帶電粒子在磁場中運(yùn)動的極值問題

帶電粒子在磁場中運(yùn)動的極值問題第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日思維導(dǎo)圖第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日解析

當(dāng)入射速率v0很小時,電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從CD一側(cè)射出,速率越大,軌道半徑越大,當(dāng)軌道的邊界與EF相切時,電子恰好不能從EF射出,如圖所示.電子恰好射出時,由幾何知識可得:r+rcosθ=d ①又r= ②由①②得v0= ③故電子要射出磁場時速率至少應(yīng)為答案第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日規(guī)律總結(jié)1.解決此類問題的關(guān)鍵是:找準(zhǔn)臨界點(diǎn).2.找臨界點(diǎn)的方法是:以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口,借助半徑R和速度v（或磁場B）之間的約束關(guān)系進(jìn)行動態(tài)運(yùn)動軌跡分析,確定軌跡圓和邊界的關(guān)系,找出臨界點(diǎn),然后利用數(shù)學(xué)方法求解極值,常用結(jié)論如下:（1）剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相切.（2）當(dāng)速度v一定時,弧長（或弦長）越長,圓周角越大,則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的時間越長.（3）當(dāng)速率v變化時,圓周角大的,運(yùn)動時間越長.第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日題型1帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動【例1】在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi),存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,如圖 4所示.一個不計重力的帶電 粒子從磁場邊界與x軸的交 點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入 磁場,它恰好從磁場邊界與y

軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出.題型探究圖4第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日（1）請判斷該粒子帶何種電荷,并求出其比荷.（2）若磁場的方向和所在空間范圍不變,而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽′,該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場,但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角,求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′多大？此次粒子在磁場中運(yùn)動所用時間t是多少？思路點(diǎn)撥如何確定帶電粒子的圓心和運(yùn)動軌跡?磁場圓的半徑與軌跡圓的半徑有怎樣的定量關(guān)系?第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日解析（1）由粒子的運(yùn)行軌跡,利用左手定則可知,該粒子帶負(fù)電荷.粒子由A點(diǎn)射入,由C點(diǎn)飛出,其速度方向改變了90°,則粒子軌跡半徑R=r又qvB=則粒子的比荷（2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場速度方向改變了60°角,故AD弧所對圓心角為60°,如右圖所示.粒子做圓周運(yùn)動的半徑第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日R′=rcot30°=r又R′=所以B′=B粒子在磁場中運(yùn)行時間t=答案

（1）負(fù)電荷（2）第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日二．帶電粒子在平行直線邊界磁場中的運(yùn)動①速度較小時，作半圓運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出SBPSSQPQQ①速度較小時，作圓周運(yùn)動通過射入點(diǎn)；②速度增加為某臨界值時，粒子作圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出圓心在過入射點(diǎn)跟跟速度方向垂直的直線上圓心在過入射點(diǎn)跟邊界垂直的直線上圓心在磁場原邊界上量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)P①速度較小時，作圓弧運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運(yùn)動其軌跡與另一邊界相切；③速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動后從另一邊界飛出第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日三．帶電粒子在矩形邊界磁場中的運(yùn)動oBdabcθB圓心在磁場原邊界上圓心在過入射點(diǎn)跟速度方向垂直的直線上①速度較小時粒子作半圓運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)時從側(cè)面邊界飛出；③速度較大時粒子作部分圓周運(yùn)動從對面邊界飛出。①速度較小時粒子做部分圓周運(yùn)動后從原邊界飛出；②速度在某一范圍內(nèi)從上側(cè)面邊界飛；③速度較大時粒子做部分圓周運(yùn)動從右側(cè)面邊界飛出；④速度更大時粒子做部分圓周運(yùn)動從下側(cè)面邊界飛出。量變積累到一定程度發(fā)生質(zhì)變，出現(xiàn)臨界狀態(tài)（軌跡與邊界相切）第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日例4.如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，在ad邊中點(diǎn)O方向垂直磁場射入一速度方向跟ad邊夾角θ=300、大小為v0的帶電粒子，已知粒子質(zhì)量為m、電量為q，ab邊足夠長，ad邊長為L，粒子的重力不計。求：⑴.粒子能從ab邊上射出磁場的v0大小范圍。⑵.如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間。V0Oabcd第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日V0Oabcdθ300600●●第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日例2．如圖,在一水平放置的平板MN上方有勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場方向垂直于紙面向里,許多質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,不計重力,不計粒子間的相互影響.下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中R=mv/qB.哪個圖是正確的?MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日解：帶電量為+q的粒子,以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,由R=mv/qB,各個粒子在磁場中運(yùn)動的半徑均相同,在磁場中運(yùn)動的軌跡圓圓心是在以O(shè)為圓心、以R=mv/qB為半徑的1/2圓弧上,如圖虛線示:各粒子的運(yùn)動軌跡如圖實線示:帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域陰影部分如圖斜線示2RR2RMNO第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日變式練習(xí)2電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限,射入時速度方向不同,速度大小均為v0,如圖8所示.現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上,熒光屏與y軸平行,求:（1）熒光屏上光斑的長度.（2）所加磁場范圍的最小面積.圖8第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日解析

（1）如右圖所示,求光斑的長度,關(guān)鍵是找到兩個邊界點(diǎn)沿弧OB運(yùn)動到P,初速度方向沿y軸正方向的電子,初速度方向沿x軸正方向的電子,沿弧OC運(yùn)動到Q.設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為R,由牛頓第二定律得:qv0B=m,即R=從圖中可以看出PQ=R=第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日（2）沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上,所加最小面積的磁場的邊界是以O(shè)′為圓心、坐標(biāo)為（0,R）、半徑為R的圓的一部分,如圖中實線包圍面積.所以磁場范圍的最小面積S=πR2+R2-πR2=（+1）（）2答案

（1） （2）（+1）（）2第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日5.如圖14所示,邊長為L的等邊三角形ABC為兩個有界勻強(qiáng)磁場的理想邊界,三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,三角形外的磁場(足夠大)方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B.把粒子源放在頂點(diǎn)A處,它將沿∠A的角平分線發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為v= 的負(fù)電粒子(粒子重力不計).求:圖14第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日(1)從A射出的粒子第一次到達(dá)C點(diǎn)所用時間為多少?(2)帶電粒子在題設(shè)的兩個有界磁場中運(yùn)動的周期.解析

(1)帶電粒子垂直進(jìn)入磁場,做勻速圓周運(yùn)動qvB=T=將已知條件代入有r=L從A點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的運(yùn)動軌跡如圖所示,可得第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日tAC=TtAC=(2)帶電粒子在一個運(yùn)動的周期運(yùn)動軌跡如第(1)問圖所示.粒子通過圓弧從C點(diǎn)運(yùn)動至B點(diǎn)的時間為tCB=帶電粒子運(yùn)動的周期為TABC=3(tAC+tCB)解得TABC=答案

(1) (2)第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日6.如圖15所示,在直角坐標(biāo)系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中 的直角三角形區(qū)域內(nèi),分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B=5.0× 10-2T的勻強(qiáng)磁場,方向分別垂直紙面向外和向里.質(zhì) 量為m=6.64×10-27kg、電荷量為q=+3.2×10-19C的 粒子(不計粒子重力),由靜止開始經(jīng)加速電壓為

U=1205V的電場(圖中未畫出)加速后,從坐標(biāo)點(diǎn)M

(-4,)處平行于x軸向右運(yùn)動,并先后通過勻強(qiáng)磁場 區(qū)域.圖15第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日 (1)請你求出粒子在磁場中的運(yùn)動半徑. (2)請你在圖中畫出粒子從直線x=-4到直線x=4之間的運(yùn)動軌跡,并在圖中標(biāo)明軌跡與直線x=4交點(diǎn)的坐標(biāo). (3)求出粒子在兩個磁場區(qū)域偏轉(zhuǎn)所用的總時間.

解答(1)粒子在電場中被加速,由動能定理得

qU=mv2 粒子在磁場中偏轉(zhuǎn),由牛頓第二定律得 qvB=聯(lián)立解得r=第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日= m=×10-1m(2)如下圖所示第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日(3)帶電粒子在磁場中的運(yùn)動周期T=粒子在兩個磁場中偏轉(zhuǎn)的角度均為,在磁場中的運(yùn)動總時間t===6.5×10-7s第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日反思總結(jié)返回第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日小結(jié)1.帶電粒子進(jìn)入有界磁場,運(yùn)動軌跡為一段弧線.2.當(dāng)同源粒子垂直進(jìn)入磁場的運(yùn)動軌跡3.注意圓周運(yùn)動中的有關(guān)對稱規(guī)律:(2)粒子進(jìn)入單邊磁場時,入射速度與邊界夾角等于出射速度與邊界的夾角;(1)在圓形磁場區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出.第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日O3rrO4rrO2rrO1rrOS一朵梅花五．帶電粒子在磁場中運(yùn)動軌跡賞析第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日O1O2O3Ld一把球拍第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日aaOxyvvP甲乙tB-B0B00T2T一條波浪第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日aaOxPvO1第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日aaOxPvO1O3O2第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日oABv0o1rrPQ一顆明星第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日aaBv0一幅窗簾第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日v0第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日v0第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日一勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布在以O(shè)為中心的一個圓形區(qū)域內(nèi)。一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始運(yùn)動，初速度為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y上的P點(diǎn)，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示。不計重力影響。求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和xy平面上磁場區(qū)域的半徑R。30°LxyOPv第四十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日由幾何關(guān)系知r=L/3解得30°LxyOPvQO’A又由幾何關(guān)系知磁場區(qū)域的半徑為第四十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期日12月23日作業(yè)1.如圖14所示,邊長為L的等邊三角形ABC為兩個有界勻強(qiáng)磁場的理想邊界,三角形內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外