；(2)當c＝b+2，0≤x≤2時，拋物線C的最小值是﹣4，求b的值；(3)當c＝b2+1，3≤x≤m時，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，則m的最大值為_________．【答案】(1)b＝1，c＝﹣2(2)b的值為﹣6或(3)4【分析】（1）拋物線C的頂點坐標為（1，﹣3），代入解析式即可求解；（2）將c＝b+2代入拋物線解析式，可得對稱軸為x＝b，分三種情況討論①當b＜0時，②當0≤b≤2時，③當b＞2時，根據拋物線C的最小值是﹣4，列出方程組即可求解；（3）當c＝b2+1時，拋物線C的解析式為y＝（x﹣b）2+1，即拋物線C的頂點在直線y＝1上移動，設拋物線C與直線y＝x﹣2除頂點外的另一個交點為M，此時點M的橫坐標即為m的最大值，結合圖象列出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線C的頂點坐標為（1，﹣3），∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；（2）∵c＝b+2∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，對稱軸為x＝b，①當b＜0時，由題意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合題意；②當0≤b≤2時，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合題意舍去；③當b＞2時，根據題意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合題意；綜上所述，所求b的值為﹣6或．（3）當c＝b2+1時，拋物線C的解析式為y＝（x﹣b）2+1，如圖所示，拋物線C的頂點在直線y＝1上移動，當3≤x≤m時，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，則可知拋物線C的頂點坐標為（3，1），設拋物線C與直線y＝x﹣2除頂點外的另一個交點為M，此時點M的橫坐標即為m的最大值，由解得x1＝3，x2＝4，∴m的最大值為4．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，二次函數與一次函數交點問題，待定系數法求解析式，二次函數最值問題，數形結合是解題的關鍵．6．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中學?？既＃┮阎獟佄锞€與x軸交于點，，直線交拋物線于點A、C．(1)求拋物線的表達式；(2)若兩個拋物線的交點在x軸上，且頂點關于x軸對稱，則稱這兩個拋物線為“對稱拋物線”，求拋物線對稱拋物線的解析式；(3)在（2）的條件下，點M是x軸上方的拋物線上一動點，過點M作MN⊥x軸于點N，設M的橫坐標為m，記W＝MN－2ON，求W的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)3【分析】（1）直接用待定系數法求解即可；（2）找出拋物線的頂點坐標，用待定系數法求解即可；（3）用含m的式子表示出MN、ON的長度，然后分類討論m的取值范圍，利用二次函數求最值即可．(1)解：由題意知：把點，代入得，，解得：，∴拋物線的表達式為：．(2)解：由題意可知：由（1）知拋物線的頂點式為：∴頂點坐標為：（-1，-4），∴拋物線的頂點坐標為：（-1，4），拋物線的解析式為：，把代入拋物線的解析式為：得，，解得：m=-1，∴拋物線的解析式為：，即：拋物線的解析式為：．(3)解：由題意知：點M是x軸上方的拋物線上的點，∴M（，），N（，0），，當時，，∴W＝MN－2ON=即∴∵∴拋物線的開口向下，函數有最大值，∴當時，W有最大值為3．當時，，，∴W＝MN－2ON=即∴∵∴拋物線的開口向下，函數有最大值，在m=-2的右側，W隨m的增大而減小，∴當m=0時，W的值最大為3．綜上所述，當m＝0時，W有最大值即m=0，W=3．【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式、利用函數圖像及其性質求最值等知識，解決本題的關鍵就是利用數形結合的思想和準確的計算．題型2：對稱軸不確定，取值范圍已知一、單選題1．（2022·安徽滁州·統(tǒng)考一模）已知拋物線過（1，m），（-1，3m）兩點，若，且當時，y的最小值為-6，則m的值是（

）A．4 B．2 C．–2 D．-4【答案】C【分析】將點（1，m），（-1，3m）代入拋物線，得1+b+c=m，1-b+c=3m，得出b=-m，c=2m-1，再分情況討論：①對稱軸x=-≥1時，最小值在x=1處；②-1＜對稱軸x=-≤1時，最小值在x=-處.【詳解】解：將點（1，m），（-1，3m）代入拋物線，得1+b+c=m，1-b+c=3m，∴b=-m，c=2m-1則，對稱軸為，∵a=1＞0∴最小值在x=-處，最小值為-6，∴=-6，=4c+24，將b=-m，c=2m-1代入，得-8m-20=0解得m=-2或m=10又∴m=-2故選：C.【點睛】本題主要考查拋物線的最值問題，通過討論對稱軸的位置進而確定最值，數形結合是解決問題的關鍵.二、填空題2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中學?？家荒＃┮阎魏瘮?（1）當時，二次函數的最小值為________；（2）當時，二次函數的最小值為1，則________.【答案】或【分析】（1）將代入，再把解析式為變形為頂點式，即可求得二次函數最小值；（2）先求拋物線的對稱軸為：，分三種情況：當時，即時，此時在對稱軸的右側，當時，即時，此時對稱軸在內，③當時，即時，此時在對稱軸的左側，分別討論增減性，找何時取最小值，代入得關于的方程求解即可．【詳解】解：（1）當時，，∵，則開口向上，∴二次函數的最小值為，故答案為：；（2）二次函數，則對稱軸為：，分三種情況：①當時，即時，此時在對稱軸的右側，隨的增大而增大，∴當時，有最小值，，解得：；②當時，即時，此時對稱軸在內，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大，∴當時，有最小值，，解得：；∵，∴，③當時，即時，此時在對稱軸的左側，隨的增大而減小，∴當時，有最小值，，解得：（舍去）；綜上所述，或；故答案為：或【點睛】本題考查了二次函數的最值問題，是?？碱}型；但本題比較復雜，運用了分類討論的思想，做好此類題要掌握以下幾點：形如二次函數：①當時，拋物線有最小值，當時，；②當時，對稱軸右側，隨的增大而增大，對稱軸的左側，隨的增大而減??；③如果自變量在某一范圍內求最值，要看對稱軸，開口方向及圖象．3．（2023·安徽馬鞍山·校考一模）設二次函數與x軸的交點為，若且y的最小值為．（1）_____；（2）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為_____．【答案】【分析】（1）先根據題意判斷出，然后利用在頂點處取最小值以及推出，再根據即可解答；（2）根據二次函數圖像和性質列出不等式求解即可．【詳解】解：（1）根據題意可知，二次函數的最小值為，∴圖像是開口向上的，則，∴當時，，∴，整理得：，∵∴，∵二次函數與x軸的交點為，∴，即，故答案為：；（2）由（1）可知：，即，∵當時，不等式恒成立，∴，整理得：，∵，拋物線的對稱軸為直線，∴當時，∴解得：，與矛盾，舍去；當時，∵，∴，解得：∴實數a的取值范圍為;當時，∵，∴，解得：與矛盾，舍去綜上，當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像和性質、二次函數的圖像和系數的關系、二次函數的最值等，掌握二次函數的基本性質和運用分情況討論解決問題是解題的關鍵．三、解答題4．（2022·安徽合肥·統(tǒng)考二模）已知二次函數（，是常數）．(1)當，時，求二次函數的最大值；(2)當時，函數有最大值為7，求的值；(3)當且自變量時，函數有最大值為10，求此時二次函數的表達式．【答案】(1)當x=-3時，(2)b=±1(3)二次函數的表達式：或【分析】（1）將b=3，c=4時代入并化簡，從而求出二次函數的最大值；（2）當c=6時，，根據函數的最大值列方程，從而求出的值；（3）當，對稱軸為x=-b，分-b<1、、-三種情況進行討論，根據函數的增減性，找出最大值，然后列方程求出b的值，從而得出二次函數的表達式．【詳解】（1）解：當b=3，c=4時，2b=6，∴，∴當x=-3時，（2）解：當c=6，函數值時，∵a=-1＜0，函數開口向下，函數有最大值，∴當x=-b時，y最大值=∴b=±1（3）解：當c=3b時，∴拋物線對稱軸為：x=-b①-b<1時，即b＞-1，在自變量x的值滿足1≤x≤5的情況下，y隨x的增大而減小，有最大值，∴當x=1時，y最大.∴

∴b=11.②，即-5≤b＜-1，當x=-b時，y最大.∴∴，（舍去）③當-時，即b＜-5，在自變量x的值滿足1≤x≤5的情況下，y隨x的增大而增大，有最大值，∴當x=5時，y最大.∴-，∴b=（舍去）綜上可得：b=﹣5或b=11∴二次函數的表達式：或【點睛】本題考查了二次函數的性質和應用，一元一次方程解法，一元二次方程解法，掌握二次函數的性質和解方程的方法是解題的關鍵．題型3：取值范圍不確定，對稱軸已知1．（2022·安徽滁州·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知拋物線：和直線；，點，均在直線上．(1)求直線的表達式；(2)若拋物線與直線有交點，求的取值范圍；(3)當，二次函數的自變量滿足時，函數的最大值為，求的值；【答案】(1)；(2)且；(3)或【分析】（1）將點，代入，即可求解；（2）聯立與，則有，拋物線C與直線l有交點，則，即可求解；（3）分x在對稱軸右側和左側兩種情況，分別求解即可；【詳解】（1）解：將點，代入得：，解得：，∴；（2）解：聯立與，則有，∵拋物線C與直線l有交點，∴，∴且；（3）解：根據題意可得，，∵，∴拋物線開口向下，對稱軸，∵時，y有最大值-4，∴當時，有，∴或，①在左側，y隨x的增大而增大，∴時，y有最大值，∴；②在對稱軸右側，y隨x最大而減小，∴時，y有最大值；綜上所述：或；【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，一次函數的圖象及性質；熟練掌握待定系數法求解析式，數形結合，分類討論函數在給定范圍內的最大值是解題的關鍵．題型4：實際應用問題，自變量的取值范圍不含頂點一、解答題1．（2023·安徽亳州·?？寄M預測）某工廠生產并出售移動式的銷售小棚，如圖（1）是這種小棚的側面，是由矩形和拋物線構成，是橫梁，拋物線最高點E到橫梁的距離為2米，已知米，如圖，以為x軸，以的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．(1)求拋物線所對應的函數解析式；(2)如圖，在拋物線和橫梁之間修建一個矩形廣告牌，已知與關于y軸對稱，在橫梁上，需要準備框邊、、，求框邊長度的最大值；(3)該工廠每個月最多能生產160個含有廣告牌的小棚，生產成本為每個500元，若以單價650元出售該種小棚，每月能售出100個，若單價為每降低10元，每月能多售出20個，求該工廠每個月銷售這種小棚的最大利潤W（元）是多少？【答案】(1)(2)5(3)19200【分析】（1）根據題中條件求出D點、E點坐標，設拋物線解析式為，用待定系數法求出a和c的值即可．（2）先設點G坐標為，結合第一問拋物線解析式分別表示出、、的長，然后用配方法求出最大值．（3）先設每個小棚的定價為n元，結合題意表示出利潤W的表達式，利用配方法求出時，利潤最大，并求出最大利潤．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為，將，代入得：，解得，∴拋物線對應的函數解析式為；（2）解：設點G的坐標為，則，由（1）得，拋物線的解析式為，∴，∴，∵，∴當時，框邊取得最大值，最大值為5；（3）解：設該工廠將每個小棚定價為n元，根據題意得，，∵每月最多能生產160個含有廣告牌的小棚，∴，解得，∵，∴時，W隨n的增大而減小，∴當時，W有最大值，且最大值為19200元，即該工廠每個月銷售這種小棚的最大利潤為19200元．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，涉及了用配方法求最大值、最小值、待定系數法求解析式，熟練運用所學知識是解題的關鍵．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發(fā)現，當售價為30元時銷量為200件，每漲1元少賣10件，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．(1)設小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍．(2)當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？(3)如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？【答案】(1)(2)當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．(3)想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．【分析】（1）由每漲1元少賣10件，每月銷售的數量（件）與銷售單價（元）之間的關系為一次函數，即：，求之，再根據利潤＝（售價－進價）×銷售量，從而列出關系式，根據在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%列出即為其自變量的取值范圍；（2）首先將二次函數化為頂點式，然后根據其增減性確定最大利潤即可；（3）（3）根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．【詳解】（1）解：由每漲1元少賣10件，可知：每月銷售的數量（件）與銷售單價（元）之間的關系為一次函數，即：，當時，，∴，即：，∵在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%∴，即則小明每月獲得利潤為：即：每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為；（2）由（1）知又∵，拋物線開口向下．∴當時，隨著的增大而增大，∴當時，答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．（3）取得，解這個方程得：，．∵，拋物線開口向下．∴當時，．∵∴當時，．設每月的成本為（元），由題意，得：∵，∴隨的增大而減?。喈敃r，的值最小，．答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．【點睛】此題考查二次函數和一次函數的性質及其應用，還考查拋物線的基本性質，另外將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．【安徽實戰(zhàn)真題練】一、填空題1．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）設拋物線，其中a為實數．（1）若拋物線經過點，則______；（2）將拋物線向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接將點代入計算即可（2）先根據平移得出新的拋物線的解析式，再根據拋物線頂點坐標得出頂點坐標的縱坐標，再通過配方得出最值【詳解】解：（1）將代入得：故答案為：0（2）根據題意可得新的函數解析式為：由拋物線頂點坐標得新拋物線頂點的縱坐標為：∵∴當a=1時，有最大值為8，∴所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是故答案為：2【點睛】本題考查將拋物線的頂點坐標、將點代入代入函數解析式、利用配方法求最值是常用的方法二、解答題2．（2017·安徽·中考真題）某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元．經市場調查，每天的銷售量y(千克)與每千克售價x(元)滿足一次函數關系，部分數據如下表：售價x/(元/千克)506070銷售量y/千克1008060（1）求y與x之間的函數表達式；（2）設商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數表達式(利潤＝收入－成本)；（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）y＝－2x＋200（2）W＝－2x2＋280x－8000；（3）當時，W隨x的增大而增大，當時，W隨x的增大而減小，售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元．【分析】（1）用待定系數法求一次函數的表達式；（2）利用利潤的定義，求W與x之間的函數表達式；（3）利用二次函數的性質求極值．【詳解】解：（1）設，由題意，得，解得，∴所求函數表達式為．（2）．（3），其中，∵，∴當時，W隨x的增大而增大，當時，W隨x的增大而減小，當售價為70元時，獲得最大利潤，這時最大利潤為1800元．3．（2015·安徽·統(tǒng)考中考真題）為了節(jié)省材料，某水產養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．（1）求y與x之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？【答案】（1）（0＜x＜40）；（2）當x=20時，y有最大值，最大值是300平方米．【詳解】試題分析：（1）根據三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE=2BE，設BE=a，則有AE=2a，表示出a與2a，進而表示出y與x的關系式，并求出x的范圍即可；（2）利用二次函數的性質求出y的最大值，以及此時x的值即可．試題解析：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，∴AE=2BE，設BE=a，則AE=2a，∴8a+2x=80，∴a=-x+10，3a=-x+30，∴y=（-x+30）x=-x2+30x，∵a=-x+10＞0，∴x＜40，則y=-x2+30x（0＜x＜40）；（2）∵y=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40），且二次項系數為-＜0，∴當x=20時，y有最大值，最大值為300平方米．考點：二次函數的應用．4．（2019·安徽·統(tǒng)考中考真題）一次函數y=kx+4與二次函數y=ax2+c的圖像的一個交點坐標為（1,2），另一個交點是該二次函數圖像的頂點（1）求k，a，c的值；（2）過點A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數y=ax2+c的圖像相交于B，C兩點，點O為坐標原點，記W=OA2+BC2，求W關于m的函數解析式，并求W的最小值.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）,W取得最小值7.【分析】（1）把（1,2）分別代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函數圖像的頂點坐標為（0,4），可得c=4，然后計算得到a的值；（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐標，進而表示出BC長度，將OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W關于m的函數解析式，求出最小值即可.【詳解】解：（1）由題意得，k+4=2，解得k=-2，∴一次函數解析式為：y=-2x+4又二次函數頂點橫坐標為0，∴頂點坐標為（0,4）∴c=4把（1,2）帶入二次函數表達式得a+c=2，解得a=-2（2）由（1）得二次函數解析式為y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0∴，設B，C兩點的坐標分別為（x1，m）（x2，m），則，∴W=OA2+BC2=∴當m=1時，W取得最小值7【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式以及二次函數的圖像和性質，將二次函數圖像與直線的交點問題轉化為求一元二次方程的解，得到B，C坐標是解題的關鍵.5．（2020·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知點，直線經過點．拋物線恰好經過三點中的兩點．判斷點是否在直線上．并說明理由；求的值；平移拋物線，使其頂點仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點縱坐標的最大值．【答案】（1）點在直線上，理由見詳解；（2）a=-1，b=2；（3）【分析】（1）先將A代入，求出直線解析式，然后將將B代入看式子能否成立即可；（2）先跟拋物線與直線AB都經過（0，1）點，且B，C兩點的橫坐標相同，判斷出拋物線只能經過A，C兩點，然后將A，C兩點坐標代入得出關于a，b的二元一次方程組；（3）設平移后所得拋物線的對應表達式為y=-（x-h）2+k，根據頂點在直線上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點的縱坐標為-h2+h+1，在將式子配方即可求出最大值．【詳解】（1）點在直線上，理由如下：將A（1，2）代入得，解得m=1，∴直線解析式為，將B（2，3）代入，式子成立，∴點在直線上；（2）∵拋物線與直線AB都經過（0，1）點，且B，C兩點的橫坐標相同，∴拋物線只能經過A，C兩點，將A，C兩點坐標代入得，解得：a=-1，b=2；（3）設平移后所得拋物線的對應表達式為y=-（x-h）2+k，∵頂點在直線上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點的縱坐標為-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴當h=時，此拋物線與軸交點的縱坐標取得最大值．【點睛】本題考查了求一次函數解析式，用待定系數法求二次函數解析式，二次函數的平移和求最值，求出兩個函數的表達式是解題關鍵．6．（2018·安徽·統(tǒng)考中考真題）小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元，調研發(fā)現：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元；②花卉的平均每盆利潤始終不變．小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1，W2（單位：元）（1）用含x的代數式分別表示W1，W2；（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大，最大總利潤是多少？【答案】（1）W1=-2x2+60x+8000，W2=-19x+950；（2）當x=10時，W總最大為9160元．【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根據盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元，②花卉的平均每盆利潤始終不變，即可得到利潤W1，W2與x的關系式；（2）由W總=W1+W2可得關于x的二次函數，利用二次函數的性質即可得．【詳解】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由題意得W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；（2）W總=W1+W2=-2x2+60x+8000+（-19x+950）=-2x2+41x+8950，∵-2＜0，，故當x=10時，W總最大，W總最大=-2×102+41×10+8950=9160．【點睛】本題考查了二次函數的應用，弄清題意，找準數量關系列出函數解析式是解題的關鍵．7．（2013·安徽·中考真題）某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店經營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表所示．銷售量p（件）P=50—x銷售單價q（元/件）當1≤x≤20時，當21≤x≤40時，（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式．（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件（2）（3）這40天中該網店第21天獲得的利潤最大，最大利潤是725元【分析】（1）分別將q=35代入銷售單價關于x的函數關系式，求出x即可．（2）應用利潤=銷售收入－銷售成本列式即可．（3）應用二次函數和反比例函數的性質，分別求出最大值比較即得所求．【詳解】解：（1）當1≤x≤20時，令，解得；；當21≤x≤40時，令，解得；．∴第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件．（2）當1≤x≤20時，；當21≤x≤40時，．∴y關于x的函數關系式為．（3）當1≤x≤20時，，∵，∴當x=15時，y有最大值y1，且y1．當21≤x≤40時，∵26250＞0，∴隨著x的增大而減小，∴當x=21時，有最大值y2，且．∵y1＜y2，∴這40天中該網店第21天獲得的利潤最大，最大利潤是725元．8．（2014·安徽·統(tǒng)考中考真題）若兩個二次函數圖像的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”．（1）請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數；（2）已知關于x的二次函數，和，其中的圖像經過點A（1，1），若與為“同簇二次函數”，求函數的表達式，并求當時，的最大值．【答案】（1）本題為開放題，答案不唯一，符合題意即可，如：與；（2），當時，有最大值，最大值等于20．【分析】（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數作為二次項的系數，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數”的函數表達式即可．（2）由y1的圖像經過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據與為“同簇二次函數”就可以求出函數的表達式，然后將函數的表達式轉化為頂點式，再利用二次函數的性質就可以解決問題．【詳解】解：（1）設頂點為（h，k）的二次函數的關系式為，當，，時，二次函數的關系式為．∵，∴該二次函數圖像的開口向上．當，，時，二次函數的關系式為．∵，∴該二次函數圖像的開口向上．∵兩個函數與頂點相同，開口都向上，∴兩個函數與是“同簇二次函數”．∴符合要求的兩個“同簇二次函數”可以為：與．（2）∵的圖像經過點A（1，1），∴整理得：解得：∴∴∵與為“同簇二次函數”，∴其中，即∴解得：∴函數的表達式為：∴函數的圖像的對稱軸為∴∴函數的圖像開口向上①當時，函數的圖像開口向上∴隨x的增大而減小，∴當時，取最大值，最大值為②當時，函數的圖像開口向上∴隨x的增大而增大，∴當時，取最大值，最大值為綜上所述：當時，取最