第7章 第1節(jié)　簡單幾何體、直觀圖與三視圖 導(dǎo)學(xué)案含教學(xué)設(shè)計案例教案說課稿教學(xué)反思北師大版（理）

第七章立體幾何[深研高考·備考導(dǎo)航]為教師備課、授課提供豐富教學(xué)資源[五年考情]考點(diǎn)2016年2015年2014年2013年2012年三視圖、空間幾何體的表面積和體積全國卷Ⅰ·T6全國卷Ⅱ·T6全國卷Ⅲ·T9全國卷Ⅲ·T10全國卷Ⅰ·T6全國卷Ⅰ·T11全國卷Ⅱ·T6全國卷Ⅱ·T9全國卷Ⅰ·T12全國卷Ⅱ·T6全國卷Ⅰ·T6全國卷Ⅰ·T8全國卷Ⅱ·T7全國卷·T7全國卷·T11點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及空間向量的應(yīng)用全國卷Ⅰ·T11全國卷Ⅰ·T18全國卷Ⅱ·T14全國卷Ⅱ·T19全國卷Ⅲ·T19全國卷Ⅰ·T18全國卷Ⅱ·T19全國卷Ⅰ·T19全國卷Ⅱ·T11全國卷Ⅱ·T18全國卷Ⅰ·T18全國卷Ⅱ·T4全國卷Ⅱ·T18全國卷·T19[重點(diǎn)關(guān)注]綜合近5年全國卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律：1．從考查題型、題量兩個方面來看：一般是1～2個客觀題，一個解答題；從考查分值看，該部分大約占17～22分．2．從考查知識點(diǎn)看：主要考查簡單幾何體的三視圖及其表面積、體積、空間中線線、線面、面面的平行和垂直的關(guān)系以及空間向量在解決空間垂直、平行的證明，空間角的計算方面的應(yīng)用，突出對空間想象能力、邏輯推理能力和正確迅速運(yùn)算的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查．3．從命題思路上看：(1)空間幾何體的三視圖及其表面積、體積的計算，主要以小題的形式考查．(2)空間點(diǎn)、線、面之間位置關(guān)系的判斷與證明，特別是線線、線面、面面的平行與垂直，主要以解答題的形式考查．(3)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系利用空間向量對空間線線角、線面角、二面角求解，主要以解答題的形式考查．(4)根據(jù)近5年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)兩大熱點(diǎn)：①空間幾何體的三視圖及其表面積、體積的計算，空間位置關(guān)系有關(guān)命題的辨別．②空間平行、垂直關(guān)系的證明及利用空間向量計算空間角．[導(dǎo)學(xué)心語]根據(jù)近5年全國卷高考命題特點(diǎn)和規(guī)律，復(fù)習(xí)本章時，要注意以下幾個方面：1．深刻理解以下概念、性質(zhì)、定理及公式．簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；三視圖及其表面積、體積公式；三個公理及線面、面面平行和垂直的八個判定定理與性質(zhì)定理；空間三種角的概念及計算公式．2．抓住空間位置關(guān)系中平行、垂直這一核心內(nèi)容進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，不僅要注意平行與平行、垂直與垂直間的轉(zhuǎn)化，而且要重視平行與垂直間的化歸轉(zhuǎn)化．解題時要重視嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性訓(xùn)練，避免因解題步驟混亂、條件的缺失等導(dǎo)致失分．3．重視向量的工具性作用，空間向量在解空間角中的應(yīng)用是歷年高考中的熱點(diǎn)．抓住空間位置關(guān)系的特征，恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算求解空間角，降低思維難度．4．把握命題新動向，空間平行與垂直的交匯，存在性折疊問題，空間角的探索與開放值得重視．第一節(jié)簡單幾何體、直觀圖與三視圖[考綱傳真]1.認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不做嚴(yán)格要求)．1．簡單幾何體(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到．②圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到．③圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．④球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．(2)簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征①棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形．側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共點(diǎn)的三角形．底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐叫作正棱錐．③棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．2．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應(yīng)x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平平面；②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸和y′軸的線段；③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的eq\f(1,2).3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．(2)三視圖的畫法①基本要求：長對正，高平齊，寬相等．②畫法規(guī)則：主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬；看不到的線畫虛線．1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝90°.()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)如圖7-1-1，長方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()圖7-1-1A．棱臺 B．四棱柱C．五棱柱 D．簡單組合體C[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱．]3．(2014·全國卷Ⅰ)如圖7-1-2，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()圖7-1-2A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱B[由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形，兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為如圖所示的三棱柱．]4．(2016·天津高考)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的主視圖與俯視圖如圖7-1-3所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()圖7-1-3B[由幾何體的主視圖和俯視圖可知該幾何體為圖①，故其側(cè)(左)視圖為圖②.]5．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于________．2π[由題意得圓柱的底面半徑r＝1，母線l＝1，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrl＝2π.]簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)下列說法正確的是()A．有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B．四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形C．有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn)(2)以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3(1)B(2)B[(1)如圖①所示，可知A錯．如圖②，當(dāng)PD⊥底面ABCD，且四邊形ABCD為矩形時，則四個側(cè)面均為直角三角形，B正確．①②根據(jù)棱臺的定義，可知C，D不正確．(2)由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確．對于命題④，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，④不正確．][規(guī)律方法]1.關(guān)于簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種簡單幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可．2．圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系．3．因為棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略．[變式訓(xùn)練1]下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線D[如圖①知，A不正確．如圖②，兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確．①②C錯誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．由母線的概念知，選項D正確．]簡單幾何體的三視圖eq\o(?)角度1由簡單幾何體的直觀圖判斷三視圖一幾何體的直觀圖如圖7-1-4，下列給出的四個俯視圖中正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：57962325】圖7-1-4ABCDB[該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項B適合．]eq\o(?)角度2已知三視圖，判斷幾何體(1)某四棱錐的三視圖如圖7-1-5所示，該四棱錐最長棱棱長為()圖7-1-5A．1B．eq\r(2)C.eq\r(3)D．2(2)(2016·全國卷Ⅱ)如圖7-1-6是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖7-1-6A．20πB．24πC．28πD．32π(1)C(2)C[(1)由三視圖知，該四棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA⊥平面ABCD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC為最長棱．連接AC，則PC＝eq\r(AC2＋PA2)＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2π×2×4＝16π，底面積為π·22＝4π；圓錐的底面直徑為4，高為2eq\r(3)，所以圓錐的母線長為eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為π×2×4＝8π.所以該幾何體的表面積為S＝16π＋4π＋8π＝28π.][規(guī)律方法]1.由實物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn)．2．根據(jù)三視圖還原幾何體．(1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉．(2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖．(3)根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．易錯警示：對于簡單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實線和虛線的不同.簡單幾何體的直觀圖(2017·桂林模擬)已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2D[如圖①②所示的實際圖形和直觀圖，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.][規(guī)律方法]1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握．對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量．2．按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．[變式訓(xùn)練2](2017·邯鄲三次聯(lián)考)有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖7-1-7所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．圖7-1-72＋eq\f(\r(2),2)[如圖①，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.①②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).又四邊形AECD為矩形，AD＝EC＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此還原為原圖形如圖②所示，是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，A′B′＝2，∴這塊菜地的面積S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).][思想與方法]1．畫三視