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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精圓的一般方程一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點使學(xué)生掌握圓的一般方程的特點;能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑;能用待定系數(shù)法,由已知條件導(dǎo)出圓的方程.(二)能力訓(xùn)練點使學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法,熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法,熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程,培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實際問題的能力.(三)學(xué)科滲透點通過對待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識和基本方法打下牢固的基礎(chǔ).二、教材分析1.重點:(1)能用配方法,由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑;(2)能用待定系數(shù)法,由已知條件導(dǎo)出圓的方程.(解決辦法:(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果,而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法;(2)加強這方面題型訓(xùn)練.)2.難點:圓的一般方程的特點.(解決辦法:引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓的一般方程的特點,并加以記憶.)3.疑點:圓的一般方程中要加限制條件D2+E2—4F>0.(解決辦法:通過對方程配方分三種討論易得限制條件.)三、活動設(shè)計講授、提問、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板.四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)引入新課前面,我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax—2by+a2+b2—r2=0.可見,任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0.請大家思考一下:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓?下面我們來深入研究這一方面的問題.復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程".(二)圓的一般方程的定義1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得:(1)(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時,方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較,可以看出方程半徑的圓;(3)當(dāng)D2+E2—4F<0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形.這時,教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、法.2.圓的一般方程的定義當(dāng)D2+E2-4F>0時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程.(三)圓的一般方程的特點請同學(xué)們分析下列問題:問題:比較二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.(2)與圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2—4F>0).(3)的系數(shù)可得出什么結(jié)論?啟發(fā)學(xué)生歸納結(jié)論.當(dāng)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有條件:(1)x2和y2的系數(shù)相同,不等于零,即A=C≠0;(2)沒有xy項,即B=0;(3)D2+E2—4AF>0.它才表示圓.條件(3)通過將方程同除以A或C配方不難得出.教師還要強調(diào)指出:(1)條件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圓的必要條件,但不是充分條件;(2)條件(1)、(2)和(3)合起來是二元二次方程(2)表示圓的充要條件.(四)應(yīng)用與舉例同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一樣,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三個系數(shù)D、E、F,因此必具備三個獨立的條件,才能確定一個圓.下面看一看它們的應(yīng)用.例1求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo):(1)x2+y2—8x+6y=0,(2)x2+y2+2by=0.此例由學(xué)生演板,教師糾錯,并給出正確答案:(1)圓心為(4,-3),半徑為5;(2)圓心為(0,-b),半徑為|b|,注意半徑不為b.同時強調(diào):由圓的一般方程求圓心坐標(biāo)和半徑,一般用配方法,這要熟練掌握.例2求過三點O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、A、B在圓上,則有解得:D=—8,E=6,F(xiàn)=0,故所求圓的方程為x2+y2—8x+6=0.例2小結(jié):1.用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟:(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式;(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程;(3)解方程組,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所設(shè)方程,就得要求的方程.2.關(guān)于何時設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時設(shè)圓的一般方程:一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程.再看下例:例3求圓心在直線l:x+y=0上,且過兩圓C1∶x2+y2-2x+10y—24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.(0,2).設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為兩點在所求圓上,且圓心在直線l上所以得方程組為故所求圓的方程為:(x+3)2+(y-3)2=10.這時,教師指出:(1)由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)此題也可以用圓系方程來解:設(shè)所求圓的方程為:x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠—1)整理并配方得:由圓心在直線l上得λ=-2.將λ=-2代入所假設(shè)的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圓與圓的位置關(guān)系中再介紹,此處為學(xué)生留下懸念.的軌跡,求這個曲線的方程,并畫出曲線.此例請兩位學(xué)生演板,教師巡視,并提示學(xué)生:(1)由于曲線表示的圖形未知,所以只能用軌跡法求曲線方程,設(shè)曲線上任一點M(x,y),由求曲線方程的一般步驟可求得;(2)應(yīng)將圓的一般方程配方成標(biāo)準(zhǔn)方程,進而得出圓心坐標(biāo)、半徑,畫出圖形.(五)小結(jié)1.圓的一般方程的定義及特點;2.用配方法求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑;3.用待定系數(shù)法,導(dǎo)出圓的方程.五、布置作業(yè)1.求下列各圓的一般方程:(1)過點A(5,1),圓心在點C(8,—3);(2)過三點A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2).2.求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x—4=0和x2+y2+6y-28=0的交點,并且圓心在直線x-y—4=0上的圓的方程.3.等腰三角形的頂點是A(4,2),底邊一個端點是B(3,5),求另一個端點的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么.4.A、B、C為已知直線上的三個定點,動點P不在此直線上,且使∠APB=∠BPC,求動點P的軌跡.作業(yè)答案:1.(1)x2+y2—16x+6y+48=0(2)x2+y2—4x-2y—20=02.x2+y2-x+7y-32=03.所求的軌跡方程為x2+y2—8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),軌跡是以4.
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