2022年湖南省常德市堯河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

2022年湖南省常德市堯河中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)在（，0]是單調(diào)函數(shù)，則的圖象不可能是參考答案：B略2.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，則A.

B.

C.

D.參考答案：A，故選A.3.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸出的S為，則判斷框中填寫的內(nèi)容可以是(

) A．n=6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8參考答案：C考點(diǎn)：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，n的值，當(dāng)n=8時，S=，由題意，此時應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為，故判斷框中填寫的內(nèi)容可以是n≤6．解答： 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=0，n=2滿足條件，S=，n=4滿足條件，S==，n=6滿足條件，S==，n=8由題意，此時應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為，故判斷框中填寫的內(nèi)容可以是n≤6，故選：C．點(diǎn)評：本題主要考查了程序框圖和算法，正確寫出每次循環(huán)得到的S的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.已知=

A．

B．

C．

D．參考答案：D由得，所以所以，選D.5.（5分）已知函數(shù)f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值為﹣3，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．參考答案：D【考點(diǎn)】：函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：分析四個選項，可發(fā)現(xiàn)C、D選項中a可以取0，故代入a=0可排除A、B；再注意C、D選項，故將代入驗證即可；從而得到答案．

解：當(dāng)a=0時，f（x）=﹣3x，x∈[﹣1，1]，顯然滿足，故a可以取0，故排除A，B；當(dāng)時，，，所以f（x）在[﹣1，1]上遞減，所以，滿足條件，故排除C，故選：D．【點(diǎn)評】：本題考查了函數(shù)的最值的求法及排除法的應(yīng)用，屬于中檔題．6.函數(shù)y＝ax－2＋2(a>0，且a≠1)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)()A．(0,1)

B．(1,1)C．(2,2)

D．(2,3)參考答案：D略7.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到極軸的距離為

A．

B.

C.

D.參考答案：A略8.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：

C略9.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.已知，若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則的取值范圍是（A） （B）

（C） （D）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在無窮等比數(shù)列{an}中，等于__________。參考答案：12.圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）．若AM⊥MP，則P點(diǎn)形成的軌跡的長度為．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點(diǎn)P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．【解答】解：以AB所在直線為x軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣1，0），B（0，1，0），，，設(shè)P（x，y，0）．于是有．由于AM⊥MP，所以，即，此為P點(diǎn)形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為故答案為【點(diǎn)評】本題考查通過建立坐標(biāo)系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．13.設(shè)，是兩個向量，則“”是“”的條件．參考答案：充要【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)展開即可得出結(jié)論．【解答】解：“”?4＞0?“”，∴“”是“”的充要條件．故答案為：充要．14.已知圓C過點(diǎn)，且圓心在x軸的負(fù)半軸上，直線被該圓所截得的弦長為，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.參考答案：15.已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

。參考答案：16.一個正四棱柱的各個頂點(diǎn)都在一個直徑為2cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為

。參考答案：17.已知圓C過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且圓心在此拋物線的準(zhǔn)線上，若圓C的圓心不在x軸上，且與直線x+y﹣3=0相切，則圓C的半徑為．參考答案：14【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程x=﹣1，設(shè)圓心坐標(biāo)（﹣1，h），根據(jù)切線的性質(zhì)列方程解出h，從而可求得圓的半徑．【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，設(shè)圓C的圓心為C（﹣1，h），則圓C的半徑r=，∵直線x+y﹣3=0與圓C相切，∴圓心C到直線的距離d=r，即=，解得h=0（舍）或h=﹣8．∴r==14．故答案為：14．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.17．（本題滿分1０分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為２，直線與拋物線Ｃ相交于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，若M（２，２）滿足，求直線的方程．參考答案：設(shè)拋物線方程為，則，拋物線方程為．由知M為線段AB的中點(diǎn)．設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時不滿足題意．故設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消y得則，解得，故直線的方程為：19.已知函數(shù)（k為常數(shù)，e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行。（1）求k的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，證明：對任意，。

參考答案：(Ⅰ)由得由于曲線在處的切線與x軸平行，所以，因此（3分）（Ⅱ）由(Ⅰ)得，令當(dāng)時，；當(dāng)時，又，所以時，；時，.

因此的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1），單調(diào)遞減區(qū)間為（8分）(Ⅲ)證明因為，所以因此對任意等價于

由（Ⅱ）知所以因此當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時單調(diào)遞增.所以的最大值為

故設(shè)因為，所以時，單調(diào)遞增，故時，即所以因此對任意（14分）20.(本小題滿分12分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,甲產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,乙產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資的單位:萬元).

(Ⅰ)分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；

(Ⅱ)該企業(yè)籌集了100萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,問:怎樣分配這100萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元？

參考答案：解：（1）甲

乙（2）設(shè)應(yīng)給乙投資萬元答：應(yīng)投資36萬元，最大利潤34萬元略21.已知函數(shù)f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，解不等式．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，從而可得a=0；（Ⅱ）當(dāng)a=0時，不等式可化為（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，從而由導(dǎo)數(shù)解不等式．解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex．∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，∵x=0為f（x）的極值點(diǎn)，∴f′（0）=a?e0=0，∴a=0；經(jīng)檢驗成立；

（Ⅱ）當(dāng)a=0時，不等式可化為（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1；當(dāng)x＞0時，h′（x）=ex﹣1＞0，當(dāng)x＜0時，h′（x）=ex﹣1＜0；故h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（0）=0；故g（x）在R上單調(diào)遞增，且g（0）=0；故ex﹣（x2+x+1）＞0，x＞0；ex﹣（x2+x+1）＜0，x＜0；所以原不等式的解集為{x|x＜0或x＞1}．點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及不等式的解法的應(yīng)用，屬于中檔題．22.已知橢圓C：=1（a＞0，b＞0），短軸長為2，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)P（1，0）的任一直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（長軸端點(diǎn)除外），證明：存在一定點(diǎn)Q（x0，0），使為定值，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（Ⅰ）由題意得b=1，，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）由題意設(shè)直線l：x=ty+1，將其代入橢圓，得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明存在一定點(diǎn)Q（x0，0），使為定值，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．解答： （本題滿分15分）解：（Ⅰ）由題意得b=1，又，即，∴，即，