2022-2023學(xué)年山東省高一下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)聯(lián)合調(diào)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省高一下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)聯(lián)合調(diào)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量加減法法則化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：A2．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由題意得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第三象限.故選:C3．若函數(shù)的值域?yàn)?，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解的值域，再與已知值域端點(diǎn)值對(duì)應(yīng)相等，求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?由題意得所以故.故選：B.4．某同學(xué)因興趣愛(ài)好，自己繪制了一個(gè)迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學(xué)為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過(guò)程中，按單位長(zhǎng)度給迷宮圖標(biāo)記了刻度，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點(diǎn)恰好共線，則（

）A．7 B． C． D．8【答案】C【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可得.【詳解】由圖可知，所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：C5．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦邊角關(guān)系可得，再應(yīng)用余弦定理求即可.【詳解】由題意，所以，得.故選：D6．若，則（

）A． B． C．或 D．或1【答案】A【分析】利用二倍角余弦公式及商數(shù)關(guān)系可得，即可求，最后由和角正切公式求值.【詳解】由，所以，得，所以.故選：A7．“五月的風(fēng)”是坐落在山東省青島市五四廣場(chǎng)的標(biāo)志性雕塑，重達(dá)500余噸，是我國(guó)目前最大的鋼質(zhì)城市雕塑，該雕塑充分展示了島城的歷史足跡.如圖，現(xiàn)測(cè)量該雕塑的高度時(shí)，選取了與該雕塑底在同一平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，測(cè)得，，，在點(diǎn)測(cè)得該雕塑頂端的仰角為40°，則該雕塑的高度約為（參考數(shù)據(jù)：取）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在中，利用正弦定理先求，然后在中由三角函數(shù)定義可得.【詳解】由題意得，在中，由，得，在中，.故選：C8．在中，為上的中線，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B，C），且M，N，G三點(diǎn)共線，若，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，設(shè)，，再用含參的方式用表示，得到關(guān)于參數(shù)的方程組求得，最后應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意取值條件.【詳解】由題意，設(shè)，，則，所以，，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.故選：D二、多選題9．若，是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則（

）A．的取值范圍為 B．的共軛復(fù)數(shù)是C． D．為純虛數(shù)【答案】BCD【分析】，是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則，得，則根據(jù)一元二次方程方程的求根公式可知的共軛復(fù)數(shù)是，【詳解】由，得，A錯(cuò)誤；因?yàn)樵匠痰母鶠?，所以的共軛?fù)數(shù)是，B正確；，C正確；因?yàn)榈扔诨?，所以為純虛?shù)，D正確.故選：BCD.10．已知向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與夾角的余弦值為 B．在上的投影向量為C．若與的夾角為鈍角，則 D．若與的夾角為銳角，則【答案】ABD【分析】已知向量的坐標(biāo)表示，由向量的投影向量以及數(shù)量積公式可分別判斷各選項(xiàng)，從而得出結(jié)論.【詳解】與夾角的余弦值為，A正確.在上的投影向量為，B正確.若與的夾角為鈍角，則得，且，C錯(cuò)誤.若與的夾角為銳角，則得，D正確.故選：ABD.11．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（

）A．為鈍角三角形 B．為最大的內(nèi)角C． D．【答案】BC【分析】對(duì)A，根據(jù)同角三角函數(shù)和兩角和與差的余弦公式即可判斷；對(duì)B和C，利用正弦定理即可判斷；對(duì)D，利用反證法即可.【詳解】對(duì)A，由，得A，C均為銳角，則，，因?yàn)椋訠為銳角，為銳角三角形，A錯(cuò)誤.由，得，，根據(jù)正弦定理得，則，所以C為最大的內(nèi)角，故B正確；對(duì)C，根據(jù)正弦定理有，故C正確；對(duì)D，若，，則，，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，B的角平分線交AC于D，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件及角平分線的定義，利用三角形的面積公式、三角形的內(nèi)角和定理及銳角三角形限制角的范圍，結(jié)合正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槭墙堑钠椒志€，所以.由題意可知，,即,所以，即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以,所以，所以，所以，即，所以，即,故A錯(cuò)誤；在中，,即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，故B正確；由正弦定理得,即,因?yàn)?，所以，即，所以，故C正確；由正弦定理，所以所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是利用等面積法及銳角三角形限制角的范圍，結(jié)合正弦定理的邊角化及三角恒等變換，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可.三、雙空題13．時(shí)鐘的分針長(zhǎng)，從到，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為_(kāi)_____，分針掃過(guò)的扇形面積為_(kāi)_____.【答案】【分析】直接計(jì)算出分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)，利用扇形的面積公式可求得分針?biāo)鶔哌^(guò)的面積.【詳解】由題意得，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的弧度數(shù)為，分針掃過(guò)的扇形面積為.故答案為：；.四、填空題14．已知向量，，且與的夾角為，則______.【答案】2【分析】根據(jù)題意求，再結(jié)合向量的模長(zhǎng)運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，所以.故答案為：2.五、雙空題15．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若的部分圖條如圖所示，則______，的值為_(kāi)_____.【答案】/0.5/【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得、、，寫(xiě)出解析式，再由圖象平移確定解析式，即可求函數(shù)值.【詳解】由圖知，且，結(jié)合圖象得：，，兩式相減得，即，則，得：，，又，所以，所以，將所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，則，所以，把得到的圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，則，所以.故答案為：，六、填空題16．在底邊為的等腰中，腰邊上的中線為，若的面積為4，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】設(shè)，，應(yīng)用三角形面積公式、余弦定理得到含參數(shù)關(guān)于的方程，根據(jù)方程有解求的最小值.【詳解】設(shè)，，則，得，在中，由余弦定理得，得，由上式平方相加得：，即，令，設(shè)，則在上必有零點(diǎn)，的對(duì)稱軸為，則，得，即.故答案為：七、解答題17．已知復(fù)數(shù)，的實(shí)部和虛部均為非零實(shí)數(shù)，且的實(shí)部等于虛部.(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)；(2)求的最小值.【答案】(1)（答案不唯一）(2)【分析】（1）由題意可設(shè)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可解，根據(jù)的實(shí)部等于虛部得，從而可得結(jié)論.（2）由（1）可得，利用復(fù)數(shù)的模公式計(jì)算可得，從而可得出最小值.【詳解】（1）設(shè)，a，b為非零實(shí)數(shù)，因?yàn)?，所以，?故可以為.（答案不唯一，滿足，即可，例如，，）（2）由（1）可得，所以，當(dāng)時(shí)，.18．如圖，在梯形中，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，設(shè)，.(1)用，表示；(2)用，表示.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)知且，根據(jù)用表示出即可；（2）由題意可得，再用表示出即可.【詳解】（1）在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以，且，故.（2）因?yàn)椋?，則，故.19．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求外接圓的周長(zhǎng)；(2)若，，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式及正弦定理求得外接圓的半徑；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式、面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以，則外接圓的半徑，故外接圓的周長(zhǎng)為.（2）由（1）得，因?yàn)?，所?由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以，故面積的最大值為.20．如圖，為半圓的直徑，，為上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.(1)用向量的方法證明；(2)若是上更靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），求的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可證；（2）利用坐標(biāo)表示出，然后由三角函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.（方法一）由題意可知，設(shè)，則，，，，得，，所以，故，即.（方法二）由題意可知，，，設(shè)，則，得，得，，所以，故，即.（2）由題意得，則，設(shè)，則，，由（1）得，，所以，由，得，當(dāng)，即時(shí)，.故的最大值為.21．如圖，在四邊形中，，，，.(1)若，求；(2)若，，求.【答案】(1)(2)13【分析】（1）由余弦定理可得，進(jìn)而由正弦定理即可求解，（2）由余弦定理得，由正弦定理得，兩式結(jié)合即可求解.【詳解】（1）由題意得，在中，由余弦定理得，得，由正弦定理，得.故.（2）在中，由余弦定理，得①，在中，由正弦定理，得.所以，代入①式得，得，則，即.22．若函數(shù)滿足，且，，則稱為“型函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“型函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)已知為定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為“型函數(shù)”，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)所給定義得到的周期為，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在根據(jù)所給解析式判斷即可；（2）首先求出的零點(diǎn)，令，即或或，根據(jù)對(duì)稱性與周期性畫(huà)出在上的圖像，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于在上的圖象與直線，，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】（1）由，得，所以的周期為，由，，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，又的最小正周期為，所以函數(shù)是“型函數(shù)”.（2）令，得，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以的零點(diǎn)為，，.令，所以或或，即或或.畫(huà)出在上的圖象，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可畫(huà)出在上的圖象.由的最小正周期為，可畫(huà)出在上的圖象.故在上的圖象如下圖所示，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于在上的圖象與直線，，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和.當(dāng)，即時(shí)在上的圖象與直線，，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為.當(dāng)，即時(shí)在上的圖象與直線，，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為.當(dāng)，即時(shí)，在上的圖象與直線，，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為3.當(dāng)，即時(shí)，在上的圖象與直線，，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為5.當(dāng)，即