小學數(shù)學該學什么

小學數(shù)學該學什么，怎么學？高考數(shù)學滿分的數(shù)學經(jīng)2021-01-1115:58:46導讀：這篇文章從醞釀到最后成文前后經(jīng)歷了兩個月，修改了好多版。很多人都不清楚小學數(shù)學應該學什么，怎么學？這篇文章將帶你深入剖析這一問題，告訴你孩子在小學階段最應該建立起來的核心數(shù)學能力。文章約7000字，若能沉下心閱讀，必有收獲。之前寫的作業(yè)幫猿輔導清北網(wǎng)校，請停止你們拙劣的表》成為公眾號xuanbamath目前閱讀量最高的一篇文章。這倒不是因為文中有干貨，而是我認為這些廣告宣傳基本是強調記憶而忽略原理的速算，完全不值得炫酷，這一點得到了很多家長的高度認同。那么小學數(shù)學，或者更寬泛一些，中小學數(shù)學到底應該學什么，怎么學？請先思考5秒種，再往下讀！你的腦海里有沒有浮現(xiàn)出下列場景？（1）背了好久的九九乘法表；（2）總有出錯的豎式計算；（3）經(jīng)常忘記除以2的三角形和梯形面積公式；（4）惱人的單位換算；（5）總也標不對位置的小數(shù)點；（6）經(jīng)常跳坑的應用題。如果有，那恭喜你，屬于絕對有必要讀本文的對象，請直接往下讀。如果沒有，請在留言區(qū)補充后繼續(xù)往下讀。數(shù)學學習的幾點經(jīng)驗我小時候學數(shù)學，很少有人教套路。不少人問我為什么高考數(shù)學能得滿分，有沒有什么經(jīng)驗。我總結了以下幾點。(1)重視基本概念學好數(shù)學，搞清楚基本概念非常重要。其實，基本概念的重要性不僅僅是在數(shù)學領域，在整個科學領域都一樣重要。已故的南大計算機系泰斗級人物徐家福先生就非常強調基本概念。他每次給學生做講座，都要強“基本概念、基本概念、基本概念！”沒錯，每次他都會重復三遍。歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎。公理化方法“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導一系列的定理，從而構成一個演繹系統(tǒng)”的方法。歐氏幾何的數(shù)學大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關系）、公理、演繹規(guī)則和定理構成。其中，基本概念居于重要的位置。很多數(shù)學問題，其實最終考察的是對基本概念的理解程度。但有些人卻在基本概念和定義都還沒有搞清楚的情況下，就去追求公式記憶和快速解題，這就有點本末倒置了。這里列舉幾個例子。比如，提到圓，很多人都會立刻想到圓的周長和面積公式，而往往忽略了一個最重要的性質，即圓上的任何一點到圓心的距離都相等。再如，高中時學的橢圓和雙曲線，很多人都側重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但是除了方程之外，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時候，這些幾何含義往往可以成為解決問題的利器。（2）重視結論背后的原理我自己學數(shù)學，很少刻意去背公式和記結論。自己不理解的結論，很難記住，即便一時記住，也容易忘記或記錯。比如小學低年級的植樹問題、乘法分配律，我肯定會通過數(shù)形結合的方法去加深理解。我記得某個培訓機構為了讓孩子記住乘法分配律，用了個警察抓小偷的故事來輔助記憶。但如果用下面數(shù)形結合的方式來輔助理解乘法分配律，是不是想忘記都難？現(xiàn)在很多機構都大力宣傳各種速算技巧，這些其實完全沒有必要刻意去學。每一種速算都有它的適用范圍，一不小心就容易搞混、記錯數(shù)的位值表示、交換律、結合律、分配律、因數(shù)分解等，才是各類速算技巧背后的核心原理。類似“用1、2、3、4、5這五個數(shù)字組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，使得兩個數(shù)乘積最大”的問題，我更不會去記給自己的思想戴上枷鎖的所謂“U型圖解法”。除了上面的簡單例子，包括等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、以及大部分三角公式，我也不會刻意去記公式，而是重視這些公式的推導過程這樣習得的知識，才能記得牢、用的活。（3）有一股鉆勁這一點可能是不少孩子在學數(shù)學過程中所欠缺的。特別是現(xiàn)在很多培訓講究套路，而不重視探索的過程，最后純粹變成了比誰見過的套路多。孩子一旦碰到?jīng)]有見過的問題，就容易產(chǎn)生畏難情緒，容易放棄。學好數(shù)學必須要有一股挑戰(zhàn)難題的韌勁！如果不經(jīng)?；ㄒ粌蓚€小時或更長的時間去“啃”一道難題、消化難題，那數(shù)學是很難學好的。即便一段時間考了高分，那也不值得沾沾自喜，因為這種高分往往是曇花一現(xiàn)，難以持久?！对尽返淖髡邭W幾里得曾說過“幾何無王者之道”。這一點我非贊同。包幾何在內(nèi)的所有數(shù)學學都沒有捷可循。切宣稱可快速提分，往往都飲鴆止渴數(shù)學問題可以千變?nèi)f化只有修煉內(nèi)功，能以不變?nèi)f變?。?）形成了一套自己的解題模式不少人追求刷題量，最后導致解數(shù)學問題純粹變成了肌肉記憶和條件反射。我曾和一些孩子聊過，他們雖然可以條件反射式地快速給出一些問題的答案，但據(jù)我觀察，不少時候他們并沒有理解問題的本質。我自己不推薦海量刷題，但這并不是說不做題。不解題肯定學不好數(shù)學，關鍵是解題的方法。怎么才能做到解一題當十題的效果？經(jīng)過這么多年的實踐，我形成了一套自己的解題模式，自認為可以最大化解題的效果。具體地，可以將解題的整個過程分為應試和提升兩個階段。應試階段分為五步：第一，仔細讀題審題。這一步很重要，千萬不要圖快，最好題目讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。第二，觀察聯(lián)想。觀察、識別問題的結構和模式，并與自己知識結構中的已知問題進行分析、對比。第三，探索和求解。在這個過程中，很多時候都是通過類比、歸納尋找解題的思路。在小學階段，這個過程對于提升孩子的數(shù)學能力非常重要，類比和歸納是人類解決未知問題的法寶。當然，探索和求解的方法還有許多，我以后會慢慢寫。第四，永遠不要忘了問“是否是唯一解？”。這一步也很重要，非?？疾焖季S的完備性。一道題10分，如果有2個答案，你只答了1個，那就只得5分。找出其它所有解，或者證明解就是唯一的，在數(shù)學上非常重要。第五，學會驗算。驗算并不是簡單地將問題重新做一遍，而是一門學問。關于驗算的內(nèi)容，完全可以寫上一整篇文章。我這里只講幾點：首先，驗算方法千萬條，讀對題目第一條，確保沒有讀錯題和會錯意是最重要的；其次，要即時驗算、步步為營；最后，驗算方法多種多樣，要選擇最適合所給問題的方法，包括代入法、殊途同歸法、特殊值法、實驗驗證法、估算法等。如果是應試，那么，到這兒解題就結束了。但作為平時的練習，到這里還遠遠不夠。后面的思考才是對提升數(shù)學解題能力作用最大的。就好比健身，當你開始出汗的時候，后面一段時間的堅持才是鍛煉效果最好的。那么還需要做什么呢？第六，需要拷問自己：所采用的方法是否可以擴展？比如當問題規(guī)模n=10的時候方法可以用，當問題規(guī)模n=1000的時候方法還能不能用？第七，永遠要問自己，是否有其它解決方法？努力做到一題多解，并學會分析每種方法的好壞和適用條件。一般而言效率和普適性往往是一對矛盾體。第八，變換角色，把自己當成出題人。想一想如果自己來出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。如果能夠做到這些，那我相信數(shù)學解題能力想不提升都難。學數(shù)學可以培養(yǎng)孩子的哪些能力和習慣？雖說現(xiàn)在很多學科都可以培養(yǎng)孩子的思維能力，但無疑，數(shù)學依然是最好的思維體操。通過數(shù)學學習，可以培養(yǎng)孩子的抽象能力、推理能力和解決問題的能力，并鍛煉公理化系統(tǒng)方法。具體地，我覺得可以培養(yǎng)孩子的12大能力和6大優(yōu)秀的品質（注：這些詞有些是我自己總結和發(fā)明的，肯定有不周全的地方）。這些能力和品質，對孩子日后的工作和生活具有非常積極的意義。基礎教育階段數(shù)學能力培養(yǎng)的重點是什么？小學階段，類比推理和歸納推理應該是重點培養(yǎng)的數(shù)學推理能力。等小學高年級和中學階段，演繹推理將逐漸扮演更重要的角色。類比推理類比推理是根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些屬性相同或相似，推出它們另一屬性也相同或相似的推理方法，是一種從特殊到特殊的推理方法。聽著很玄乎？其實說白了就是依葫蘆畫瓢。比如，知道圓的定義是由所有到圓心的距離相等的點構成的集合，那么三維中球面的定義應該是由到球心的距離相等的點構成的曲面。又如，我們知道在十進制中，被9整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和能被9整除，這一結論可以基于數(shù)的位值表示推導得出，例如：297=2×102+9×10+7=2×(99+1)+9×(9+1)+7=2×99+9×9+2+9+7因此，297能被9整除當且僅當其各位數(shù)字之和2+9+7能被9整除。類似地，我們可以做這樣的類比7進制中，被6整除的數(shù)的特征是各位數(shù)字之和能被6整除。其結論也可以類比十進制的推理得出。435(7)=4×100(7)+3×10(7)+5=4×(66(7)+1)+3×(6(7)+1)+5=4×66(7)+3×6(7)+4+3+5因此，435(7能被6整除等價于4+3+5能被6整除。再看一個幾何的例子：下圖的正方形邊長為1，首先被分成四個相等的正方形，將左上角涂色，然后再將右下角正方形的一分為四，將左上角的涂色。如果我們一直持續(xù)這一過程，那么最后被涂色的部分占整個面積的多少？這個問題最直接的做法是利用小學生無法理解的無窮級數(shù)求和。如果不用無窮級數(shù)求和，可以這么考慮：去掉右下角的1/4塊后，剩下的這部分，涂色部分是剩下部分的1/（如下圖左）。在剩下的1/4塊里，我們再去掉這個1/4塊的右下角，那么涂色部分依然占整個面積的1/（如上圖右）。依此類推，每次都摳掉右下角的一小塊，涂色部分的面積在不同的尺度上都是整個面積的1/，因此整體上涂色部分面積為整個正方形面積的1/?；谶@個小學生能理解的思路，我們可以類似地解決下面這個問題：在下面的黃色正三角形ABC中，分別取三邊的中點D,E,F并分別連接，然后分別取DE,EF,DF三邊的中點H,I,G，并將ΔDGH,ΔEHI,ΔGIF涂成藍色。接著，對中間的小三角形GHI重復上述同樣的操作。如果這一操作一直持續(xù)下去到永遠，請問，圖中涂成黃色部分的面積占整個正三角形面積的幾分之幾？但是，由于類比推理的邏輯根據(jù)是不充分的，帶有或然性，具有猜測性，不一定可靠，不能作為一種嚴格的數(shù)學方法，因此還須經(jīng)過嚴格的邏輯論證，才能確認猜測結論的正確性。比如，“這篇小說只有1000字,文字很流暢，這篇小說得獎了。你寫的這篇小說也是1000字，文字也很流暢，因此也一定能得獎?！边@樣的類比無疑會得出錯誤的結論。人類一直希望能找到適合生命存在的外星系類地行星，這就是一種類比推理。根據(jù)行星的構造、溫度、距離恒星的遠近等方面具有與地球類似的特征，因此推斷其可能也應該有生命存在。這樣的推理結論，并不一定正確。歸納推理歸納推理則是由部分到整體，個別到一般的推理過程，是由一定程度的關于個別事物的觀點過渡到范圍較大的觀點，由特殊具體的事例推導出一般原理、原則的方法。聽著高大上？其實就是找規(guī)律！應該說，歸納推理能力的培養(yǎng)對于解決未知問題具有重要的作用，是小學階段應該花力氣重點培養(yǎng)的主要能力之一。先看一個簡單的問題：2，5，8，11，…，這個數(shù)列的第100項是多少?這個問題，顯然需要在特殊的基礎上進行歸納，從第二項起，每一個都是在前一個基礎上加3，那么第100項應該是在第1項的基礎上加99個3，即為2+9×3。更一般化地，第n項的通項公式應該是2+(n1)×3。再如，我們知道三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和分別為180°，360°，540°，據(jù)此，我們可以歸納出n邊形的內(nèi)角和應該是(n-2)×180°。再看下面這個問題：有100個邊長為1的正三角形如下圖所示排成一行，請問圖形的周長是多少？我們不妨從1個正三角形開始做初步的探索：正三角形個數(shù)周長13243546據(jù)此，我們可以歸納出n個正三角形按上面的方式排列的周長為n+。如果我們把正三角形換成正五邊形，100個邊長為1的正五邊形如下圖所示排在一起，周長為多少？我們同樣也可以從1個正五邊形開始做如下的探索和歸納：正五邊形個數(shù)周長1528311414據(jù)此，可以歸納出n個正五邊形按上述方式排列，周長為3n+2。上面的結論，當然可以進行嚴格證明。從圖中可以看到，除了頭尾兩個正五邊形貢獻了4條邊，其余n-2個正五邊形都貢獻了3條邊，因此周長為4×2+3×(n-2)=3n+2。最后再來看一個稍微復雜一點的問題：有1個水龍頭，6個人各拿一只水桶到水龍頭接水，水龍頭注滿6個人的水桶所需時間分別是5分鐘、4分鐘、3分鐘、10分鐘、7分鐘、6分鐘．怎么安排這6個人打水，才能使他們等候的總時間（包括自己的打水時間）最短，最短的時間是多少？這個問題，也可以從歸納開始。首先，假設只有2個人，所需注水時間分別為3分鐘和4分鐘，那么按照注水時間有3、4和4、3兩種排列。顯然，按照前一種排列方式打水，等候的總時間最短，為3+(3+4)=10分鐘。再假設有3個人，所需注水的時間分別為3分鐘4分鐘5分鐘，那么有：注水時間的排列順序等候的總時間3、4、5223、5、4234、3、5234、5、3255、3、4255、4、326可以看到，按照3分鐘4分鐘5分鐘的順序打水，等候的總時間最短。據(jù)此，可以大致歸納出下面的結論為了讓所有人等候的總時間最短，應該按照注水時間從小到大的順序排隊打水。但這個歸納到底對不對，還需要嚴格的證明。證明方法不止一種，這里只介紹一種基整體思維遞歸思維的。設6個：a,,,,,用,,,,,f表：)f)5的f應即0的,,,,e為56的。到e7，6，5，4，3。行。當然，上面所提到問題的歸納最后是可以進行嚴格證明的。但是，有些通過特殊歸納出的一般結論卻并不一定正確，或者，很難被證明或證偽，從而變成了著名的數(shù)學猜想。例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就屬于這樣的歸納結論。哥德巴赫猜想：任何大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個質數(shù)之和。比如4=2+，6=3+，8=3+，10=5+，這個結論對于特殊值都成立。但通過歸納得出的一般性結論，經(jīng)歷了這么多年都未能得到證明或證偽。此外，規(guī)律不一定唯一，同樣的觀測值，可以得出不同的可解釋的歸納結論。比如下面這個：1，2，4，8，_____按照大部分人的直覺，后面都會填16。但是，填15也行。為什么？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分別最多能把西瓜切成多少塊，就會發(fā)現(xiàn)是1，2，4，8，15這個序列。填14也行。為什么？如果你去觀察一下0個圓、1個圓、2個圓、3個圓、4個圓分別最多能把平面分成多少份，就會發(fā)現(xiàn)是1，2，4，8，14這個序列。事實上，只要是有限個數(shù)，空格處填任何數(shù)都可以通過合適的多項式進行擬合。演繹推理而到了初中以后，演繹推理就顯得更重要。演繹推理是指從一般性的前提出發(fā)，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個別結論的過程。演繹推理是一種確定性推理，是前提與結論之間有必然性聯(lián)系的推理。最著名的演繹推理是下面的三段論：所有的人都會死。