【課件】空間向量基本定理 2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

復(fù)習(xí)回顧平面向量的基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．xyzOQP新課講授探究1

我們知道，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示（平面向量基本定理）.對(duì)于空間任意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？三個(gè)不共面的向量用兩個(gè)不共線的向量能不能表示空間內(nèi)所有向量？用三個(gè)不共線的向量能不能表示空間內(nèi)所有向量？先考慮三個(gè)不共面的向量?jī)蓛苫ハ啻怪钡奶厥馇闆r：OQPacbαabc在空間中，如果用任意三個(gè)不共面向量代替兩兩垂直的向量，你能得出類似的結(jié)論嗎？

如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(

x,y,z)，使得

都叫做基向量

叫做空間的一個(gè)基底，空間任意三個(gè)不共面向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.所有空間向量組成的集合為空間向量基本定理

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，且長(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.單位正交基底

由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量，均可以分解為三個(gè)向量，使.

像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩互相垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.正交分解例1例題講解P、A、B、C四點(diǎn)共面的充要條件是對(duì)空間任意一點(diǎn)O，C變式C例2

BOACMNP結(jié)合圖形特征，利用三角形法則，平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算解決問(wèn)題.變式變式例3

如圖，在平行六面體

ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N

分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)．求證MN⊥AC1．ABCDA1B1C1D1MN例4如圖，正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為C'D'，

A'D'，D'D的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥AC

;（2）求

CE

與

AG

所成角的余弦值．ABCDA'B'C'D'EFG立體幾何問(wèn)題①適當(dāng)選取基底向量運(yùn)算②用基向量表示相關(guān)向量③將相關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基向量的問(wèn)題向量問(wèn)題向量問(wèn)題的解立體幾何問(wèn)題的解轉(zhuǎn)化向量方法理論基礎(chǔ)：空間向量基本定理用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的路徑轉(zhuǎn)化練習(xí)1、2（課本P15習(xí)題T1，T2）練習(xí)3