廣東省肇慶第四中學2024學年高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題含解析

廣東省肇慶第四中學2024學年高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或2．關(guān)于實數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列3．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.4．若正三棱柱的所有棱長都相等，D是的中點，則直線AD與平面所成角的正弦值為A. B.C. D.5．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，6．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.7．若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在棱長為1的正方體中，為的中點，則點到直線的距離為（）A. B.1C. D.9．當圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.10．在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心11．若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.12．直線的方向向量為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)的導數(shù)為，且，則___________14．已知存在正數(shù)使不等式成立，則的取值范圍_____15．已知點是橢圓上任意一點，則點到直線距離的最小值為______16．經(jīng)過點，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個交點；（2）求直線與圓相交的最短弦長，并求對應弦長最短時的直線方程18．（12分）已知命題p：點在橢圓內(nèi)；命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若為假命題，求實數(shù)m的取值范圍19．（12分）如圖，四邊形為矩形，，，為的中點，與交于點，平面.（1）若，求與所成角的余弦值；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）在數(shù)列中，，且，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最大值21．（12分）已知直線和，設(shè)a為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求a的值：（1）（2）22．（10分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為，且，，成等比數(shù)列(1)求的通項公式(2)求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】確定對應二次方程的解，根據(jù)三個二次的關(guān)系寫出不等式的解集【題目詳解】，即為，故選：A2、B【解題分析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計算等方法逐一分析各個選項并判斷即可作答.【題目詳解】對于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對于D，a，b，c是實數(shù)，若，顯然都可以為負數(shù)或者0，此時a，b，c無對數(shù)，D不正確.故選：B3、D【解題分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，將代入橢圓方程，結(jié)合離心率為以及性質(zhì)列方程組求得與的值，從而可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程與性質(zhì)，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.4、A【解題分析】建立空間直角坐標系，得到相關(guān)點的坐標后求出直線的方向向量和平面的法向量，借助向量的運算求出線面角的正弦值【題目詳解】取AC的中點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)三棱柱的棱長為2，則，∴設(shè)為平面的一個法向量，由故令，得設(shè)直線AD與平面所成角為，則，所以直線AD與平面所成角的正弦值為故選A【題目點撥】空間向量的引入為解決立體幾何問題提供了較好的方法，解題時首先要建立適當?shù)淖鴺讼?，得到相關(guān)點的坐標后借助向量的運算，將空間圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運算處理．在解決空間角的問題時，首先求出向量夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為所求的空間角．解題時要注意向量的夾角和空間角之間的聯(lián)系和區(qū)別，避免出現(xiàn)錯誤5、C【解題分析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點：全稱命題與特稱命題6、A【解題分析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【題目詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.7、D【解題分析】計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，然后計算即可.【題目詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個不同的極值點，則在（0，+∞）由2個不同的實數(shù)根，故，解得：，故選：D.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點個數(shù)求參，考查計算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到直線的距離公式進行求解即可【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點到直線的距離為故選：B9、C【解題分析】求出圓心坐標和直線過定點，當圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【題目詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.10、B【解題分析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等?！绢}目詳解】記點O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B11、D【解題分析】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范圍即可.【題目詳解】函數(shù)的定義域為，，在定義域上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，分離參數(shù)得，所以，即.【題目點撥】方法點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的通解：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上恒成立；然后再利用分離參數(shù)求得參數(shù)的取值范圍即可.12、D【解題分析】根據(jù)直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【題目詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個方向向量，因為，所以向量為直線的方向向量，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，而，所以，，故填：.考點：導數(shù)14、（1，1）【解題分析】存在性問題轉(zhuǎn)化為最大值，運用均值不等式，求出的最大值，轉(zhuǎn)化成解對數(shù)不等式，進而解出【題目詳解】解：∵，由于，則，∴，當且僅當時，即：時，∴有最大值，又存在正數(shù)使不等式成立，則，即，∴，即的取值范圍為：.故答案為：【題目點撥】本題考查均值不等式的應用和對數(shù)不等式的解法，還涉及存在性問題，考查化簡計算能力15、【解題分析】求橢圓上平行于的直線方程，利用平行線的距離公式求橢圓上點到直線的最小值.【題目詳解】設(shè)與橢圓相切，且平行于的直線為，聯(lián)立橢圓整理可得：，則，∴，又兩平行線的距離，∴到直線距離的最小值為.故答案為：.16、【解題分析】設(shè)圓方程為，代入原點計算得到答案.【題目詳解】設(shè)圓方程為經(jīng)過點，代入圓方程則圓方程為故答案為【題目點撥】本題考查了圓方程的計算，設(shè)出圓方程是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）答案見解析【解題分析】（1）由，變形為求解直線過的定點，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時求解.【小問1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過定點，圓可變形為，因為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線和圓C相交，有兩個交點；【小問2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最短弦長為，直線的方程為法二：圓心到直線距離：，，要求d的最大值，則，當且僅當時，d的最大值為，所以最短弦長為，直線的方程為.18、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意列不等式組求解（2）判斷的真假性后分別求解【小問1詳解】由題意得，解得且故m的取值范圍是【小問2詳解】∵為假命題，∴p和q都是真命題，對于命題q，由題意得：恒成立，∴，∴，∴，解得故m的取值范圍是19、（1）（2）【解題分析】（1）以為原點，、所在的直線為、軸，以過點垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值；（2）計算出平面的法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】解：如圖，以為原點，、所在的直線為、軸，以過點垂直于面的直線為軸，建立空間直角坐標系，，，則，則，故，因為平面，平面，則，若，則，故、、、，則，，.因此，若，則與所成角的余弦值為.【小問2詳解】解：若，則、，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）（2）40【解題分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，判定數(shù)列是等差數(shù)列，然后求得首項和公差，進而得到通項公式；（2）令，求得，進而根據(jù)數(shù)列的前項和的意義求得當或5時，有最大值，進而求得和的最大值.【小問1詳解】解：∵數(shù)列滿足，∴，∴是等差數(shù)列，設(shè)的公差為d，則，即，解得，∴，∴【小問2詳解】令，得，解得，所以當或5時，有最大值，且最大值為21、（1）a=4或a=-2（2）a=【解題分析】（1）根據(jù)，由a(a-2)-2×4=0求解；（2）根據(jù)，由4a=-2(a-2）求解.【小問1詳解】解：因為，所以a(a-2)-2×4=0，解得a=4或a=-2所以當時，a=4或a=-2