勾股定理的逆定理

勾股定理及其逆定理的應(yīng)用：單一應(yīng)用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再

求這個直角三角形的角和面積；綜合應(yīng)用：先由勾股定理求出三角形的邊長，再由勾股

定理的逆定理確定三角形的形狀，進而解決其他問題；逆向應(yīng)用：如果一個三角形兩條較小邊長的平方和不等

于最大邊長的平方，那么這個三角形不是直角三角形.1類型勾股定理的驗證1．一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)

了一種新的驗證勾股定理的方法．如圖，火柴盒

的一個側(cè)面四邊形ABCD倒下到四邊形AB′C′D′的

位置，連接AC，AC′，CC′，設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c.請利用四邊形BCC′D′的面積證明勾股定理：a2＋b2＝c2.由題易知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.∴∠CAC′＝90°.∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，∴(a＋b)(a＋b)＝

ab＋

ab＋

c2.

∴(a＋b)2＝2ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.證明：2勾股定理在折疊中的應(yīng)用類型2．【中考·泰州】如圖，長方形ABCD中，AB＝8，BC

＝6，P為AD上一點，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE，BE分別與CD相交于點O，G，且OE＝OD，求AP的長．∵四邊形ABCD是長方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根據(jù)題意得△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.在△ODP和△OEG中，∴△ODP≌△OEG.∴OP＝OG，PD＝GE.∴DG＝EP.設(shè)AP＝EP＝x，則GE＝PD＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.根據(jù)勾股定理得BC2＋CG2＝BG2.即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.解：3勾股定理在最短路徑中的應(yīng)用類型3．【中考·資陽】如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略

不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離

容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在

容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯

粒需爬行的最短路徑的長是(

)A．13cmB．2cmC.cmD．2cmA4勾股定理的逆定理在判斷方向中的應(yīng)用4．如圖，小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，

某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達河邊B處取水，然后沿另一方向走80m到達菜地C處澆水，最

后沿第三方向走100m回到家A處．問

小明在河邊B處取水后是沿哪個方向行

走的？并說明理由．類型小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的．理由如下：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的．解：5勾股定理的逆定理在判斷構(gòu)成直角三角形條件中的應(yīng)用5．如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中有從點A出發(fā)的四條線段AB，AC，AD，AE，它們的另一個端點B，C，D，E均

在格點(正方形網(wǎng)格的交點)上．(1)若每個正方形的邊長都是1，分別求出AB，AC，AD，AE的長度(結(jié)果保留根號)．(2)在AB，AC，AD，AE四條線段中，是否存在三條線

段，使它們能構(gòu)成直角三角形？

如果存在，請指出是哪三條線段，

并說明理由．類型

解：6勾股定理與它的逆定理的綜合應(yīng)用6．如圖，已知在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)在AB

上，且AF∶FB＝3∶1.(1)請你判斷EF與DE的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若此正方形的面積為16，求DF的長．類型(1)EF⊥DE.理由如下：

設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則AD＝DC＝a，F(xiàn)B＝

a，AF＝

a，BE＝EC＝

a，

在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝

a2，

在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝

a2，

在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝

a2，∴DE2＋EF2＝

a2＋

a2＝

a2＝DF2，∴△DFE為直角三角形，且∠DEF＝90°，∴EF⊥DE.解：(2)∵正方形的面積為16，∴a2＝16，∴DF2＝

a2＝×16＝25，∴DF＝5.7．如圖，已知AD⊥CD于點D，且AD＝4，CD＝3，AB

＝12，BC＝13.(1)求四邊形ABCD的面積；(2)若∠B＝23°，求∠ACB的度數(shù)．(1)在Rt△ACD中，∠D＝90°，∴AC＝

＝5.

又∵AB＝12，BC＝13，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD

＝

AB·AC＋

AD·CD

＝×12×5＋×4×3＝36.(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝23°，∴∠ACB＝90°－∠B＝90°－23°＝67°.解：7勾股定理及其逆定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用8．如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點A，B，C，D均在格點上．(1)求四邊形ABCD的面積．(2)你能判斷AD與CD的位置關(guān)系嗎？請說出你的理由．類型(1)S四邊形ABCD＝×2×5＋×3×5＝12.5.(2)AD⊥CD.理由如下：

因為AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，

所以AD2＋CD2＝AC2，

所以△ADC是直角三角形，

且∠ADC＝90°.

所以AD⊥CD.解：8勾股定理的逆定理的實際應(yīng)用9．王偉準備用一段長30m的籬笆圍成一個三角形形狀的小

圈，用于飼養(yǎng)家兔．已知第一條邊長為am，由于受地

勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2m.(1)請用a表示第三條邊長．(2)問第一條邊長可以為7m嗎？請說明理由，并求出a的

取值范圍．(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長

均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，請說明

理由．類型(1)第一條邊長為am，第二條邊長為(2a＋2)m，所以

第三條邊長為30－a－(2a＋2)＝28－3a(m)；(2)第一條邊長不可以為7m，理由如下：