經(jīng)濟應用數(shù)學線性代數(shù)高數(shù)26函數(shù)連續(xù)性

tomm0t0一般,當f

(x)連續(xù)變化時,其圖形是一條連續(xù)曲線.反之,若f

(x)圖形是一條連續(xù)曲線,f

(x)則是連續(xù)變化的.第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性例.火箭升空時,質量變化情形如圖.yox

x

oyyxx

xyxx0f

(x0)yBAxfi

x0

xfi

x0從圖上可看出,j(x)在x0間斷.但f

(x)在x0連續(xù).j(x)在x0的極限不存在,

而

lim

f

(x)

=

f

(x0

).xfi

x0yyyx0y

=

j(x)y

=

f

(x)定義1.

設f

(x)在x0的某鄰域U(x0)內有定義.

且lim

f

(x)

=

f

(x0

).xfi

x0則稱f

(x)在x0連續(xù),x0稱為f

(x)的連續(xù)點.否則稱f

(x)在x0間斷,x0稱為f

(x)的間斷點,或稱為不連續(xù)點.由于當f

(x)為多項式時,有l(wèi)im

f

(x)=f

(x0

).xfi

x0并且,

lim

sin

x

=

sin

x0

lim

cos

x

=

cos

x0xfi

x0

xfi

x0所以,多項式及正,余弦函數(shù)在任何點x0處連續(xù).連續(xù)定義也可用e-d

語言給出。若對"e

>0,

$d>0,使得當|x-x0|<d時,對應的函數(shù)值f

(x)滿足|

f

(x)-f

(x0)|<e則稱f

(x)在x0處連續(xù).注:與極限定義比較,將"a"換成"f

(x0)"將"0<|x-x0|<d

"換成"|x-x0|<d

".在x

=0處連續(xù).-

x,當x

?0時,當x

<0時,例1.證明f

(x)

=|

x

|=

x,證:因lim

f

(x)=lim

x

=0xfi

0+

xfi

0+lim

f

(x)

=

lim

(-x)

=

0xfi

0-

xfi

0-故lim

f

(x)=lim|

x

|=0xfi

0

xfi

0又因為f

(0)=0.從而lim

f

(x)=f

(0)xfi

0故f

(x)=|

x

|

在x

=0處連續(xù).如圖xyof

(x)

=

|x|lim

|

x

|=|

x0

|

.xfi

x0還可得到,|x|在任何點x0處連續(xù).即記U

(x+

,d)

=[x

,

x

+d),U

(x-,d)

=

(x

-d,

x

],0

0

0

0

0

0稱為x0的右鄰域和x0的左鄰域.簡記為U

(x+)和U

(x-).0

00

0xfi

x+

xfi

x-若

lim

f

(x)

=

f

(x0

)(

lim

f

(x)

=

f

(x0

)),則稱f

(x)在x0處右(左)連續(xù).0定義2.設f

(x)在x0的某右鄰域U

(x+)(某左鄰0域U

(x-))內有定義,定理1.f

(x)在x0處連續(xù)f

(x)在x0左連續(xù)且右連續(xù).x

?

0

a

-

x,

x

<

0,例2.設f

(x)=x2

+3,問a為何值時,xfi

0+f

(x)在x=0連續(xù).解:f

(0)=3f

(0

+

0)

=

lim

f

(x)

=

lim

(x2

+

3)

=

3xfi0+f

(x)在x

=0右連續(xù).為使f

(x)在x=0連續(xù),必須f

(0–0)=f

(0)=f

(0+0)即,a=3.故,

a=3時,

f

(x)在x=0連續(xù).xfi0-xfi

0-f

(0

-

0)

=

lim

f

(x)

=

lim

(a

-

x)

=

ax

+1,

當x

?0時,例3.設f

(x)=x

-1,當x

<0時問f

(x)在x=0是否連續(xù).xfi

0+xfi

0+解:

f

(0)=1f

(0

+0)=lim

f

(x)=lim(x

+1)=1

右連續(xù).故,f

(x)在x=0間斷.xfi

0-f

(0

-

0)

=

lim

(x

-1)

=

–1

?

f

(0)圖形為xyo–11不左連續(xù).y=f

(x)若f

(x)在(a,b)內每一點連續(xù),則稱f

(x)在開區(qū)間(a,

b)內連續(xù).

記作

f

(x)?

C(a,

b).

其中C(a,b)表示在(a,b)內連續(xù)的函數(shù)全體所成集合.若f

(x)在(a,

b)內連續(xù),

且f(x)在x=a右連續(xù).在x=b左連續(xù).

則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).記作

f

(x)?

C[a,

b].一般,設變量u從初值u0變到終值u1,記Du=u1-u0,稱為變量u的增量(改變量).Du可正,

可負,

還可為0.

另外,

u1

=

u0+

Du記Dy

=f

(x)-f

(x0)=f

(x0

+Dx)-f

(x0)稱為y在x0處相應于Dx的增量(改變量).設f

(x)在U(x0)有定義,"x?

U(x0),記Dx

=x-x0稱為自變量x在x0處增量(改變量).且x

=x0

+DxDxfi

0定義3.設y=f

(x)在U(x0)有定義.若當Dx

=x-x0fi

0時,有Dy=f

(x0+Dx)-f(x0)fi

0即

lim

Dy

=

0.

則稱f

(x)在x0連續(xù).由于

lim

f

(x)

=

f

(x0

) lim

[

f

(x)

-

f

(x0

)]

=

0xfi

x0

xfi

x0lim

[

f

(x0

+

Dx)

-

f

(x0

)]

=

lim

Dy

=

0Dxfi

0(令Dx

=x-x0)Dxfi

0連續(xù)定義可用函數(shù)的增量的形式給出.如圖.xyoAB=j(x0)x0+

DxDyx0Dx>0CDy=CD的長Dlim

Dy?

0Dxfi

0y=j(x)xyof

(x0)Dx<0x0+DxDx>0x0

x0+DxDyMNDy=–(MN的長)CDy=CD的長Dlim

Dy=

0Dxfi

0y=f

(x)定理2.

若f

(x),

g(x)在點

x0處連續(xù),

則af

(x)+bg(x)在x0處連續(xù),其中a,b為常數(shù).f

(x)·g(x)在x0連續(xù).0(3)當g(x

)?0時,0在x

連續(xù).f

(x)g(x)二、連續(xù)函數(shù)的基本性質定理3.設若y=f

[j(x)]由y=f

(u),u=j(x)復合而成.若u=j(x)在x0連續(xù),

u0=j(x0),

而y=f

(u)在u0連續(xù),

則復合函數(shù)y=f

[j(x)]在x0連續(xù).證:要證y=f

[j(x)]在x0連續(xù),只須證"e>0,

$d>0,當|x–x0|<d

時,有|

f

[j(x)]–f

[j(x0)]|<e.即可."e>0,

因y=f

(u)在u0連續(xù),故$h

>0,

當|u–u0|<h,有|

f

(u)–f

(u0)|<

e.又因u=j(x)在x0連續(xù).

從而對上述h

>

0,$d>0,

當|x–x0|<d時,有|u–u0|=|j(x)–j

(u0)|<

h.故,當|

x

-

x0

|<

d

時,

有|

u

-

u0

|<h,

進而有|

f

[j(x)]

–

f

[j(x0)]|

=

|

f

(u)

–f

(u0)|<

e故y=f

[j(x)]在x0連續(xù).推論.若lim[j(x)]=A.且y=f

(u)在u=A連續(xù),則limf

[j(x)]

=

f

[limj(x)]式子xfi

x0lim

f

[j

(x)]=f

[j(x0)]相當于lim

f

[j

(

x)]

=

f

[

lim

j

(

x)],x

fi

x0

x

fi

x0因此,有

xfi

￥1

x例4.求lim

sin1+x

xfi

￥x

1

x

=

sin

lim1+x

xfi

￥1

xlim

sin1+解:=

sin

e.定理4.若y

=f

(x)在區(qū)間I上嚴格單調增加(減少)且連續(xù),

則其反函數(shù)x=f–1(y)在相應區(qū)間上嚴格單調增加(減少)

且連續(xù).定理5.若y

=f

(x)在x0連續(xù),且f

(x0)>0

(<0),

則$U(x0),使"x

?

U(x0),有f

(x)>0

(<0).定理6.(1)

基本初等函數(shù)在其定義域內連續(xù).(2)初等函數(shù)在其定義域內連續(xù).例5.arctgxlimxfi

1arctg1

px2

+ln(4

-

3x)

=

1+ln1

=

4三、初等函數(shù)的連續(xù)性則lim

[

f

(x)]g

(

x)

=[

f

(x0

)]g

(

x0

)xfi

x0稱形如y=[f

(x)]g(x)的函數(shù)為冪指函數(shù),其中f

(x)>0.根據(jù)對數(shù)恒等式y(tǒng)=elny,y>0,

有[f

(x)]gx

=eg(x)·lnf

(x),因此,

當f

(x),

g(x)均連續(xù)時, [f

(x)]g

(x)也連續(xù).即,

若

lim

f

(x)

=

f

(x0

), lim

g(x)

=

g(x0

)xfi

x0

xfi

x03x2

+cos

x2

+

2x2

+1limxfi

0=1

11+

2

3=例6.例7.lim(x

+

2)x

=

20

=1xfi

0若

limf

(x)

=

A

>

0. limg(x)

=

B,

存在.則lim[

f

(x)]g

(

x)

=

lim

eg

(

x)

ln

f

(

x)=

eB

ln

A=

ABxxfi

0

sin

2x

1+x例8.lim=

21

=

2xfi

￥

2x

+12

x

+1

x例9.lim

2

1

x=

0

由y

=

的圖形知.x0y

1

y

=

2

1

xx+1xfi

￥

1例10.

lim

(x2

+1)2

x+1

=

￥.

由y

=

x

2的圖形知.y01x1y

=

x若limf

(x)=1,

limg(x)=￥,稱lim[f

(x)]g(x)為“1￥

”型極限問題.若limf

(x)=0,

limg(x)=0,稱lim[f

(x)]g(x)為“00

”型極限問題.若limf

(x)=￥,limg(x)=0,

稱lim[f

(x)]g(x)為“￥

0

”型極限問題.“1￥

”,“00”和“￥

0

”型都不一定是無窮小量,也不一定是無窮大量,更不一定是1.1例11.求lim(cos

x)x2

.xfi

0解:

“1￥

”型,x21 cos

x-1原式

=

lim(1

+

(cos

x

-1))cos

x-1xfi

01x2cos

x-1xfi

0

=

lim(1

+

(cos

x

-1))cos

x-1

2-1=

e函數(shù)f

(x)在x0連續(xù)可簡單地表示為:lim

f

(x)

=

f

(x0

)xfix0要使它成立,必須f

(x)在x0有定義;f

(x)在x0的極限存在;兩者相等.這三條有一條不成立,則f

(x)在x0不連續(xù)(間斷).四、函數(shù)的間斷點設f

(x)在?(x0)內有定義,若f

(x)是下列情況之一,f

(x)在x0無定義;f

(x)在x0的極限不存在;lim

f

(x)

?

f

(x0

)xfi

x0則稱f

(x)在x0處間斷,x0稱為f

(x)的一個間斷點.x例1.討論f

(x)=sin

x的間斷點.解:由于f

(x)=sin

x

是初等函數(shù).x在其定義域內都連續(xù).故其間斷點必是使函數(shù)無定義的點.因f

(x)只在x=0處無定義,故x=0為f

(x)的唯一間斷點.xxfi

0

xfi

0由于lim

f

(x)=lim

sin

x

=1,而f

(x)在x=0無定義,此時,

補充定義:

令f

(0)

=

1(=

lim

f

(

x)),xfi

0則x

當x

?0時,1

當x

=0時,sin

xf

(

x)

=

在x

=0連續(xù).當x

<0時,當x

=

0時,

的間斷點.當x

>

0時,2x,例2.討論f

(x)=1,sin

x解:這是一個由初等函數(shù)組成的分段函數(shù).這種函數(shù)的間斷點若存在,通常在分段點x=0處.事實上,

在(-￥

,

0)內,

f

(x)

=

2x,

連續(xù),在(0,

+￥)內,

f

(x)

=

sinx,

連續(xù).只須考慮在x

=0是否連續(xù)即可.xfi

0-由于lim

f

(x)=lim

2x

=0,lim

f

(x)

=

lim

sinx

=0,xfi

0+

xfi

0+xfi

0-故

lim

f

(x)

=0.xfi

0而f

(0)=1.lim

f

(x)?f

(0).故x

=0為間斷點.xfi

0xfi

0xfi

0因lim

f

(x)存在.改換定義:令f

(0)

=0(=lim

f

(x)),在x

=0連續(xù).當x

<0時,當x

=0時,當x

>0時,2x,f

(x)

=

0,sin

x則如圖xo–2y=sinxy=2xy1–1一般,

若x0是

f

(x)的間斷點,

且

lim

f

(x)存在.xfi

x0則稱x0為f

(x)的一個可去間斷點.01的間斷點.x

?

0,

x

=

0例3.討論f

(x)=arctg

x

,解:類似例2.

只討論分段點x

=0

處情況.xxfi

0+

xfi

0+x1xfi

0-

xfi

0-lim

f

(x)

=

lim

arctg2p=-2由于

lim

f

(x)

=

lim

arctg1

=

pxy0y=arctanxp22-p故

lim

f

(

x)不存在,

x

=

0為

f

(x)的間斷點.xfi

0看圖一般,若f

(x)在x0處的左,右極限都存在,但不相等,則間斷點x0稱為f

(x)的跳躍間斷點.如圖xoy–1–2y=x–2y=2+(x–1)212可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.或者說,左,右極限都存在的間斷點稱為第一類間斷點.不是第一類的間斷點稱為第二類間斷點,或者說,左,右極限中至少有一個不存在的間斷點稱為第二類間斷點.1例4.求y

=e

x的間斷點,并指出間斷點的類型.解:

間斷點

x

=

0.1因

lim

ex

=

+￥.xfi

0+1而

lim

ex

=

0.xfi

0-故x

=0

為第二類間斷點.一般,若0

0xfi

x+

xfi

x-lim

f

(x)和lim

f

(x)中至少有一個為無窮大,

則稱x0稱為

f

(x)的無窮型間斷點.1x

=0是ex的一個無窮型間斷點.例5.求y

=sin

1

的間斷點,并指出間斷點的類型.x解:

間斷點

x

=

0.由于lim

sin

1

和lim

sin

1

都不存在,x

xxfi

0+

xfi

0-看圖故x

=0

為第二類間斷點.01－1yx2pp-

2定理1.(根的存在定理),若f

(x)?

C[a,b],即f

(x)在[a,

b]上連續(xù).

且

f

(a)

f

(b)<0.則至少存在一點x0?(a,b),使得f

(x0)=0.看圖.0abxyBx0x0x0A定理1中的x0,就是方程f(x)=0的根.因此,也稱定理1為根的存在定理.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質定理2.(介質定理),設f

(x)?

C[a,b],f

(a)?f

(b),則對于介于f

(a)和f

(b)之間的任意一值c,至少存在點x0?(a,b),使得f

(x0)=c.看圖.x00bxf

(a)ayf

(b)Cy=f

(x)證:

令F(x)

=

f

(x)–c.

則

F(x)在[a,

b]上連續(xù),且

F

(a)

F

(b)

=

(f

(a)–c)(f

(b)–c)

<

0由根的存在定理,至少存在x0?(a,b),使得

F(x0)

=

0.即,

f

(x0)

=

c.例1.證明方程ln(1+ex)=2x至少有一個小于1的正根.證:

記

f

(x)=

ln(1+ex)–2x,知

f

(