連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密演示文稿

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度演示文稿當(dāng)前第1頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度當(dāng)前第2頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)一連續(xù)型隨機(jī)變量1定義當(dāng)前第3頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)由定義知道：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)2概率密度的性質(zhì)1非負(fù)性2規(guī)范性這兩個(gè)性質(zhì)是判斷一個(gè)函數(shù)是否為一個(gè)連續(xù)型r.v.X的概率密度的充要條件

f(x)xo分布曲線面積為1利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率當(dāng)前第4頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：=f(x)

故

X的密度f(x)在x這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.當(dāng)前第5頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)(1)連續(xù)型r.v.取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)檎?qǐng)注意:當(dāng)時(shí)得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出當(dāng)前第6頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)

對(duì)連續(xù)型r.v.X,有當(dāng)前第7頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)說明:由上述性質(zhì)可知，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．(此公式非常重要)當(dāng)前第8頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xo當(dāng)前第9頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)若不計(jì)高階無窮小，有：它表示隨機(jī)變量X取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.當(dāng)前第10頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)例題選講例題1設(shè)隨機(jī)變量X具有隨機(jī)密度函數(shù)試求(1)c(2)X的分布函數(shù)；當(dāng)前第11頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第12頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第13頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第14頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第15頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第16頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若r.vX的概率密度為：記作當(dāng)前第17頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)與c無關(guān)Xabll0Xx當(dāng)前第18頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；當(dāng)前第19頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)

例2

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.解依題意，

X～U(0,30)

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位當(dāng)前第20頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，當(dāng)前第21頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第22頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)返回目錄當(dāng)前第23頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.若r.vX具有概率密度常簡(jiǎn)記為X~E().2指數(shù)分布當(dāng)前第24頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)若X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實(shí)上,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)前第25頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)注意1）無記憶性；當(dāng)前第26頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)

2）電子元件的使用壽命和各種隨機(jī)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間在一般情形認(rèn)為其服從指數(shù)分布；3）指數(shù)分布在可靠性理論和排隊(duì)論的應(yīng)用比較廣泛。當(dāng)前第27頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)3.正態(tài)分布若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.當(dāng)前第28頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)曲線關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)前第29頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)前第30頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.當(dāng)前第31頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對(duì)稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”.稱為位置參數(shù)當(dāng)前第32頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)當(dāng)前第33頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)當(dāng)前第34頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：當(dāng)前第35頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)的性質(zhì):事實(shí)上,當(dāng)前第36頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)當(dāng)前第37頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.定理1當(dāng)前第38頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)證Z的分布函數(shù)為則有當(dāng)前第39頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)于是當(dāng)前第40頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.正態(tài)分布表當(dāng)x<0時(shí),表中給的是x>0時(shí),Φ(x)的值.當(dāng)前第41頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)若~N(0,1)

若X～N(0,1),當(dāng)前第42頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時(shí)，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.997453準(zhǔn)則當(dāng)前第43頁\共有48頁\編于星期五\15點(diǎn)將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上