第八章考點兩角和與差的正弦余弦正切

考點31兩角和與差的正弦、余弦、正切第八章

三角函數(shù)第1頁，共65頁第2頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

浙江省五年高職考統(tǒng)計(分值)?？碱}型2016

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三角函數(shù)及有關(guān)概念①了解正角、負角、零角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念22765

單項選擇題填空題解答題第3頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

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三角函數(shù)及有關(guān)概念②理解弧度的概念，會進行弧度與角度的換算③理解任意角的三角函數(shù)的概念，記住三角函數(shù)在各象限的符號和特殊角的三角函數(shù)值22765

單項選擇題填空題解答題第4頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

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三角函數(shù)式的變換①掌握同角三角函數(shù)兩個基本關(guān)系式、誘導公式，會運用它們進行運算、化簡8812129單項選擇題填空題解答題第5頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

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三角函數(shù)式的變換②會根據(jù)已知三角函數(shù)值求角(0～2π內(nèi)特殊角)③掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，會用它們進行運算、化簡8812129單項選擇題填空題解答題第6頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

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三角函數(shù)式的圖象與性質(zhì)①掌握正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會用正弦函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、周期性和單調(diào)性)解決有關(guān)問題56567單項選擇題填空題解答題第7頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

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三角函數(shù)式的圖象與性質(zhì)②了解函數(shù)y＝A

sin(ωx＋φ)的圖象、性質(zhì)，會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期、最大值和最小值56567單項選擇題填空題解答題第8頁，共65頁考點解讀考點內(nèi)容解讀

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解三角形掌握正弦定理、余弦定理，會用它們解斜三角形及簡單應用題，會根據(jù)三角形兩邊及其夾角求三角形的面積913888填空題解答題第9頁，共65頁分析解讀三角函數(shù)在高職考中占有較大的比重，試題的難度一般以中、低檔難度為主，主要考查以下幾方面．1．三角函數(shù)定義的理解，三角函數(shù)值的符號判斷．2．同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導公式用于化簡或求值．3．三角恒等變換的考查集中在兩類：一類是單獨考查，以單項選擇題和填空題為主；另一類是作為解決三角函數(shù)問題的工具，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解三角形進行考查．第10頁，共65頁分析解讀4．三角函數(shù)的最值(值域)、單調(diào)性、周期等性質(zhì)以及圖象的變化規(guī)律．5．利用正弦定理、余弦定理及其變式或推論的內(nèi)容求解邊或角．6．以解三角形為背景的應用問題是高職考命題的趨勢，突出生產(chǎn)和生活中的實際運用.7．三角函數(shù)的考查，綜合性越來越強，能力要求逐年提高．第11頁，共65頁思維導圖第12頁，共65頁知識要點兩角和與差的三角函數(shù)①sin(α＋β)＝____________________，②sin(α－β)＝____________________，③cos(α＋β)＝____________________，④cos(α－β)＝____________________，sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ第13頁，共65頁知識要點⑤tan(α＋β)＝____________________，⑥tan(α－β)＝____________________.第14頁，共65頁基礎(chǔ)過關(guān)1．求值：cos75°cos15°－sin75°sin15°等于()A．

B．－C．0

D．1C123456【提示】原式＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.第15頁，共65頁基礎(chǔ)過關(guān)2．下列式子中，正確的個數(shù)為()①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos＝sinα；③cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.A．0

B．1C．2

D．3B【提示】僅③正確．123456第16頁，共65頁基礎(chǔ)過關(guān)3．若sinα＝，且α∈，則sin等于()A．

B．

C．－

D．－B【提示】原式＝sinα－cosα＝×－×＝.123456第17頁，共65頁基礎(chǔ)過關(guān)4．求值：等于()A．

B．C．－

D．－B【提示】原式＝tan(20°＋40°)＝tan60°＝.123456第18頁，共65頁基礎(chǔ)過關(guān)5．化簡：cos4－sin4等于()A．

B．

C．

D．0A【提示】原式＝(cos2－sin2)(cos2－sin2)＝cos＝.123456第19頁，共65頁基礎(chǔ)過關(guān)6．化簡：cos(A－B)·cosB－sin(A－B)·sinB＝________.cosA123456【提示】原式＝cos[(A－B)＋B]＝cosA.典例剖析例1變1例2例1求值：(1)sin15°；變2第20頁，共65頁【思路點撥】“15°＝60°－45°，105°＝60°＋45°”，利用兩角和與差的正弦及正切公式進行計算．例3變3例4變4【解】sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°＝×－×＝.典例剖析(2)tan105°.第21頁，共65頁【解】tan105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝－2－.例1變1例2變2例3變3例4變4第22頁，共65頁變式訓練1求值：(1)cos75°；典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4【關(guān)鍵點評】利用兩角和與差的正弦、余弦、正切，會計算sin15°，sin75°，cos15°，cos75°，tan15°，tan75°，并且能熟記這些值．第23頁，共65頁解：原式＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝×－×＝.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第24頁，共65頁(2)tan15°.解：原式＝tan(45°－30°)＝＝＝2－.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第25頁，共65頁例2計算：(1)sin55°cos35°＋cos55°sin145°；典例剖析【思路點撥】(1)可利用誘導公式將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值，進行兩角和的正弦公式的逆用；(2)兩角差的正切公式逆用．例1變1例2變2例3變3例4變4【解】原式＝sin55°cos35°＋cos55°sin35°＝sin(55°＋35°)＝sin90°＝1.第26頁，共65頁(2).【解】原式＝tan(10°－55°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第27頁，共65頁典例剖析變式訓練2求值：(1)cos10°cos110°－cos80°sin110°；【關(guān)鍵點評】(1)兩角和的余弦公式的逆用；(2)在兩角差的正切公式逆用中，經(jīng)常用“tan45°”去替代“1”．例1變1例2變2例3變3例4變4第28頁，共65頁解：原式＝cos10°cos110°－sin10°sin110°＝cos(10°＋110°)＝cos120°＝－.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第29頁，共65頁(2).解：原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第30頁，共65頁例3

已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均為銳角，求α＋β的值．典例剖析【思路點撥】已知三角函數(shù)值求角，一般分兩步：①“恰當”地根據(jù)角的范圍選擇一個三角函數(shù)值；②根據(jù)角的范圍與三角函數(shù)值確定該角的值．例1變1例2變2例3變3例4變4第31頁，共65頁【解】∵α，β均為銳角，∴cosα＝，cosβ＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第32頁，共65頁典例剖析變式訓練3已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均為銳角，求α－β的值．例1變1例2變2例3變3例4變4【關(guān)鍵點評】分析角的范圍并合理選擇一個三角函數(shù)值．第33頁，共65頁解：∵α和β均是銳角，∴cosα＝，cosβ＝.∵α∈，β∈，∴α－β∈.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第34頁，共65頁又∵sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝，∴α－β＝.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第35頁，共65頁例4

已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β均為銳角，求角β.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4【思路點撥】先運用拆角技巧β＝(α＋β)－α，再運用兩角差的余弦公式．第36頁，共65頁【解】∵α∈，∴sinα＝，而α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)>0，且sin(α＋β)＝＝.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.∵α，β均為銳角，∴β＝.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第37頁，共65頁典例剖析變式訓練4(1)已知0＜α＜＜β＜π，sinα＝，cos(α＋β)＝－，則sinβ＝________；例1變1例2變2例3變3例4變4【關(guān)鍵點評】將未知角用已知角表示出來，使之變成兩角和與差的形式．【提示】sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cosα－cos(α＋β)·sinα＝.第38頁，共65頁(2)若sin＝，且α＋∈，則sinα＝________.【提示】sinα＝sin.典例剖析例1變1例2變2例3變3例4變4第39頁，共65頁回顧反思1．運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確而且要熟悉公式的逆用及變形．2．(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為“已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和與差的關(guān)系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．第40頁，共65頁回顧反思3．常見的配角技巧：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β).其中α，β可為特殊角，例如：α＝.檢測練習12345678一、單項選擇題1．求值：sin－cos等于()A．0

B．

C．－

D．1第41頁，共65頁9101112123C【提示】原式＝sincos－cossin＝sin＝sin＝－.A組B組第42頁，共65頁2．若α＋β＝，則(1＋tanα)·(1＋tanβ)等于()A．1

B．－1

C．2

D．－2檢測練習C123456789101112123A組B組【提示】tan(α＋β)＝，則tanα＋tanβ＋tan(α＋β)·tanαtanβ＝tan(α＋β).當α＋β＝時，tanα＋tanβ＋tanα·tanβ＝1.第43頁，共65頁3．化簡：cos(α＋β)＋cos(β－α)等于()A．2cosαcosβ

B．2sinαsinβC．2sinαcosβ

D．－2cosαcosβ檢測練習A【提示】公式直接展開．123456789101112123A組B組第44頁，共65頁4．已知sinα＝，且α∈，則tan等于()A．－7

B．7

C．－

D．檢測練習D【提示】∵α∈，∴cosα＝－，tanα＝－，∴tan＝＝＝.123456789101112123A組B組第45頁，共65頁5．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，則△ABC是()A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．不能確定檢測練習C123456789101112123A組B組【提示】原式＝cos(A＋B)＝－cosC>0，∴cosC<0.第46頁，共65頁6．已知tan(α＋β)＝，tan＝，則tan的值為()A．

B．

C．

D．檢測練習123456789101112123A組B組C第47頁，共65頁【提示】tan＝tan＝＝＝.

檢測練習123456789101112123A組B組第48頁，共65頁二、填空題7．求值：(1)sin17°cos13°＋sin73°sin13°＝________；檢測練習123456789101112123A組B組【提示】原式＝sin17°cos13°＋cos17°sin13°＝sin(17°＋13°)＝sin30°＝.第49頁，共65頁(2)tan15°＋tan75°＝________.【提示】tan15°＝2－，tan75°＝2＋.4檢測練習123456789101112123A組B組第50頁，共65頁8．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則cosαsinβ＝________檢測練習【提示】∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，∴cosαsinβ＝＝.123456789101112123A組B組第51頁，共65頁9．已知tan(α＋β)＝2，tanβ＝－3，則tanα＝________.檢測練習－1【提示】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝－1.123456789101112123A組B組第52頁，共65頁10．若cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，則cos(α－β)＝________.檢測練習【提示】(cosα－cosβ)2＝cos2α＋cos2β－2cosαcosβ＝，(sinα－sinβ)2＝sin2α＋sin2β－2sinαsinβ＝，兩式相加得2－2(cosαcosβ+sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.123456789101112123A組B組第53頁，共65頁三、解答題11．已知sinα＝，且α∈，求sin和cos的值．檢測練習解：∵α∈，∴cosα＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×123456789101112123A組B組第54頁，共65頁＝－；cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.檢測練習123456789101112123A組B組第55頁，共65頁12．已知α，β∈(0，π)，且tanα和tanβ是方程x2＋x＋6＝0的兩根，求α＋β的值．檢測練習解：∵tanα，tanβ是方程x2＋x＋6＝0的兩根，∴由韋達定理得又∵α，β∈(0，π)，∴α，β∈，123456789101112123A組B組第56頁，共65頁∴π<α＋β<2π.∵tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝.檢測練習123456789101112123A組B組第57頁，共65頁1．已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸非負半軸重合，它的終邊經(jīng)過點P.(1)求sin(α＋π)的值；檢測練習解：由點P可知，x＝－，y＝－，∴r＝＝1，123456789101112123A組B組第58頁，共65頁則sinα＝＝－，cosα