固體物理課理論

3.0引言量子自由電子理論態(tài)密度及費(fèi)米面金屬的接觸勢(shì)差電子比熱一、基本內(nèi)容二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握量子理論的提出過(guò)程掌握態(tài)密度的求法熟練掌握費(fèi)米面的概念3.1自由電子的經(jīng)典理論金屬中的價(jià)電子可以看成是自由電子，即電子所受的勢(shì)函數(shù)為常數(shù)；電子－電子，電子－晶格之間存在瞬間彈性碰撞；弛豫時(shí)間假定德魯?shù)茫―erude）理論的基本假定這是最簡(jiǎn)單的金屬鍵模型3.1自由電子的經(jīng)典理論德魯?shù)茫―erude）理論關(guān)于金屬電導(dǎo)率的理論處理vts單位時(shí)間：t=1單位面積：s=1EDriftvelocity

vdisnetmotionofelectrons(0.1to10-7m/s).Scatteringtime

tistimebetweenelectron-latticecollisions.按弛豫時(shí)間近似：

Metal:

Resistance

increaseswithTemperature.Why?Temp

t,nsame(same#conductionelectrons)

r

Semiconductor:ResistancedecreaseswithTemperature.Why?Temp

t,n(“free-up”carrierstoconduct)

rTemperaturedependenceofresistivity.3.1自由電子的經(jīng)典理論德魯?shù)茫―erude）理論的困難3.2自由電子的量子理論薛定諤方程：平面波形式的解:其中 為電子的位置矢量，為波矢量.上面討論的是無(wú)任何限制的自由電子的性質(zhì)，它的動(dòng)量具有確定值，速度與波的群速度一致，而坐標(biāo)不受任何限制，電子在空間各電出現(xiàn)的幾率相等.在金屬的自由電子論中，電子的勢(shì)能為零，但它不完全自由，它的位置受金屬邊界的限制.一、波函數(shù)與能級(jí)3.2自由電子的量子理論一、周期性邊界條件周期性邊界條件：將周期性邊界條件（1）式與金屬電子的波動(dòng)方程聯(lián)立得：同理有：能級(jí)EF3.3費(fèi)米面與態(tài)密度一、費(fèi)米面電子氣中的粒子滿(mǎn)足泡利不相容原理，服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)，在平衡時(shí)，能量為E的能級(jí)被電子占據(jù)的幾率為：—Fermi-Dirac分布其中：為電子的化學(xué)勢(shì),一般稱(chēng)絕對(duì)零度下的電子化學(xué)勢(shì)為費(fèi)米面T=0K時(shí)，＝EF

Ef(E)1EF狀態(tài)全空狀態(tài)全被占據(jù)3.3費(fèi)米面與態(tài)密度二、費(fèi)米面的物理意義費(fèi)米能級(jí)在k空間的等能面－費(fèi)米面；絕對(duì)零度下，金屬中電子態(tài)被占據(jù)和未被占據(jù)的能級(jí)分界面；費(fèi)米能級(jí)是絕對(duì)零度下電子的化學(xué)勢(shì)；自由電子的費(fèi)米面為球面。特別提示：有些教科書(shū)、專(zhuān)著或文章中，將任何溫度下的電子化學(xué)勢(shì)均稱(chēng)為費(fèi)米面，此時(shí)費(fèi)米能級(jí)是溫度的函數(shù)，而－絕對(duì)零度下的費(fèi)米能級(jí)記為：EF0費(fèi)米分布曲線(xiàn)系統(tǒng)中的電子總數(shù)：3.3費(fèi)米面與態(tài)密度三、費(fèi)米面計(jì)算方法及態(tài)密度g(E)是電子的態(tài)密度－－十分重要3.3費(fèi)米面與態(tài)密度四、態(tài)密度3.3費(fèi)米面與態(tài)密度五、自由電子氣體的態(tài)密度和費(fèi)米面對(duì)于自由電子，等能面是球面，由上述分析可得其中自由電子的狀態(tài)密度曲線(xiàn)3.3費(fèi)米面與態(tài)密度六、與費(fèi)米面相關(guān)的一些概念對(duì)于自由電子，費(fèi)米面為球面.費(fèi)米面上的電子的能量稱(chēng)為費(fèi)米能,對(duì)應(yīng)的波矢為費(fèi)米波矢,對(duì)應(yīng)的電子的速度為費(fèi)米速度.由得絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米波矢為:由電子動(dòng)量得絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米速度矢為:與費(fèi)米能量對(duì)應(yīng)的熱運(yùn)動(dòng)溫度稱(chēng)為費(fèi)米溫度,記為.有:3.4低溫下電子化學(xué)勢(shì)為了書(shū)寫(xiě)方便，姑且將不同溫度下的電子化學(xué)勢(shì)也記為費(fèi)米能EF當(dāng) ,但 時(shí),分布在各個(gè)能級(jí)上的電子總數(shù)可表示為:先求積分I：dEEfECCE)(32|32023023￠-=ò￥￥3.4低溫下電子化學(xué)勢(shì)ò??--=FFdEEEfEE02)()(!21得N：3.4低溫下電子化學(xué)勢(shì)費(fèi)米能級(jí)隨溫度升高而略有減小3.4低溫下電子化學(xué)勢(shì)3.5自由電子比熱一、自由電子的平均能量二、電子氣的比熱容若系統(tǒng)中有N個(gè)電子,根據(jù)比熱容的定義,即可得出系統(tǒng)比熱容為:其中 ,稱(chēng)為金屬的電子比熱容系數(shù).3.5自由電子比熱3.5自由電子比熱二、金屬的熱容低溫下，由德拜模型得到晶格熱容為：低溫下金屬總的比熱容為:變形為:金屬總的比熱容3.6自由電子氣的電導(dǎo)率若晶體中的電子是完全自由的,則晶體將沒(méi)有電阻,在外場(chǎng)作用下電子定向運(yùn)動(dòng)的速度越來(lái)越大直至無(wú)窮,這是與實(shí)驗(yàn)不相符的.在實(shí)際上,電子在晶體內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),要受阻力作用.這種阻力來(lái)源于晶格振動(dòng)(聲子)以及晶格中的缺陷和雜質(zhì)原子與電子間的相互作用.對(duì)于電子運(yùn)動(dòng)阻力的定量分析是復(fù)雜的,這里用簡(jiǎn)單的弛豫時(shí)間方法來(lái)處理.一、弛豫時(shí)間近似3.6自由電子氣的電導(dǎo)率二、電子導(dǎo)電的準(zhǔn)經(jīng)典處理電子運(yùn)動(dòng)的群速度為：當(dāng)晶體外加電場(chǎng)時(shí),電子被加速,按牛頓力學(xué)有:由沖量定理有：3.6自由電子氣的電導(dǎo)率二、電子導(dǎo)電的準(zhǔn)經(jīng)典處理即:由于電子的漂移運(yùn)動(dòng),電子氣系統(tǒng)產(chǎn)生一個(gè)沿外場(chǎng)方向的電流可見(jiàn):弛豫時(shí)間越大,即阻力越小,則導(dǎo)電能力越強(qiáng).在波矢空間中,當(dāng)電子氣系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài)后,每個(gè)電子的波矢增加了3.6自由電子氣的電導(dǎo)率二、電子導(dǎo)電的準(zhǔn)經(jīng)典處理無(wú)外場(chǎng)有無(wú)外場(chǎng)電場(chǎng)作用下費(fèi)米球移動(dòng)示意圖對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)僅僅是費(fèi)米面附近的電子3.7金屬的電子熱發(fā)射電子熱發(fā)射:金屬中的電子因受熱而逸出金屬表面的現(xiàn)象.逸出功:金屬中的電子逸出金屬表面所需要的能量.物理意義：外界為克服正離子的引力所需作的功.固體的電子發(fā)射方式有1熱發(fā)射——高溫2場(chǎng)發(fā)射——強(qiáng)電場(chǎng)3光發(fā)射——強(qiáng)光照射4二次電子發(fā)射——高能電子如果有外部電路,則逸出的電子可形成熱電子發(fā)射電流則電流密度為:里查遜----杜師曼定律T為絕對(duì)溫度;A為常數(shù),不同金屬A的值不同.3.7金屬的電子熱發(fā)射用電子氣模型來(lái)計(jì)算熱電子發(fā)射電流的大小:在波矢空間中,體積元 中電子態(tài)的數(shù)目為:按費(fèi)米分布,這些態(tài)上的電子數(shù)密度為:用電子速度表示波矢和能量:所以對(duì)于能量較高的電子,滿(mǎn)足 ,則上式可化為:速度分量 在 到 之間的電子數(shù)為:3.7金屬的電子熱發(fā)射沿