考點9-正弦定理和余弦定理

第頁.考點9正弦定理和余弦定理1.（2010·天津高考理科·Ｔ7）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，，則A=()（A）（B）（C）（D）【命題立意】考查三角形的有關(guān)性質(zhì)、正弦定理、余弦定理以及分析問題、解決問題的能力?！舅悸伏c撥】根據(jù)正、余弦定理將邊角互化?！疽?guī)范解答】選A，根據(jù)正弦定理及得：，。【方法技巧】根據(jù)所給邊角關(guān)系，選擇使用正弦定理或余弦定理，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為角。2.（2010·北京高考文科·Ｔ7）某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為（A）；（B）（C）（D）【命題立意】本題考查解三角形的相關(guān)知識，用到了面積公式、余弦定理等知識。【思路點撥】在等腰三角形中利用余弦定理求出底邊，從而班徽的面積等于四個等腰三角形的面積與正方形的面積之和?！疽?guī)范解答】選A。等腰三角形的底邊長為。所以班徽的面積為。3.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a,b,c，若∠C=120°，,則（）A、a>bB、a<bC、a=bD、a與b的大小關(guān)系不能確定【命題立意】以三角形為依托，以余弦定理為明線，以方程的解為暗線考查學(xué)生的運用知識和等價轉(zhuǎn)化的能力?！舅悸伏c撥】由余弦定理得到邊的二元等量關(guān)系，然后從方程的角度消元求解.【規(guī)范解答】選A.∵∠C=120°，，∴2a2=a2+b2-2abcos120°，∴a2=b2+ab，∴（）2+-1=0，∴=<1，∴b<a.【方法技巧】三角形是最簡單的平面圖形，是中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)知識最多的圖形，在高考中是重點.常常考查邊角關(guān)系，余弦定理和正弦定理，常常結(jié)合不等式和方程來解.尤其是均值不等式的考查.4.（2010·北京高考理科·Ｔ１0）在△ABC中，若b=1，c=，，則a=?！久}立意】本題考查解三角形中的余弦定理?！舅悸伏c撥】對利用余弦定理，通過解方程可解出。【規(guī)范解答】由余弦定理得，，即，解得或（舍）?！敬鸢浮?【方法技巧】已知兩邊及一角求另一邊時，用余弦定理比較好。5.（2010·廣東高考理科·Ｔ11）已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=,A+C=2B,則sinC=.【命題立意】本題考察正弦定理在解三角形中的應(yīng)用.【思路點撥】由已知條件求出、的大小，求出，從而求出【規(guī)范解答】由A+C=2B及得，由正弦定理得得，由知，所以，，所以【答案】1滿足。（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的最大值。【命題立意】解析本題主要余弦定理、三角形面積公式、三角變換等基礎(chǔ)知識，同時考查三角運算求解能力?！舅悸伏c撥】利用面積公式求角C，然后利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式化簡求最值?！疽?guī)范解答】(Ⅰ)由題意可知absinC＝2abcosC.所以tanC＝.因為0<C<，所以C＝.（Ⅱ)由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)＝sinA+sin(-A) ＝sinA+cosA+sinA＝sin(A+)≤.當A＝，即△ABC為正三角形時取等號，所以sinA+sinB的最大值是.【方法技巧】求時利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于角A的三角函數(shù)的最值問題。10.（2010·遼寧高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且（Ⅰ）求A的大?。唬á颍┣蟮淖畲笾?【命題立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的最值?！舅悸伏c撥】（I）根據(jù)正統(tǒng)定理將已知條件中角的正弦化成邊，得到邊的關(guān)系，再由余弦定理求角（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作關(guān)于角B的函數(shù)，進而求出最值【規(guī)范解答】（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故當B＝30°時，sinB+sinC取得最大值1?！痉椒记伞?1)利用正弦定理，實現(xiàn)角的正弦化為邊時只能是用a替換sinA，用b替換sinB,用c替換sinC。sinA,sinB,sinC的次數(shù)要相等，各項要同時替換，反之，用角的正弦替換邊時也要這樣，不能只替換一部分。(2)以三角形為背景的題目，要注意三角形的內(nèi)角和定理的使用。象本例中B+C＝60°11.（2010·浙江高考理科·Ｔ18）在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)當a=2，2sinA=sinC時，求b及c的長．【命題立意】本題主要考察三角變換、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力?！舅悸伏c撥】利用二倍角余弦公式求的值。再利用正弦定理求，利用余弦定理求?！疽?guī)范解答】（Ⅰ）因為cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π所