流體動(dòng)力學(xué)微分形式的基本方程

流體動(dòng)力學(xué)微分形式的基本方程第一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.1連續(xù)性方程與流函數(shù)

1.

連續(xù)性方程（1）方程的推導(dǎo)第二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日液體三元流動(dòng)的連續(xù)性方程第三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日液體三元流動(dòng)的連續(xù)性方程第四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

依據(jù)質(zhì)量守恒定律：

x向質(zhì)量?jī)敉剩簓、z向質(zhì)量?jī)敉史謩e為：和第五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

體積內(nèi)的質(zhì)量減少率：則有：第六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

除以體積ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取極限，得到直角坐標(biāo)下的連續(xù)性方程：或第七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

或

柱坐標(biāo)下的不可壓縮流體連續(xù)性方程：對(duì)于不可壓縮流體：（2）方程的簡(jiǎn)化

對(duì)于恒定流動(dòng)：第八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

（3）連續(xù)性方程的應(yīng)用

判別流動(dòng)能否發(fā)生。求解某一未知速度分量。

與運(yùn)動(dòng)微分方程聯(lián)立求解。第九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.流函數(shù)ψ(1)定義二維不可壓縮流體連續(xù)性方程為：當(dāng)定義和，連續(xù)性方程自然滿足。稱ψ為流函數(shù)。第十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

(2)物理意義常數(shù)時(shí)，則得到不同流線。為流線，當(dāng)取不同

兩條流線的流函數(shù)數(shù)值之差等于這兩條流線間所通過的單寬流量。第十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

公式表明，兩條流線間所通過的單寬流量等于兩個(gè)流函數(shù)數(shù)值之差。且，引入ψ后可將求ux，uy的問題化為求ψ的問題。第十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

4.2運(yùn)動(dòng)微分方程1.

應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)微分方程（1）運(yùn)動(dòng)流體一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)第十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

雙下標(biāo)含義：

第一個(gè)下標(biāo)：作用面的外法線方向，

第二個(gè)下標(biāo)：應(yīng)力的方向。

正的應(yīng)力：正面、正力或負(fù)面、負(fù)力。

負(fù)的應(yīng)力：正面、負(fù)力或負(fù)面、正力。第十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

第十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

依據(jù)牛頓第二定律。六面體流體元中心點(diǎn)M的坐標(biāo)為x，y，z，應(yīng)力狀態(tài)為σ，可求出各面中心點(diǎn)的應(yīng)力。（2）方程的推導(dǎo)外力的x

向分量Fx

：

質(zhì)量力的x向分量：以x方向?yàn)槔旱谑?yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

表面力的x

向分量：加速度的x

向分量ax：質(zhì)量m：第十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

除以ΔxΔyΔz，并令Δx→0,Δy→0,Δz→0取極限，得出同理可得y、z向方程。第十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

應(yīng)力形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為存在問題：方程組不閉合（4個(gè)方程，9個(gè)未知量）。第十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

2.不可壓縮流體的應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系第二十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

3.

納維－斯托克斯方程（N－S方程）第二十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日寫成矢量形式：方程各項(xiàng)的含義：左端：慣性力右端：質(zhì)量力、壓力（壓強(qiáng)梯度力）、粘性力第二十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.3N－S

方程組求解的分析1.

N－S方程組矢量式：第二十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日分量式：第二十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日給出定解條件初始條件邊界條件理論上，方程組可解。第二十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.

N－S方程組的特點(diǎn)

非線性

二階偏微分方程組一般情況下，N－S方程組難于求解。第二十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.主要解法

（1）層流精確解對(duì)于某些簡(jiǎn)單流動(dòng)，非線性項(xiàng)為零，可求得精確解。例如：①平行平板間的二維恒定層流運(yùn)動(dòng)第二十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日②斜面上具有等深自由面的二維恒定層流運(yùn)動(dòng)第二十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日③等直徑圓管恒定層流運(yùn)動(dòng)第二十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）近似解為什么要求近似解？由于僅在少數(shù)簡(jiǎn)單流動(dòng)情況下才能得到精確解，為此求近似解。僅在兩種極端雷諾數(shù)情形下，通過略去N－S方程中的個(gè)別項(xiàng)，才能求得近似解。第三十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日①小雷諾數(shù)流動(dòng)－蠕動(dòng)流

Re<<

1慣性力<<

粘性力斯托克斯解：全部略去慣性力，得出斯托克斯阻力公式。奧森解：部分略去慣性力，得出奧森解。兩個(gè)解成為低雷諾數(shù)流體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。第三十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日蠕動(dòng)流的例子：小球在極粘流體中的沉降第三十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日②大雷諾數(shù)流動(dòng)

Re>>

1慣性力>>

粘性力當(dāng)全部略去粘性項(xiàng)，會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？

N－S方程組歐拉方程組（理想流體）計(jì)算結(jié)果不適用于固體壁面附近適用于遠(yuǎn)離固體壁面的流場(chǎng)第三十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日為什么不適用于固體壁面附近？計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符合：邊界條件不符合阻力規(guī)律不符合流型不符合第三十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

1904年，普朗特提出邊界層概念，將微粘流體的廣大流場(chǎng)劃分為邊界層和外流區(qū)，分別用邊界層理論和勢(shì)流理論求解。第三十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（3）數(shù)值解屬于計(jì)算流體力學(xué)范疇。（4）實(shí)驗(yàn)解屬于實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)范疇。第三十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.4層流精確解舉例1.平行平板間的二維恒定層流運(yùn)動(dòng)重力作用下的兩無(wú)限寬水平平行平板間的二維恒定不可壓縮流體的層流運(yùn)動(dòng)。平板間距為a，流體的密度為ρ，動(dòng)力粘度為μ，上板沿x

方向移動(dòng)的速度U為常量，試求平板間流體的速度分布。第三十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日求解步驟：

繪圖并選取坐標(biāo)系及坐標(biāo)取向。

依據(jù)題中條件，簡(jiǎn)化N－S方程組。依據(jù)題意，給出邊界條件。解方程組。第三十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（1）選直角坐標(biāo)系取x軸沿下板，z軸垂直于平板。（2）簡(jiǎn)化N－S方程組①由二維流動(dòng)可知uy＝0，且各量與y無(wú)關(guān)；

②由流體作平行于x軸的流動(dòng)，可知uz＝0，故僅有ux；③由恒定流可知；第三十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日④

由不可壓縮流體的連續(xù)性方程和即ux僅是z的函數(shù)；可知和第四十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日⑤由重力場(chǎng)可知單位質(zhì)量力即X=

Y=

0，Z=

-g。于是N－S方程組簡(jiǎn)化為（1）（2）第四十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（3）邊界條件z＝0，ux＝0；z＝a，ux＝U（3）（4）（4）解方程組先解（2）式，得（5）求得（6）表明與z無(wú)關(guān)，對(duì)z積分解（1）式時(shí)，可作為常量看待。第四十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)（1）式積分二次得到則流速分布為利用邊界條件（3）、（4）求得（8）（7）第四十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（5）討論①當(dāng)，得出

，為科耶特流動(dòng)。第四十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日，為泊肅葉流動(dòng)。②當(dāng)?shù)贸鯱=0第四十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日最大流速

：?jiǎn)螌捔髁?斷面平均流速與最大流速之比：斷面平均流速：第四十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.斜面上具有等深自由面的二維恒定層流運(yùn)動(dòng)重力作用下的無(wú)限寬斜面上具有等深自由面的二維恒定不可壓縮流體的層流運(yùn)動(dòng)。若深度H為常量，斜面傾角為α，流體的密度為ρ，動(dòng)力粘度為μ，液面壓強(qiáng)pa為常量，且不計(jì)液面與空氣之間的粘性切應(yīng)力，試求流體的壓強(qiáng)分布、速度分布、斷面平均流速及作用于斜面上的粘性切應(yīng)力。第四十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（1）選直角坐標(biāo)系取x軸沿斜面，z軸垂直于斜面。（2）簡(jiǎn)化N－S方程組（1）（2）得出第四十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（3）邊界條件z＝0，ux＝0；（3）（5）（4）第五十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（4）解方程組先解（2）式，得出利用邊界條件（5）式，確定，得出壓強(qiáng)分布：（6）第五十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日則流速分布為：利用邊界條件（3）、（4）求得（7）該式表明：p與z成線性關(guān)系，與x無(wú)關(guān)。對(duì)（1）式積分二次，得到第五十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（10）最大流速（z=H）：（8）單寬流量:（9）斷面平均流速：進(jìn)而，求得：U斷面平均流速與最大流速之比：（11）U第五十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（12）粘性切應(yīng)力分布：斜面上的粘性切應(yīng)力：（13）需要指出，在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于寬淺河道，由于河寬B遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水深H，可按二維明渠水流計(jì)算。當(dāng)水流為二維明渠均勻?qū)恿鲿r(shí)，可直接應(yīng)用本例計(jì)算結(jié)果。第五十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.

等直徑圓管恒定層流運(yùn)動(dòng)重力作用下的等直徑圓管中的恒定不可壓縮流體的層流運(yùn)動(dòng)。若圓管半徑為r0

，流體的密度為ρ，動(dòng)力粘度為μ，試求流體的速度分布、斷面平均流速及作用于管壁上的粘性切應(yīng)力。第五十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（1）選用圓柱坐標(biāo)系取z軸與管軸重合，r垂直于管軸和管壁，θ沿周向，h表示鉛直方向。（2）簡(jiǎn)化N－S方程組得出：（1）第五十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（3）邊界條件（4）解方程組將（1）式化為：r＝0，uz＝有限值；r＝r0，uz＝0（2）（3）（4）第五十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（5）利用邊界條件（2）、（3）求得由（4）式可知（p

+ρgh）與r和θ無(wú)關(guān)，僅為z的函數(shù)，對(duì)r積分求uz時(shí)，可將作為常量看待，則得出第五十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日則流速分布為：（6）進(jìn)而，求得：最大流速（r＝0）：（7）第六十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日流量:（8）斷面平均流速與最大流速之比：（10）U斷面平均流速：（9）U第六十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日管壁上的粘性切應(yīng)力：（12）粘性切應(yīng)力分布：（11）需要說明：上述計(jì)算結(jié)果只適用于充分發(fā)展的均勻流動(dòng)區(qū)，對(duì)于管道進(jìn)口段則不適用。第六十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.

蠕動(dòng)流概念當(dāng)慣性力可被完全忽略而雷諾數(shù)趨近于零時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)層流運(yùn)動(dòng)的極端情況，即蠕動(dòng)流。小球在極粘流體中沉降以及液體穿過孔隙介質(zhì)的流動(dòng)（即滲流）均可作為蠕動(dòng)流處理。4.5

蠕動(dòng)流方程第六十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日忽略慣性力的條件意味著運(yùn)動(dòng)非常緩慢，遷移加速度沒有明顯的慣性作用及非恒定性可以忽略不計(jì)。第六十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.

蠕動(dòng)流方程略去慣性項(xiàng)后，重力場(chǎng)中不可壓縮流體的N－S方程化為（1）或（2）第六十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日對(duì)（2）式兩端取散度，并考慮到：對(duì)于不可壓縮流體蠕動(dòng)流問題可化為：在一定邊界條件下求解拉普拉斯方程的問題。得出（3）及第六十六頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.層流與紊流

粘性流動(dòng)中的兩種流態(tài)：層流與紊流（湍流）1839年哈根通過圓管試驗(yàn)首次發(fā)現(xiàn)這兩種流態(tài)。1883年雷諾通過圓管流動(dòng)試驗(yàn)，清楚地演示這兩種流態(tài)，如圖所示。4.6

紊流基本概念第六十七頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)A管流動(dòng)的臨界雷諾數(shù)：U（a）層流（b）紊流第六十八頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.雷諾方程（1）

求時(shí)均的規(guī)則紊流為相當(dāng)復(fù)雜的流動(dòng)型態(tài)。流體質(zhì)點(diǎn)激烈混摻，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間作隨機(jī)變化。第六十九頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日大量的實(shí)驗(yàn)表明：無(wú)論瞬時(shí)值如何變化，只要取足夠長(zhǎng)的時(shí)段，其時(shí)間平均值（簡(jiǎn)稱時(shí)均值）就是確定的。時(shí)均值可定義為瞬時(shí)值＝時(shí)均值＋脈動(dòng)值，則有第七十頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日容易證明：若可利用這些關(guān)系式推導(dǎo)紊流基本方程。則得出第七十一頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）

雷諾方程的推導(dǎo)①

N－S方程組為粘性流體的基本方程組，既適用于層流，也適用于紊流的瞬時(shí)值。②

將“瞬時(shí)值”表示為“時(shí)均值＋脈動(dòng)值”，并用求時(shí)均規(guī)則，可以導(dǎo)出雷諾方程：第七十二頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七十三頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日雷諾方程中增加了由雷諾應(yīng)力：構(gòu)成的附加項(xiàng)。雷諾應(yīng)力為二階對(duì)稱張量。

由于雷諾應(yīng)力分量均未知，雷諾方程組不閉合，必須補(bǔ)充方程后才能求解。第七十四頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.關(guān)于紊流的求解（1）

半經(jīng)驗(yàn)理論利用部分得到證明的假設(shè)，去建立雷諾應(yīng)力與時(shí)均量之間的關(guān)系，以解決紊流基本方程的封閉問題。主要有：

布辛涅斯克渦粘性系數(shù)；普朗特混和長(zhǎng)度理論；泰勒渦量傳遞理論；卡門相似理論等。可歸入一階封閉模式或零方程模型范圍。第七十五頁(yè)，共八十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）

二階封閉模式的紊流模型主要有：雷諾應(yīng)力模型（微分模型，RSM）；代數(shù)應(yīng)力模型（k-ε-A