變質(zhì)量動量定理

變質(zhì)量動量定理第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日§6－1變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力為質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)t的動量為質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)t+dt的動量為根據(jù)動量定理得將上式展開得第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日略去高階微量并以dt除各項(xiàng)得或（6－1）式中是微小質(zhì)量dm在并入前對于質(zhì)點(diǎn)m得相對速度令（6－2）則式（6－1）改寫為（6－3）第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日上式稱為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程式中m是變量是代數(shù)量因具有力的量綱且與噴氣方向相反稱為反推力2.常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律（1）質(zhì)量按線性規(guī)律變化設(shè)變化規(guī)律為（6－4）式中皆為常數(shù)該式代表質(zhì)量隨時(shí)間呈線性變化由知其反推力為（6－5）可見當(dāng)為常數(shù)時(shí)反推力也為常量且與方向相反第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日（2）質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化設(shè)變化規(guī)律為（6－6）式中皆為常數(shù)由知其反推力為（6－7）令表示僅在反推力作用下變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的加速度（6－8）則當(dāng)為常量時(shí)也是常量即由反推力引起的加速度為常量第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日例6－1設(shè)火箭在真空中運(yùn)動且不受任何外力作用方向與火箭運(yùn)功方向相反單級火箭其噴射出的氣體相對于速度的大小不變此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題對這一問題變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程（6－3）在運(yùn)動方向上的投影為或（a）設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)將式（a）積分得（b）第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日設(shè)火箭燃燒終了時(shí)質(zhì)量為速度為v令（c）稱N為質(zhì)量比（有些資料取為質(zhì)量比）令（b）稱為火箭的特征速度它代表這一級火箭在初始速度的基礎(chǔ)上所能增加的速度由式（d）可得（c）稱此式為齊奧爾科夫斯基公式它表明在已知時(shí)欲使火箭達(dá)到特征速度所應(yīng)具備的質(zhì)量比第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日如果火箭在真空中且處于均勻重力場內(nèi)沿鉛直方向向上運(yùn)動稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題與第一問題的區(qū)別是有均勻重力作用運(yùn)動微分方程（6－3）在鉛直方向上的投影為（f）設(shè)初始時(shí)刻t=0時(shí)且為常量將式（f）積分得（g）第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日例6－2單級火箭具有重大的缺欠任何時(shí)候火箭的反推力不僅要使有效載荷產(chǎn)生加速度二級火箭及多級火箭而且也要使龐大的殼體產(chǎn)生同樣的加速度這就限制火箭速度的提高多級火箭可以克服這一缺欠那就是燃料裝得越多其殼體也就越大當(dāng)前一級火箭燃料燃燒終了時(shí)連同其殼體一起拋棄后一級火箭開始工作二級火箭由3部分組成第一級火箭第二級火箭和載荷第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日設(shè)第一級火箭總質(zhì)量為其內(nèi)攜帶燃料的質(zhì)量為且第二級火箭總質(zhì)量為其內(nèi)攜帶燃料的質(zhì)量為載荷的質(zhì)量為設(shè)燃料從火箭噴出的相對速度=常數(shù)方向與火箭速度方向相反每秒噴出的燃料質(zhì)量也為常數(shù)火箭由靜止開始運(yùn)動略去重力由例6.1式（b）可得第一級火箭的燃料全部噴射完時(shí)火箭的速度為（a）當(dāng)?shù)诙壔鸺娜剂弦踩繃娚渫陼r(shí)速度為（b）第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日如果取則由式（a）及（b）可得如果用單級火箭仍采用上面的參數(shù)所求得的速度就要低的多設(shè)二級火箭的總質(zhì)量（不含載荷質(zhì)量）為常量則的不同分配將影響火箭的速度將式（a）代入式（b）記則是的函數(shù)為求的最大值將其對求導(dǎo)并令化簡并只取M/P冪級數(shù)展開的首項(xiàng)得（d）第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日滿足式（c）的將使達(dá)到最大值將式（c）代入式（a）（b）略去及的高次項(xiàng)可得（d）如果取則如果仍用則由式（d）可得這顯然比時(shí)的要大得多下面討論多級火箭設(shè)各級火箭的質(zhì)量分別為各級火箭內(nèi)的燃料質(zhì)量為第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日載荷質(zhì)量為各級火箭噴射氣體的相對速度方向都與火箭速度方向相反大小分別為不計(jì)重力則由例6－1式（b）可以求得第i級火箭在燃料噴射完畢時(shí)所增加的速度令（e）則得第n級火箭燃料燃燒完畢時(shí)的速度（f）第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日利用拉格朗日乘子法可以求得滿足下式的將使火箭的總質(zhì)量為最小值（g）式中λ為拉格朗日乘子將式（g）代入式（f）設(shè)皆為已知則可以求得λ再將求得的λ代入式（g）即可得如果有則用上面方法可以求得（h）第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日（i）式（i）表明欲使火箭總質(zhì)量為最小火箭中每一級火箭燃燒完畢所增加的速度值應(yīng)相同即欲使火箭達(dá)到給定的最終速度使火箭總質(zhì)量為最小值的條件是火箭中每一級燃料燃燒完畢時(shí)所增加的速度必須相同滿足這一條件時(shí)總質(zhì)量為（j）第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日利用相等這一條件可以求得多級火箭中各級火箭之間的質(zhì)量分配例如二級火箭（n=2）三級火箭（n=3）如圖所示橫坐標(biāo)n代表火箭級數(shù)縱坐標(biāo)代表火箭總質(zhì)量與載荷質(zhì)量之比第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日欲將人造地球衛(wèi)星送入軌道火箭的最終速度應(yīng)達(dá)到設(shè)按上面公式可以求得火箭總質(zhì)量的最小值：一級火箭（n=1）（即不可能達(dá)到7.8km/s）二級火箭（n=2）三級火箭（n=3）四級火箭（n=4）五級火箭（n=5）n級火箭（n→∞）第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日§6－2變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)普遍定理研究變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量動量矩及動能的變化規(guī)律所使用的動量定理、動量矩定理及動能定理統(tǒng)稱變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)普遍定理1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量定理（6－9）將式（6－2）（6－3）代入式（6－9）得（6－10）第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日記并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度為即則式（6－10）可寫為（6－11）記（6－12）稱為由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力將其代入式（6－11）得（6－13）第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日式（6－13）稱為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式：變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用其上的外力與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度而引起的反推力的矢量和將式（6－13）積分設(shè)t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為速度為得（6－14）式（6－14）稱為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動量定理的積分形式如果并入或放出質(zhì)量的絕對速度則式（6－13）成為第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日此式與不變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量定理形式相同但其m=m(t)是變量將其積分有顯然即使也不是常量2.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對任一點(diǎn)O的動量矩為（6－15）式中為從點(diǎn)O指向該質(zhì)點(diǎn)的矢徑點(diǎn)O為定點(diǎn)第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日將變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式（6－13）代入可得（6－16）式（6－16）稱變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理：變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對某定點(diǎn)的動量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力對該點(diǎn)之矩與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力對該點(diǎn)力矩的矢量和3.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動量定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動量定理的微分形式（6－13）可以寫成（6－17）第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日將上式各項(xiàng)點(diǎn)乘得由于因此上式可寫為（6－18）或（6－19）式（6－18）或（6－19）稱變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動能定理：變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動能的微分與放出（或并入）的元質(zhì)量由于其牽連速度而具有的動能的代數(shù)和等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力合力的元功與由于并入（或放出）質(zhì)量的絕對速度引起的反推力所作的元功之和第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日由于即因此式（6－18）也可以寫成為（6－20）因此變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動能定理也可以這樣敘述：變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動能的微分與并入（或放出）的元質(zhì)量由于牽連運(yùn)動而具有的動能之差等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力與反推力所作的元功之和第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日例6－3圖為傳送砂子的裝置然后流出斜面設(shè)砂子以流量q=常數(shù)（kg/s）從大漏斗中流下斜面上砂子是定常流動砂子從漏斗鉛直流下其質(zhì)量保持不變不計(jì)摩擦求傾角應(yīng)為多少以速度流下傾角為θ的傳送帶上并沿斜面下滑l長度若使砂子在斜面上的速度為常數(shù)第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日解：研究傳送帶上的砂子由變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動能定理式（6－18）有式中為漏斗流入到傳送帶上的砂子質(zhì)量元為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元為流出時(shí)的絕對速度有常數(shù)將這些關(guān)系式代入前式得第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日式中s為砂子沿傳送帶方向的位移由于流量q質(zhì)量m及斜面長度l之間有關(guān)系：或因此有即得第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日例6－4設(shè)小方塊長度極短初始靜止小方塊最外端在桌邊總長度為l的一排方塊放在圖所示水平桌面上求在如下兩種情況下當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時(shí)總質(zhì)量為數(shù)量很多相鄰的小方塊互相接觸而不連接如圖加一水平的常力留在桌面上的小方塊的速度（1）忽略桌面上的摩擦力（2）桌面與小方塊間的動滑動摩擦因數(shù)為f第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期日解：研究仍在桌面上的一