二次函數(shù)綜合型問題

第46課時(shí)

二次函數(shù)綜合型問題特征二次函數(shù)綜合型問題類型(1)二次函數(shù)與三角形的綜合；(2)二次函數(shù)與四邊形的綜合；(3)二次函數(shù)與相似形的綜合；(4)二次函數(shù)與圓的綜合解題策略充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把“數(shù)”與“形”結(jié)合，互相滲透，把數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙結(jié)合起來尋找解題思路類型之一二次函數(shù)與三角形、四邊形的結(jié)合 [2016·德州]如圖46－1，已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m，0)，B(0，n)． (1)求這個(gè)拋物線的解析式； (2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；圖46－1(2)令y＝0，則x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，0)，∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，－4)，如答圖①，過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，∵OB＝OC＝3，點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，－4)，∴BE＝DE＝1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠DBE＝45°，∴∠CBD＝90°，∴△BCD是直角三角形；例1答圖(3)∵點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，－3)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，0)，∴直線BC解析式為y＝x－3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，∵點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，∴P(t，t－3)，M(t，t2－2t－3)，過點(diǎn)Q作QF⊥PM，垂足為F，∴△PQF是等腰直角三角形，【點(diǎn)悟】解有關(guān)二次函數(shù)的綜合問題時(shí)，首先要根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的解析式，再結(jié)合圖象，運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題．[2016·溫州]如圖46－2，拋物線y＝x2－mx－3(m＞0)交y軸于點(diǎn)C，CA⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)A，點(diǎn)B在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，BE⊥y軸，交y軸于點(diǎn)E，交AO的延長線于點(diǎn)D，BE＝2AC.(1)用含m的代數(shù)式表示BE的長；(3)若AG∥y軸，交OB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G.①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值；圖46－2變式跟進(jìn)答圖類型之二二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合 [2016·湖州]如圖46－3，已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)C(0，4)，頂點(diǎn)為M，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC. (1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m＞0)個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界)，求m的取值范圍； (3)點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，C，M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程)．【解析】(1)將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b，c的值，通過配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)M是沿著對(duì)稱軸直線x＝1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x＝1代入求出點(diǎn)M在向下平移時(shí)與AC，AB相交時(shí)y的值，即可得到m的取值范圍；圖46－3(3)由題意，可得∠MCP＝90°，若△PCM與△BCD相似，則要進(jìn)行分類討論，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出點(diǎn)P坐標(biāo)．①

②例2答圖【點(diǎn)悟】此類問題常涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角不明確時(shí)，要分類討論，以免漏解．[2016·十堰]如圖46－4①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋1經(jīng)過點(diǎn)A(4，－3)，頂點(diǎn)為B，P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過點(diǎn)(0，2)且垂直于y軸的直線，過點(diǎn)P作PH⊥l，垂足為H，連結(jié)PO.(1)求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處時(shí)，計(jì)算：PO＝_____，PH＝_____，由此發(fā)現(xiàn)，PO______PH(選填“＞”“＜”或“＝”)；②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖②，設(shè)點(diǎn)C(1，－2)，問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．55＝圖46－4類型之三二次函數(shù)與圓的結(jié)合 (1)求過A，B，E三點(diǎn)的拋物線的解析式； (2)求證：四邊形AMCD是菱形； (3)請(qǐng)問在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積等于定值5？若存在，請(qǐng)求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖46－5例3答圖圖46－6(3)在直線BC上方的拋物線上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PB，PC，請(qǐng)問：△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(2)如答圖①，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD為⊙A的半徑，由條件可證明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AD的長，進(jìn)而得出答案；(3)由待定系數(shù)法可求得直線BC解析式，如答圖②，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)E，可設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，可表示出△PQC和△PQB的面積，可表示出△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，得P點(diǎn)坐標(biāo)．變式跟進(jìn)1答圖圖46－7(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；(2)若P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出△PEF的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在