命題及其關(guān)系

命題及其關(guān)系第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日命題的概念及結(jié)構(gòu)．(重點(diǎn))命題真假的判斷．(難點(diǎn))

【核心掃描】1．2．第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日命題的概念用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的_______叫做命題，判斷為真的語句叫做_______，判斷為假的語句叫做_______．想一想：“x<3”是命題嗎？提示這不是一個(gè)命題．當(dāng)x＝0時(shí)它成立；當(dāng)x＝4時(shí)它不成立．隨x的變化而變化，有時(shí)成立，有時(shí)不成立，無法判斷其真假，因而它不是命題．自學(xué)導(dǎo)引1．陳述句真命題假命題第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日命題的形式在數(shù)學(xué)中，__________是常見的命題形式，命題中的__叫做命題的條件，__叫做命題的結(jié)論．試一試：嘗試找出命題“一個(gè)正整數(shù)不是合數(shù)就是素?cái)?shù)”的條件與結(jié)論．提示該命題可變?yōu)椤叭粢粋€(gè)數(shù)是正整數(shù)，則它不是合數(shù)就是素?cái)?shù)”，所以條件p為“一個(gè)數(shù)是正整數(shù)”，結(jié)論q為“它不是合數(shù)就是素?cái)?shù)”．2．pq“若p，則q”第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日命題的判定并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題，命題首先是“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題，如“對數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)嗎？”、“勿踏草地”、“正弦函數(shù)的圖象真優(yōu)美??！”等都不是命題；其次是“能判斷真假”，不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x≥2”、“小高的個(gè)子很高”等都不能判斷真假，故都不是命題．因此，判斷一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①是否為陳述句；②能否判斷真假．名師點(diǎn)睛1．第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日命題的構(gòu)成命題是由條件和結(jié)論兩部分組成，它的結(jié)構(gòu)形式為“若p，則q”．其中p是命題的條件，q是命題的結(jié)論，有些命題中沒有明確的條件和結(jié)論，不是“若p，則q”的形式，為了找到命題的條件和結(jié)論，我們可把命題改寫成“若p，則q”的形式．

2．第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日命題的真假(1)命題分為真命題和假命題，一個(gè)命題要么是真命題，要么是假命題，不可能既是真命題又是假命題．(2)“若p，則q”形式的命題的真假判定方法：若由已知條件p經(jīng)過正確的邏輯推理，能夠推出結(jié)論q成立，則可確定命題“若p，則q”是真命題，否則就是假命題．另外，判定一個(gè)命題是假命題，舉一個(gè)反例即可．如“－x2是負(fù)數(shù)”是假命題，因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，－x2＝0不是負(fù)數(shù)．(3)數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式等都是真命題．3．第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日題型一命題的判斷

下列語句：①垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？②一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定是非負(fù)數(shù)；③x，y都是無理數(shù)，則x＋y是無理數(shù)；④請完成第九題；⑤若直線l不在平面α內(nèi)，則直線l與平面α平行．其中是命題的是________．【例1】第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日[思路探索]解答本題應(yīng)先看是否是陳述句，再嚴(yán)格按命題的定義判斷．解析

①不是命題，因?yàn)樗皇顷愂鼍洌虎谑敲}，是假命題，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根；④不是命題，因?yàn)樗皇顷愂鼍?；⑤是命題，是假命題，直線l與平面α可以相交．答案

②③⑤規(guī)律方法判斷一個(gè)語句是否是命題的步驟：第一步：語句格式是否為陳述句，只有陳述句才有可能是命題，而疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題．第二步：該語句能否判斷真假，語句敘述的內(nèi)容是否與客觀實(shí)際相符，是否符合已學(xué)過的公理、定理，內(nèi)容應(yīng)是明確的，不能模棱兩可．第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日

下列語句是命題的是

(

)．A．x－1＝0 B．2＋3＝8C．你會(huì)說英語嗎 D．這是一棵大樹解析

A中x不確定，x－1＝0的真假無法判斷；B中2＋3＝8是命題，且是假命題；C不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法判斷真假．答案

B【變式1】第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日判斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)對任意的x∈N，都有x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根；(4)存在一個(gè)三角形沒有外接圓．[思路探索]根據(jù)命題真假的定義判斷．解

(1)假命題．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題．反例：當(dāng)x＝0時(shí)，x3>x2不成立．(3)真命題：∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根．(4)假命題．因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，即任何三角形都有外接圓．題型二命題真假的判斷【例2】第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日規(guī)律方法要判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日

下列命題：①若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)；②四條邊相等的四邊形是正方形；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題的序號(hào)是________．解析

①④是真命題，②四條邊相等的四邊形也可以是菱形，③平行四邊形不是梯形．答案

①④【變式2】第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日(12分)把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷真假．(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)等底等高的兩個(gè)三角形是全等三角形；(3)當(dāng)ac>bc時(shí)，a>b；(4)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．審題指導(dǎo)

本題主要考查“若p，則q”形式命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論．

題型三將命題改寫成“若p，則q”的形式【例3】第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日[規(guī)范解答](1)若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)，則它的平方是非負(fù)數(shù)．真命題.3分(2)若兩個(gè)三角形等底等高，則這兩個(gè)三角形是全等三角形．假命題. 6分(3)若ac>bc，則a>b.假命題. 9分(4)若一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)角的平分線上的點(diǎn)，則該點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．真命題. 12分【題后反思】把一個(gè)命題改寫成“若p，則q”的形式，首先要確定命題的條件和結(jié)論，若條件和結(jié)論比較隱含，要補(bǔ)充完整，有時(shí)一個(gè)條件有多個(gè)結(jié)論，有時(shí)一個(gè)結(jié)論需多個(gè)條件，還要注意有的命題改寫形式也不唯一．如本例(1)也可改為“若一個(gè)數(shù)是一個(gè)實(shí)數(shù)的平方，則它是非負(fù)數(shù)”．第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日

把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并指出條件與結(jié)論．(1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等；(2)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝ax＋b的值隨著x的值的增加而增加；(3)菱形的對角線互相垂直．解

(1)若一個(gè)三角形是等邊三角形，則它的三個(gè)內(nèi)角相等．其中條件p：一個(gè)三角形是等邊三角形，結(jié)論q：它的三個(gè)內(nèi)角相等．【變式3】第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日(2)當(dāng)a>0時(shí)，若x的值增加，則函數(shù)y＝ax＋b的值也隨之增加．其中條件p：x的值增加(a>0)，結(jié)論q：函數(shù)y＝ax＋b的值也隨之增加．(3)若一個(gè)四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直．其中條件p：一個(gè)四邊形是菱形，結(jié)論q：四邊形的對角線互相垂直．第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由．(1)矩形難道不是平行四邊形嗎？(2)垂直同一個(gè)平面的兩個(gè)平面必平行嗎？(3)大角所對的邊大于小角所對的邊；(4)x＋y是有理數(shù)，則x、y也都是有理數(shù)；(5)求證x∈R，方程x2＋x＋1＝0無實(shí)根．[錯(cuò)解]因?yàn)?1)是反問句，故不是命題．(2)不是命題．(3)(4)是假命題．(5)是祈使句，不是命題．誤區(qū)警示由于概念不清導(dǎo)致錯(cuò)誤【示例】第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期日

判斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假．一般地，陳述句“π是無理數(shù)”，反問句“矩形難道不是平行四邊形嗎”都能判定真假．[正解](1)通過反問句，對矩形是平行四邊形作出判斷，是真命題．(2)疑問句，沒有對垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行作出判斷，不是命題．(3)是假命題，必須在同一個(gè)三角形或全等三角形中．(5)祈使句，不