小學(xué)數(shù)學(xué)該學(xué)什么

小學(xué)數(shù)學(xué)該學(xué)什么，怎么學(xué)？高考數(shù)學(xué)滿分的數(shù)學(xué)經(jīng)2021-01-1115:58:46導(dǎo)讀：這篇文章從醞釀到最后成文前后經(jīng)歷了兩個(gè)月，修改了好多版。很多人都不清楚小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)該學(xué)什么，怎么學(xué)？這篇文章將帶你深入剖析這一問題，告訴你孩子在小學(xué)階段最應(yīng)該建立起來的核心數(shù)學(xué)能力。文章約7000字，若能沉下心閱讀，必有收獲。之前寫的作業(yè)幫猿輔導(dǎo)清北網(wǎng)校，請(qǐng)停止你們拙劣的表》成為公眾號(hào)xuanbamath目前閱讀量最高的一篇文章。這倒不是因?yàn)槲闹杏懈韶?，而是我認(rèn)為這些廣告宣傳基本是強(qiáng)調(diào)記憶而忽略原理的速算，完全不值得炫酷，這一點(diǎn)得到了很多家長的高度認(rèn)同。那么小學(xué)數(shù)學(xué)，或者更寬泛一些，中小學(xué)數(shù)學(xué)到底應(yīng)該學(xué)什么，怎么學(xué)？請(qǐng)先思考5秒種，再往下讀！你的腦海里有沒有浮現(xiàn)出下列場景？（1）背了好久的九九乘法表；（2）總有出錯(cuò)的豎式計(jì)算；（3）經(jīng)常忘記除以2的三角形和梯形面積公式；（4）惱人的單位換算；（5）總也標(biāo)不對(duì)位置的小數(shù)點(diǎn)；（6）經(jīng)常跳坑的應(yīng)用題。如果有，那恭喜你，屬于絕對(duì)有必要讀本文的對(duì)象，請(qǐng)直接往下讀。如果沒有，請(qǐng)?jiān)诹粞詤^(qū)補(bǔ)充后繼續(xù)往下讀。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)我小時(shí)候?qū)W數(shù)學(xué)，很少有人教套路。不少人問我為什么高考數(shù)學(xué)能得滿分，有沒有什么經(jīng)驗(yàn)。我總結(jié)了以下幾點(diǎn)。(1)重視基本概念學(xué)好數(shù)學(xué)，搞清楚基本概念非常重要。其實(shí)，基本概念的重要性不僅僅是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域都一樣重要。已故的南大計(jì)算機(jī)系泰斗級(jí)人物徐家福先生就非常強(qiáng)調(diào)基本概念。他每次給學(xué)生做講座，都要強(qiáng)“基本概念、基本概念、基本概念！”沒錯(cuò)，每次他都會(huì)重復(fù)三遍。歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎(chǔ)。公理化方法“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導(dǎo)一系列的定理，從而構(gòu)成一個(gè)演繹系統(tǒng)”的方法。歐氏幾何的數(shù)學(xué)大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關(guān)系）、公理、演繹規(guī)則和定理構(gòu)成。其中，基本概念居于重要的位置。很多數(shù)學(xué)問題，其實(shí)最終考察的是對(duì)基本概念的理解程度。但有些人卻在基本概念和定義都還沒有搞清楚的情況下，就去追求公式記憶和快速解題，這就有點(diǎn)本末倒置了。這里列舉幾個(gè)例子。比如，提到圓，很多人都會(huì)立刻想到圓的周長和面積公式，而往往忽略了一個(gè)最重要的性質(zhì)，即圓上的任何一點(diǎn)到圓心的距離都相等。再如，高中時(shí)學(xué)的橢圓和雙曲線，很多人都側(cè)重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但是除了方程之外，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時(shí)候，這些幾何含義往往可以成為解決問題的利器。（2）重視結(jié)論背后的原理我自己學(xué)數(shù)學(xué)，很少刻意去背公式和記結(jié)論。自己不理解的結(jié)論，很難記住，即便一時(shí)記住，也容易忘記或記錯(cuò)。比如小學(xué)低年級(jí)的植樹問題、乘法分配律，我肯定會(huì)通過數(shù)形結(jié)合的方法去加深理解。我記得某個(gè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了讓孩子記住乘法分配律，用了個(gè)警察抓小偷的故事來輔助記憶。但如果用下面數(shù)形結(jié)合的方式來輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？現(xiàn)在很多機(jī)構(gòu)都大力宣傳各種速算技巧，這些其實(shí)完全沒有必要刻意去學(xué)。每一種速算都有它的適用范圍，一不小心就容易搞混、記錯(cuò)數(shù)的位值表示、交換律、結(jié)合律、分配律、因數(shù)分解等，才是各類速算技巧背后的核心原理。類似“用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)，使得兩個(gè)數(shù)乘積最大”的問題，我更不會(huì)去記給自己的思想戴上枷鎖的所謂“U型圖解法”。除了上面的簡單例子，包括等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、以及大部分三角公式，我也不會(huì)刻意去記公式，而是重視這些公式的推導(dǎo)過程這樣習(xí)得的知識(shí)，才能記得牢、用的活。（3）有一股鉆勁這一點(diǎn)可能是不少孩子在學(xué)數(shù)學(xué)過程中所欠缺的。特別是現(xiàn)在很多培訓(xùn)講究套路，而不重視探索的過程，最后純粹變成了比誰見過的套路多。孩子一旦碰到?jīng)]有見過的問題，就容易產(chǎn)生畏難情緒，容易放棄。學(xué)好數(shù)學(xué)必須要有一股挑戰(zhàn)難題的韌勁！如果不經(jīng)常花一兩個(gè)小時(shí)或更長的時(shí)間去“啃”一道難題、消化難題，那數(shù)學(xué)是很難學(xué)好的。即便一段時(shí)間考了高分，那也不值得沾沾自喜，因?yàn)檫@種高分往往是曇花一現(xiàn)，難以持久。《原本》的作者歐幾里得曾說過“幾何無王者之道”。這一點(diǎn)我非贊同。包幾何在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)學(xué)都沒有捷可循。切宣稱可快速提分，往往都飲鴆止渴數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化只有修煉內(nèi)功，能以不變?nèi)f變?。?）形成了一套自己的解題模式不少人追求刷題量，最后導(dǎo)致解數(shù)學(xué)問題純粹變成了肌肉記憶和條件反射。我曾和一些孩子聊過，他們雖然可以條件反射式地快速給出一些問題的答案，但據(jù)我觀察，不少時(shí)候他們并沒有理解問題的本質(zhì)。我自己不推薦海量刷題，但這并不是說不做題。不解題肯定學(xué)不好數(shù)學(xué)，關(guān)鍵是解題的方法。怎么才能做到解一題當(dāng)十題的效果？經(jīng)過這么多年的實(shí)踐，我形成了一套自己的解題模式，自認(rèn)為可以最大化解題的效果。具體地，可以將解題的整個(gè)過程分為應(yīng)試和提升兩個(gè)階段。應(yīng)試階段分為五步：第一，仔細(xì)讀題審題。這一步很重要，千萬不要圖快，最好題目讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。第二，觀察聯(lián)想。觀察、識(shí)別問題的結(jié)構(gòu)和模式，并與自己知識(shí)結(jié)構(gòu)中的已知問題進(jìn)行分析、對(duì)比。第三，探索和求解。在這個(gè)過程中，很多時(shí)候都是通過類比、歸納尋找解題的思路。在小學(xué)階段，這個(gè)過程對(duì)于提升孩子的數(shù)學(xué)能力非常重要，類比和歸納是人類解決未知問題的法寶。當(dāng)然，探索和求解的方法還有許多，我以后會(huì)慢慢寫。第四，永遠(yuǎn)不要忘了問“是否是唯一解？”。這一步也很重要，非?？疾焖季S的完備性。一道題10分，如果有2個(gè)答案，你只答了1個(gè)，那就只得5分。找出其它所有解，或者證明解就是唯一的，在數(shù)學(xué)上非常重要。第五，學(xué)會(huì)驗(yàn)算。驗(yàn)算并不是簡單地將問題重新做一遍，而是一門學(xué)問。關(guān)于驗(yàn)算的內(nèi)容，完全可以寫上一整篇文章。我這里只講幾點(diǎn)：首先，驗(yàn)算方法千萬條，讀對(duì)題目第一條，確保沒有讀錯(cuò)題和會(huì)錯(cuò)意是最重要的；其次，要即時(shí)驗(yàn)算、步步為營；最后，驗(yàn)算方法多種多樣，要選擇最適合所給問題的方法，包括代入法、殊途同歸法、特殊值法、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證法、估算法等。如果是應(yīng)試，那么，到這兒解題就結(jié)束了。但作為平時(shí)的練習(xí)，到這里還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。后面的思考才是對(duì)提升數(shù)學(xué)解題能力作用最大的。就好比健身，當(dāng)你開始出汗的時(shí)候，后面一段時(shí)間的堅(jiān)持才是鍛煉效果最好的。那么還需要做什么呢？第六，需要拷問自己：所采用的方法是否可以擴(kuò)展？比如當(dāng)問題規(guī)模n=10的時(shí)候方法可以用，當(dāng)問題規(guī)模n=1000的時(shí)候方法還能不能用？第七，永遠(yuǎn)要問自己，是否有其它解決方法？努力做到一題多解，并學(xué)會(huì)分析每種方法的好壞和適用條件。一般而言效率和普適性往往是一對(duì)矛盾體。第八，變換角色，把自己當(dāng)成出題人。想一想如果自己來出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。如果能夠做到這些，那我相信數(shù)學(xué)解題能力想不提升都難。學(xué)數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)孩子的哪些能力和習(xí)慣？雖說現(xiàn)在很多學(xué)科都可以培養(yǎng)孩子的思維能力，但無疑，數(shù)學(xué)依然是最好的思維體操。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)孩子的抽象能力、推理能力和解決問題的能力，并鍛煉公理化系統(tǒng)方法。具體地，我覺得可以培養(yǎng)孩子的12大能力和6大優(yōu)秀的品質(zhì)（注：這些詞有些是我自己總結(jié)和發(fā)明的，肯定有不周全的地方）。這些能力和品質(zhì)，對(duì)孩子日后的工作和生活具有非常積極的意義?；A(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的重點(diǎn)是什么？小學(xué)階段，類比推理和歸納推理應(yīng)該是重點(diǎn)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)推理能力。等小學(xué)高年級(jí)和中學(xué)階段，演繹推理將逐漸扮演更重要的角色。類比推理類比推理是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）事物的某些屬性相同或相似，推出它們另一屬性也相同或相似的推理方法，是一種從特殊到特殊的推理方法。聽著很玄乎？其實(shí)說白了就是依葫蘆畫瓢。比如，知道圓的定義是由所有到圓心的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的集合，那么三維中球面的定義應(yīng)該是由到球心的距離相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面。又如，我們知道在十進(jìn)制中，被9整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和能被9整除，這一結(jié)論可以基于數(shù)的位值表示推導(dǎo)得出，例如：297=2×102+9×10+7=2×(99+1)+9×(9+1)+7=2×99+9×9+2+9+7因此，297能被9整除當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字之和2+9+7能被9整除。類似地，我們可以做這樣的類比7進(jìn)制中，被6整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和能被6整除。其結(jié)論也可以類比十進(jìn)制的推理得出。435(7)=4×100(7)+3×10(7)+5=4×(66(7)+1)+3×(6(7)+1)+5=4×66(7)+3×6(7)+4+3+5因此，435(7能被6整除等價(jià)于4+3+5能被6整除。再看一個(gè)幾何的例子：下圖的正方形邊長為1，首先被分成四個(gè)相等的正方形，將左上角涂色，然后再將右下角正方形的一分為四，將左上角的涂色。如果我們一直持續(xù)這一過程，那么最后被涂色的部分占整個(gè)面積的多少？這個(gè)問題最直接的做法是利用小學(xué)生無法理解的無窮級(jí)數(shù)求和。如果不用無窮級(jí)數(shù)求和，可以這么考慮：去掉右下角的1/4塊后，剩下的這部分，涂色部分是剩下部分的1/（如下圖左）。在剩下的1/4塊里，我們?cè)偃サ暨@個(gè)1/4塊的右下角，那么涂色部分依然占整個(gè)面積的1/（如上圖右）。依此類推，每次都摳掉右下角的一小塊，涂色部分的面積在不同的尺度上都是整個(gè)面積的1/，因此整體上涂色部分面積為整個(gè)正方形面積的1/。基于這個(gè)小學(xué)生能理解的思路，我們可以類似地解決下面這個(gè)問題：在下面的黃色正三角形ABC中，分別取三邊的中點(diǎn)D,E,F并分別連接，然后分別取DE,EF,DF三邊的中點(diǎn)H,I,G，并將ΔDGH,ΔEHI,ΔGIF涂成藍(lán)色。接著，對(duì)中間的小三角形GHI重復(fù)上述同樣的操作。如果這一操作一直持續(xù)下去到永遠(yuǎn)，請(qǐng)問，圖中涂成黃色部分的面積占整個(gè)正三角形面積的幾分之幾？但是，由于類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，不一定可靠，不能作為一種嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法，因此還須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證，才能確認(rèn)猜測結(jié)論的正確性。比如，“這篇小說只有1000字,文字很流暢，這篇小說得獎(jiǎng)了。你寫的這篇小說也是1000字，文字也很流暢，因此也一定能得獎(jiǎng)。”這樣的類比無疑會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。人類一直希望能找到適合生命存在的外星系類地行星，這就是一種類比推理。根據(jù)行星的構(gòu)造、溫度、距離恒星的遠(yuǎn)近等方面具有與地球類似的特征，因此推斷其可能也應(yīng)該有生命存在。這樣的推理結(jié)論，并不一定正確。歸納推理歸納推理則是由部分到整體，個(gè)別到一般的推理過程，是由一定程度的關(guān)于個(gè)別事物的觀點(diǎn)過渡到范圍較大的觀點(diǎn)，由特殊具體的事例推導(dǎo)出一般原理、原則的方法。聽著高大上？其實(shí)就是找規(guī)律！應(yīng)該說，歸納推理能力的培養(yǎng)對(duì)于解決未知問題具有重要的作用，是小學(xué)階段應(yīng)該花力氣重點(diǎn)培養(yǎng)的主要能力之一。先看一個(gè)簡單的問題：2，5，8，11，…，這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)是多少?這個(gè)問題，顯然需要在特殊的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，從第二項(xiàng)起，每一個(gè)都是在前一個(gè)基礎(chǔ)上加3，那么第100項(xiàng)應(yīng)該是在第1項(xiàng)的基礎(chǔ)上加99個(gè)3，即為2+9×3。更一般化地，第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式應(yīng)該是2+(n1)×3。再如，我們知道三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和分別為180°，360°，540°，據(jù)此，我們可以歸納出n邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是(n-2)×180°。再看下面這個(gè)問題：有100個(gè)邊長為1的正三角形如下圖所示排成一行，請(qǐng)問圖形的周長是多少？我們不妨從1個(gè)正三角形開始做初步的探索：正三角形個(gè)數(shù)周長13243546據(jù)此，我們可以歸納出n個(gè)正三角形按上面的方式排列的周長為n+。如果我們把正三角形換成正五邊形，100個(gè)邊長為1的正五邊形如下圖所示排在一起，周長為多少？我們同樣也可以從1個(gè)正五邊形開始做如下的探索和歸納：正五邊形個(gè)數(shù)周長1528311414據(jù)此，可以歸納出n個(gè)正五邊形按上述方式排列，周長為3n+2。上面的結(jié)論，當(dāng)然可以進(jìn)行嚴(yán)格證明。從圖中可以看到，除了頭尾兩個(gè)正五邊形貢獻(xiàn)了4條邊，其余n-2個(gè)正五邊形都貢獻(xiàn)了3條邊，因此周長為4×2+3×(n-2)=3n+2。最后再來看一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問題：有1個(gè)水龍頭，6個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個(gè)人的水桶所需時(shí)間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．怎么安排這6個(gè)人打水，才能使他們等候的總時(shí)間（包括自己的打水時(shí)間）最短，最短的時(shí)間是多少？這個(gè)問題，也可以從歸納開始。首先，假設(shè)只有2個(gè)人，所需注水時(shí)間分別為3分鐘和4分鐘，那么按照注水時(shí)間有3、4和4、3兩種排列。顯然，按照前一種排列方式打水，等候的總時(shí)間最短，為3+(3+4)=10分鐘。再假設(shè)有3個(gè)人，所需注水的時(shí)間分別為3分鐘4分鐘5分鐘，那么有：注水時(shí)間的排列順序等候的總時(shí)間3、4、5223、5、4234、3、5234、5、3255、3、4255、4、326可以看到，按照3分鐘4分鐘5分鐘的順序打水，等候的總時(shí)間最短。據(jù)此，可以大致歸納出下面的結(jié)論為了讓所有人等候的總時(shí)間最短，應(yīng)該按照注水時(shí)間從小到大的順序排隊(duì)打水。但這個(gè)歸納到底對(duì)不對(duì)，還需要嚴(yán)格的證明。證明方法不止一種，這里只介紹一種基整體思維遞歸思維的。設(shè)6個(gè)：a,,,,,用,,,,,f表：)f)5的f應(yīng)即0的,,,,e為56的。到e7，6，5，4，3。行。當(dāng)然，上面所提到問題的歸納最后是可以進(jìn)行嚴(yán)格證明的。但是，有些通過特殊歸納出的一般結(jié)論卻并不一定正確，或者，很難被證明或證偽，從而變成了著名的數(shù)學(xué)猜想。例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就屬于這樣的歸納結(jié)論。哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。比如4=2+，6=3+，8=3+，10=5+，這個(gè)結(jié)論對(duì)于特殊值都成立。但通過歸納得出的一般性結(jié)論，經(jīng)歷了這么多年都未能得到證明或證偽。此外，規(guī)律不一定唯一，同樣的觀測值，可以得出不同的可解釋的歸納結(jié)論。比如下面這個(gè)：1，2，4，8，_____按照大部分人的直覺，后面都會(huì)填16。但是，填15也行。為什么？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分別最多能把西瓜切成多少塊，就會(huì)發(fā)現(xiàn)是1，2，4，8，15這個(gè)序列。填14也行。為什么？如果你去觀察一下0個(gè)圓、1個(gè)圓、2個(gè)圓、3個(gè)圓、4個(gè)圓分別最多能把平面分成多少份，就會(huì)發(fā)現(xiàn)是1，2，4，8，14這個(gè)序列。事實(shí)上，只要是有限個(gè)數(shù)，空格處填任何數(shù)都可以通過合適的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。演繹推理而到了初中以后，演繹推理就顯得更重要。演繹推理是指從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過程。演繹推理是一種確定性推理，是前提與結(jié)論之間有必然性聯(lián)系的推理。最著名的演繹推理是下面的三段論：所有的人都會(huì)死。