2024學(xué)年甘肅省通渭縣第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024學(xué)年甘肅省通渭縣第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，到雙曲線的上焦點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.2．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點(diǎn)P滿足，則（）A. B.1C. D.23．在長(zhǎng)方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.5．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4；③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（）A.① B.②C.③ D.④6．曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.3 B.C.2 D.7．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.8．若一個(gè)正方體的全面積是72，則它的對(duì)角線長(zhǎng)為（）A. B.12C. D.69．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．與向量平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.11．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.12．若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P在C的右支上，則的最小值是______14．已知等比數(shù)列中，則q＝___15．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.16．定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.（1）設(shè)，則在上的“新駐點(diǎn)”為_(kāi)__________；（2）如果函數(shù)與的“新駐點(diǎn)”分別為、，那么和的大小關(guān)系是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知p：方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立.（1）若p為真，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（2）若為假命題，且為真命題，求實(shí)數(shù)t的取值范圍18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，且它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)拋物線20．（12分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上（1）若，證明：與平面不垂直；（2）若平面，求平面與平面的夾角的余弦值21．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，且的面積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)，證明：為定值.22．（10分）如圖所示，在四棱錐中，BC//平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)（1）求證：CE//平面PAB；（2）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)，使MN//平面PAB？說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點(diǎn)），解得，即得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，設(shè)為拋物線焦點(diǎn)，則，拋物線準(zhǔn)線方程為，因此到雙曲線的上焦點(diǎn)的距離與到直線的距離之和等于，因?yàn)椋?，即，即雙曲線的方程為，選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.2、D【解題分析】設(shè)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合點(diǎn)P的唯一性有求參數(shù)a，即可得結(jié)果.【題目詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下圖空間直角坐標(biāo)系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點(diǎn)P滿足，所以，則，故，可得，此時(shí)，所以.故選：D3、C【解題分析】通過(guò)平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線與所成角為和所成角，通過(guò)解三角形即可得解.【題目詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱性可得體對(duì)角線過(guò)中心點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.4、D【解題分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值上的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，令，又，所以或；所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以；又，，所以；所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.5、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B6、D【解題分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，依題意即過(guò)切點(diǎn)的切線恰好與直線平行，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，所以切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離，所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是；故選：D7、C【解題分析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【題目詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【題目點(diǎn)撥】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.8、D【解題分析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)算對(duì)角線.【題目詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)角線長(zhǎng)為，則有，解得，從而，解得.故選：D9、B【解題分析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【題目詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.10、A【解題分析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【題目詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A11、B【解題分析】直接利用正態(tài)分布的應(yīng)用和密度曲線的對(duì)稱性的應(yīng)用求出結(jié)果【題目詳解】根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正態(tài)分布的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題12、C【解題分析】根據(jù)極值點(diǎn)的意義,可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合零點(diǎn)存在定理,即可求得的取值范圍.【題目詳解】函數(shù)則因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)即在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)極值點(diǎn)的意義,函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設(shè)，則，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.14、3【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案.【題目詳解】等比數(shù)列中，故，，所以，故答案為：315、8【解題分析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.【題目詳解】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.故答案為：8.16、①.②.【解題分析】（1）根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義求得，結(jié)合可得出結(jié)果；（2）求出的值，利用零點(diǎn)存在定理判斷所在的區(qū)間，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.詳解】（1），，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數(shù)在上的“新駐點(diǎn)”為；（2），則，根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義得，即.，則，由“新駐點(diǎn)”的定義得，即，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是新定義的題型，關(guān)鍵是理解“新駐點(diǎn)”的定義.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】(1)由給定條件結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解作答.(2)求命題q真時(shí)的t值范圍，再借助“或”聯(lián)結(jié)的命題為真命題求解作答.【小問(wèn)1詳解】因方程所表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則有，解得，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即，因當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，則，解得，命題q為真命題有，因?yàn)榧倜}，且為真命題，則與一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，，當(dāng)p假q真時(shí)，，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）先將變?yōu)?，然后等式兩邊同除即可得答案；?）求出，再用錯(cuò)位相減求和【小問(wèn)1詳解】證明：∵∴由已知易得，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，∴∴①②①－②有∴19、（1）（2）（3）或【解題分析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性質(zhì)可求得則，由此可求得雙曲線的方程；（2）由已知求得拋物線的焦點(diǎn)為，得出橢圓的，再根據(jù)橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或，代入點(diǎn)求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：對(duì)于直線，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上的等軸雙曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由得拋物線的焦點(diǎn)為，所以對(duì)于橢圓，，又橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程；【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是：或，代入點(diǎn)得或，解得或，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線的方程為或20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，因?yàn)?，所以與不垂直，所以與平面不垂直【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，，因?yàn)槠矫妫?，所以，得，且，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成夾角的余弦值為21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解題分析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點(diǎn)，將的面積用表示，求出，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出，再將直線的方程代入橢圓方程，求出，則為定值.【小問(wèn)1詳解】方法一：由離心率，得：，所以橢圓上一點(diǎn)，滿足，所以點(diǎn)為圓：與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)立方程組解得所以，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法二：由橢圓定義；，因?yàn)?，所以，得到：，即，又，得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線AB的方程為：.得設(shè)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線方程：.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解題