2023年高考第一模擬試題：數(shù)學（江蘇A卷）（全解全析）

2023年高考數(shù)學第一次模擬考試卷

數(shù)學?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},8={4胃，則()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,0)

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0}

【答案】B

,,、fl-x>0

【解析】由log3（l-x）&l=log33nL=>-2<x<l,

1-XS3

所以4^8={-2,-1,0},

故選：B

2.已知復數(shù)2=三,則Z的共加復數(shù)［在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】依題意，2=黃器上8年甘，則黃一夕

所以復數(shù)］在復平面內(nèi)對應的點(］3,-I3位于第四象限.

故選：D

3.已知兩個等差數(shù)列2,6,10,…，198及2,8,14,…，200,將這兩個等差數(shù)列的公共項按從

小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）

A.1460B.1472

C.1666D.1678

【答案】C

【解析】有兩個等差數(shù)列2,6,10,....198及2,8,14,200,

由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，2,14,26,38,50.....182,194

是兩個數(shù)列的相同項.

共有4194-'2+1=17個，也是等差數(shù)列,

它們的和為2+^1^9-4xl7=1666,

這個新數(shù)列的各項之和為1666.

故選：C.

4.文化廣場原名地質(zhì)宮廣場，是長春市著名的城市廣場，歷史上地質(zhì)宮廣場曾被規(guī)劃為偽滿洲國的

國都廣場.文化廣場以新民主大街道路中心線至地質(zhì)宮廣場主樓中央為南北主軸，廣場的中央是太

陽鳥雕塑塔，在地質(zhì)宮（現(xiàn)為吉林大學地質(zhì)博物館）主樓輝映下顯得十分壯觀.現(xiàn)某興趣小組準備

在文化廣場上對中央太陽鳥雕塑塔的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最

頂端，8為太陽鳥雕塑塔的基座（即8在1的正下方），在廣場內(nèi)（與8在同一水平面內(nèi)）選取C、

。兩點.測得CD的長為M.興趣小組成員利用測角儀可測得的角有/ACB、/ACD、NBCD、ZADC、

Z.BDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計算出太陽鳥雕塑塔高度48的是（)

A.m、/ACB、NBCD、Z.BDCB.機、/ACB、/.BCD,/ACD

C.m.NACB、/ACD、ADCD.，”、/ACB、ZBCD、ZADC

【答案】B

【解析】結(jié)合選項可知見41C8是必選條件，

求的思路是：求得ZC或8c中的一條，然后解直角三角形求得力8：

或用AB表示BC.BD,利用余弦定理解方程來求得AB.

A選項，根據(jù)加、ZBCD、ZBDC,可利用正弦定理求得BC,從而求得力反

B選項，〃八/ACB、NBCD、N/C。四個條件，無法通過解三.角形求得N8.

C選項，根據(jù)"八ZACD,ZADC,利用正弦定理可求得4C,從而求得N3.

D選項，由“ZC8、借助宜角三角形和余弦定理，用18表示出AC,AD,

然后結(jié)合附,N4OC在三角形48中利用余弦定理列方程，解方程求得4B.

所以B選項的條件不能計算出AB.

故選：B

5.已知函數(shù)〃x)的部分圖像如圖，則函數(shù)/(x)的解析式可能為()

C./(x)=(er-e-x)cosxD./(x)=(ev+e-xjcosx

【答案】B

【解析】由于圖像關(guān)于原點對稱，所以/(x)為奇函數(shù)，

對于A：由/(x)=(e*-eT卜inx得：

/(-x)=(e~x-ex)sin(-x)=(ex-e-x)sinx=/(x),

/(x)為偶函數(shù)，故可排除A；

對于D：由/(x)=(e*+eT)cosx得：

/(-%)=+e'Jcos(-x)=(ex+e*v)cosx=./(x),

〃x)為偶函數(shù)，故可排除D；

由圖知〃x)圖象不經(jīng)過點(泉0),

而對于C：/怎cos|=0,故可排除C；

故選：B

6.在平行四邊形/8CZ)中，AB=2,AD=\,NDAB=60°.對角線AC與交于點O,E是線段

的中點，/E的延長線與8交于點F.設(shè)荏=),而二B，則下列結(jié)論錯誤的是（）

DFr

^7

AB

A.EF^'AEB.~AF=-a+b

33

C.府卜半D.AF-AB=-7

【答案】C

【解析】

D「「

AB

對于A,取08的中點G,連接CG,則NE//CG且ZE=CG,即即〃CG

FFr\pi

:ADEF-^DGC>則==一

GCDG3

—1—1—

：.EF=-GC=-AEfA選項正確；

nrDF11

對于B,ADEF~ADGC,則---=----=一=DF=-DC

DCDG33

————1——1—1_

AF=AD+DF=AD+-DC=AD+-AB=-a+b,B選項正確；

333

對于C,AF=-a+b,

3

19

z.\AF\+=-a2+—a-b+b2=-x22+—x2xlxcos60+12=：—

II(3J93939

則|萬=半，C選項錯誤；

對于D,AF-AB=\-a+i\'a=-S2+a-b=-x22+2xlxcos60=-

D選項正確；

UJ33：

故選：C.

7.已知正實數(shù)a,b，c滿足e。+e2=e"+r，b=log23+logx6?c+log,c=2f則mb,c的

大小關(guān)系為()

A-a<b<cB-a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】ec+e-2a=ea+e-cne°-e一。=e"-e=,

故令/(x)=e，-eT,則/(c)=e，-eY,f(a)=ea-ea.

易知y=_eT=-e和"e*均為(0,+oo)上的增函數(shù)，故〃x)在(O,+8)為增函數(shù).

e

,/e-2"<e-°.故由題可知，e<-eY=e"-e-2->e"-e-",即/(c)>/(a),貝iJc>a>0.

易知6=log23+log2探=log23-^6>2,log2c=2-c,

作出函數(shù)N=logzX與函數(shù)y=2-x的圖象，如圖所示，

則兩圖象交點橫坐標在(1,2)內(nèi)，即l<c<2,

：.c<b,

a<c<b.

故選：B.

8.若ariog.x(?！?且awl)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()

/1A(i>(\_A/?

A.ec,+ooB.l,eeC.e2,+ooD.

\7\7\7I

【答案】A

【解析】當0<a<l時，作出y=a*(x>0)和歹=kg,x(x>0)的圖象，

此時兩個函數(shù)圖象有一個交點，則10g“X不可能恒成立；

當a>1時,

當0<x41時，a'>l，log?x<0,不等式優(yōu)>log.x恒成立；

當x>1時,Inx>0,Ina>0,

V優(yōu)=."")"=e"n",

二由優(yōu)>log“x,得e"1""〉曲二,即(xlna>e"M">xlnx=(lnx>e“”,

Ina

令g(")="-e"(">0),則上面的不等式即為：g(xlna)>g(lnx),

當u>0時，g'(")=(l+〃)e">0,g(“)單調(diào)遞增，

Inx

/.xlna>Inx,/.只需Ina>—1■在(1,+8)上恒成立，

x

令〃x)3(x>l),仆)=匕辱

XX

當X>e時,r(x)<0,“X)單調(diào)遞減；當l<x<e時,f(x)>0,“X)單調(diào)遞增，

"(x)max=/(e)=9由題意得lna>：,解得

綜上，實數(shù)a的取值范圍是e%-Ko.

\/

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+s)[o>O，M<]]的圖象如圖所示，則()

B.將函數(shù)V=2sin12x-^J的圖象向左平移￡個單位長度可得函數(shù)/(x)的圖象

C.直線》=-日乃是函數(shù)/(X)圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)/'(X)在區(qū)間-會0上的最大值為2

【答案】ABC

【解析】由題圖知：函數(shù)/")的最小正周期丁=

女=2,

則(0=A=2,所以函數(shù)〃x）=2sin（2x+s）.

71

將點瞪代入解析式中可得2=2sin《+g

TTrrjr

則一+e=—+2左乃（左eZ）,得e=—+2%）（左GZ）,

623

因為I同＜1，所以S=W，

因此/(x)=2sin(2x+m,故A正確.

將函數(shù)y=2sin(2x-3的圖像向左平移￡個單位長度可得函數(shù)/(x)=2sin(2x+?)的圖像，故B

正確.

/(x)=2sin(2x+q),當x=-巖時，〃x)=2,故C正確.

當xe-y,0時，2x+yG---,y,所以,即最大值為

故D錯誤.

故選：ABC.

10.某高中校團委組織“喜迎二十大、永遠跟黨走、奮進新征程”學生征文比賽，經(jīng)評審，評出一、

二、三等獎作品若干(三等獎作品數(shù)是二等獎作品數(shù)的2倍)，其中高一年級作品分別占2;，23

現(xiàn)從獲獎作品中任取一件，記“取出i等獎作品”為事件4?=1，2,3),“取出獲獎作品為高一年級''為

事件5,若P（48）=2,則（）

3

A.一、二、三等獎的作品數(shù)之比為1:1:2B.尸（9）=本

C.P（B）=-D.P（3|4）=—

20{'115

【答案】ABD

【解析】依題意設(shè)一等獎x件，二等獎V件，則三等獎2y件,

則高一年級獲一，二，三等獎作品數(shù)分別為|%,y尚夕

非高一年級獲一，二，三等獎作品數(shù)分別為334

—2Y

因為尸（M=q—」，所以

'7x+y+2y10

則-、二、三等獎的作品數(shù)之比為x：y：2y=l：l：2,故A正確;

6）

又因為「（jA）二十'二3,故B正確；

I3）y+y+2y10

226

尸⑶二J,故C錯誤：

）x+y+2y2

26

又因為p（港州寧L/且尸（4）=木士二

_2

P（48）58

所以尸（理&=-W=4=^,故D正確.

P⑷215

4

故選:ABD.

11.已知拋物線C:/=4x的焦點為八準線為/,過點尸的直線與拋物線交于P（西,%乃）兩

點，點尸在/上的射影為6,則下列說法正確的是（）

A.若再+々=5,則|尸。|=7

B.以尸。為直徑的圓與準線/相切

C.設(shè)M（0,1）,則|PM|+|P制2&

D.過點M（0』）與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條

【答案】ABC

【解析】由題意|P0|=XI+z+P=7,故A正確;

拋物線C：/=4x的準線=

|尸0=占+x2+2,則以P0為直徑的圓的半徑r=±1三+1,

線段尸。的中點坐標為（土產(chǎn),”區(qū)），

則線段PQ的中點到準線的距離為沼三+l=r,

所以以尸。為直徑的圓與準線/相切，故B正確；

拋物線C:/=4x的焦點為尸（1,0）,

\PM\+\PP\^\PM\+\PF\>\MF\=五,

當且僅當M,P,F三點共線時，取等號，

所以|PM|+|P用20,故C正確；

對于D,當直線斜率不存在時，直線方程為x=0,與拋物線只有一個交點，

當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為夕=履+1,

\y=kx+\,

聯(lián)立;=4x，消x得陟-力+4=0,

當《=0時，方程得解為y=l,

此時直線與拋物線只有一個交點，

當發(fā)看0時，則A=16-16無=0,解得上=1,

綜上所述，過點“（0,1）與拋物線C有且僅有個公共點的直線有3條，故D錯誤.

故選：ABC.

12.如圖，在三棱錐4-88中，48工平面88,8(7_1。,8片_14(:上為垂足點，尸為8。中點,

則下列結(jié)論正確的是()

A.若/C的長為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值

B.若的長為定值,則該三棱錐外接球的半徑也為定值

C.若8。的長為定值，則EF的長也為定值

D.若CD的長為定值，則方.而的值也為定值

【答案】BCD

【解析】取的中點0,：4平面BCD,O8u平面8C￡>,48J.8。，

OB=^AD工平面88,OCu平面BCD,AAB1CD,

,/BC1CD,BCC\AB=B,BC,ABaABC,I.CO_L平面43C,

/Cu平面N5C,/.CDLAC,

OC=-AD,則0c=08=0/=O。，為外接球的球心，4。是直徑，

該三棱錐外接球的半徑為:4。，故B正確；

由以上分析可知，AD=y/AC2+CD2,-iAC的長為定值時,CO長是可變化的，不能推得力。為定值,

故NC的長為定值時，則該三棱錐外接球的半徑不一定為定值，A錯誤；

由B的分析可知CZJL平面48C,8Eu平面/8C,故COJ.8E,又BEA.4c,

ACQCD=C,AC,CD^ACD,，BEJ.平面ZCD,OEu平面/CD,

BE±ED,EF=；BD,若8。的長為定值，則E尸的長也為定值，故C正確：

由以上分析可知C7)J_8E,CD1EC,故而?屁=0，CD￡C=O,

由于尸為8。中點，t^EFCD=^(ED+EB)-CD=^(EC+CD+EB)-CD

-ECCD+-CD+-EB-CD=-CD,

2222

故C。的長為定值，則市?麗的值也為定值，D正確；

故選：BCD

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知多項式。-3)0+2)4=40+。儼+.2苫2+。3/+4》4+4/,則。2的值為.

【答案】-40

345

【解析】依題意(x-3)(2+x)4=*+4*+。2工2+a3x+a4x+a3x,

含x2的項為xxC；X23XX'+(-3)XC>22XX2=32x2-72x2=-40,，

所以。2=-40.

故答案為：-40

14.a,尸是兩個不同的平面，機，”是平面a及4之外的兩條不同直線，給出四個論斷：

①加_1_",?a±p,③，"_L〃，(4)?±a.

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題：.

【答案】若②③④則①或若①③④則②(寫出其中正確的?組即可)

【解析】如圖，若②③④則①，成立；

如圖，若①③④則②，成立;

如圖，若①②③則④，不成立;

故答案為：若②③④則①或若①③④則②（寫出其中正確的一組即可）

15.如圖，耳，區(qū)分別是雙曲線?=1（。>0,6>0）的左、右焦點，且川-"0）,過6的

直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于點A,B.若△ZB乙為等邊三角形，則雙曲線的方程為

【答案】x2-^=l

6

【解析】根據(jù)雙曲線的定義，可得|明8苞|=2",

；“3鳥是等邊三.角形,即幽|=|麗=|傷

又???|/尸2|=2a,8耳|=|/片|+%8卜|8尸2|=2a,即|/6|=2“，

4亮|=|/n|+2a=4a,

???△8耳月中，|8耳|=6。，|8乙|=4a,|￡6|=2S，g=60。，

.--IKK|2=|8百『+1『一21I?1Icos600,

HP28=36a2+I6a2-2x6ax4ax-=28a2,解得。=1,又c=V7，

2

由此可得：b=R所以雙曲線方程為：/一廣=]

6

故答案為：--回=1

6

16.在2015年蘇州世兵賽期間，某景點用乒兵球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第I堆只

有1層，就一個球；第2,3,4,……堆最底層（第一層）分別按圖中所示方式固定擺放，從第二

層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第〃堆第〃層就放一個乒兵球.記第”堆的乒兵球總

數(shù)為/(〃).貝廿'(6)=,/(〃)=

【答案】56-~——-

6

【解析】設(shè)第〃堆從上往下第/4#左n,kN*)層的乒乓球數(shù)為g”心)，由己知可得

g”⑹-g“/T)=A(2444",AeN*),所以g“QAg“Q)=2,g“GAg,Q)=3,......,

g“GAg"k-1)=k,這左一1個式子相加得到g.W-g.⑴=("1：2+S

又g.(D=l，所以g“/)=±、￡(2444〃,左eN*),又％=1時g"(l)=l=L^2,所以

g"(〃)=^—人eN*),

又/S)=g?Q)+g?<2)+翳g“G?),所以/6)=g60+g6Q)+g6G)+g6⑷+g66)+g66),

所以/G)=1+3+6+10+15+21=56,

因為當〃22時，&(幻=^^=，夫(左+1)[(左+2)—("1)]=:[后(左+1)(%+2)—(左一1塊(％+1)],

所以當"22,〃EN'時，

/S)=g“Q)+倉64-1倉啦3)+」G觸5-2倉64)+翳1>(n2)-(11-1Ms+1))

666

/?)=g“。+'麟B4-1倉啦3+3倉必5-2倉心4+翳〃eS1為。2)-1)創(chuàng)？(n+1),

又g“()=1,所以當"22,〃eN.時，f3=沙D.+2),又/Q)=&Q)=i,空口=1,所

以〃=1時,%)「伉+1｝+2),

所以當〃eN.時，/以=.+甘+2),

故答案為：56,〃("+『

6

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步獎。

17.(10分)

已知數(shù)列｛。〃｝的前“項和為S?,且4s“=(2〃-1”“+J+1,ai=1.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

,13

(2)設(shè)〃=丁赤，數(shù)列｛6〃｝的前"項和為Th,證明7；<5.

【解析】⑴因為4s“=(2"—1)%+1,所以4S,T=(2〃-3”“+1(/22).

兩式相減，得4。”=(2〃-1)%—(2〃-3)%(〃之2),

即（2〃+l）a“=（2〃一l）a“+1

”一.%+12〃+1

所以當〃22時，口

在4S.=（2〃-1"”+1+1中，令〃=1,得出=3,

a.a?,a?_.a,a,37-137-32n-553.八一、小

所以〃=---------------—a,=-----------------------------—―卜2一2）

aa

Mn—1In-2in-3jzii\2?—32?—527—731

又4=1滿足，所以

所以（一/T=（2〃一l）-（2〃-3）=2（刀之2）,

故數(shù)列｛〃〃｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，且

/八~〃（〃一1）I

（2）S..=A74-----------x2=7,

〃2

__1_1_22_1_____1_

所以"--（2n-1）H-2n（2n-1）<2?（2n-2）-2/7-2-2?'

r1?3

當〃=時“甫1，

T<1+—…+11313

當〃22時,2-2^2

2446272-22〃

3

所以備<萬.

18.（12分）

設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,。，在①、②、③中任選一個作為條件解答下列

問題.

①向量陽=（cos民1）與向量〃=S+c,2a）平行;

②/=〃+6c;

③Jl-cosN+2cos'+：）=2/2sin（-1COSP|f?

（1）確定角A和角8之間的關(guān)系；

（2）若。為線段8c上一點，且滿足8。=/￡>=3,若3a=46,求6.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【解析】（1）若選①：因為碗=（cos2,l）與7=S+G2a）平行，所以2acos8=6+c,

丑、生小o+c~—h~h~+be+c~—b~h+c工廠i

力選②：cosB--------------=---------------------=-------,Wr以2acosBn=h+c

2ac2ac2af

由正弦定理得2sinAcos5=sin54-sinC=sinB+sin(A+B),

即2sinAcosB=sin5+sinAcosB+cosJsinB,

即sinAcosB-cosJsinB=sinB=sin(4-B),

因為4"￡(。,兀)，A—Be(—7i,7i),所以8+(4—8)=冗或8=2一8,

則4=兀(舍)或28=力，即28=4；

若選③：依題意得Jl-(l-2sin2yj+V2cosy->/2sin--=V2sinf5+y

所以0sin且+0cos--V2sin—=CcosS,

222

因為/€(0,兀)，所以即sin1>0,

力

所以&sin4+&cos且-&sin4=&cosB,即cos—=cos5,

2222

因為8€（0,兀），所以1=3,即25=4.

(2)因為3a=46,由正弦定理得3sin4=4sin8,

由A=2B得:3sin25=4sin5,即6sinBcos5=4sin5,

2

又8￡(0,兀)，sin^wO,可得COSB=5，

如圖，過。向48作垂線，垂足為H,

因為cosB=RD=§，解得BH=2.

因為80=40,所以，是48中點，c=AB=4.

因為/B=/BAD，A=/BAD+/CAD=2B,

所以ZBNO=ACAD=AB,

方法I：在“co中，cos/GWh空S匕空-"公(“C=2,

2-ADAC23b3

又3a=4b,所以9+〃-(gb-3)=4b,即解得占=^.

方法2：易知NO是/歷1C的角平分線,

BD-AB-AD-sinZ.BAD

rnri、iABD即^-----------------BD,ABBD

因為^―~CD，五’所以就=而

-AC-ADsmACAD

2

即2=得4（a-3）=3b,又3a=46,解得b=孚.

ba-37

19.（12分）

如圖，在幾何體/5CDE中，底面”C為以4C為斜邊的等腰直角三角形.已知平面/8C/平面/CD,

平面ABC1平面BCE,DE//平面ABC,ADLDE.

(1)證明；DE工平面/CD；

(2)若NC=2CD=2,設(shè)M為棱8E的中點，求當幾何體"CDE的體積取最大值時與CO所成角

的余弦值.

【解析】(1)過點力作。交NC與點O,

?平面/8C2平面/C￡),且兩平面的交線為NC.OOu面/CD,

/.DO_L平面ABC,又DEU平面ABC,：.DO1DE,

又/D_LDE且力DPIDO=。,AD,DOu平面/CD,

DE1平面ACD-

(2)過點E作ENLBC交8c與點N,連接CW,

,平面48cl平面5CE,且兩平面的交線為8C,ENu平面BCE,

二EN_L平面N8C,又QE//平面Z8C,

到平面Z8C的距離相等，

ADOUEN^,DO=EN,故四邊形。CWE為平行四邊形,

所以O(shè)NUDE.DE1平面ACD,

則ON_L平面/CD,OCu平面/CD,故ON_LOC,

乂因為4cB=45。,所以CO=ON,DE=ON,

而底面ABC為以4c為斜邊的等腰直角三角形,AC=2，故S“BC=gx2x1=1.

VV+VEN

故/AIDB<C_LD/CE=CE—A/1DB(C-EC-/IACCLDz3A/1-0C.AB3C+~DE&-S-CD3=-EN3+-DE-DO3=-'DO(i+/DE),

乂CD=1,DO、DE?=DCP+9=CD?=1,令。E=x(O4x41),

令f(x)=gDO(\+DE)=6-、3。+2f'(x)=3｝；.(1-2x),

所以〃x)在(0,g)單調(diào)遞增，在(；,1)單調(diào)遞減，

即^</(-)=—)當且僅當OE=x=g時取得最大值，

如圖所示，以點。為原點以O(shè)N,0C,。。為x,%z建立空間直角坐標系,

則/(0,-1,0),5(1-p0),￡(p0,y9,C(0,p0),0(0,0,小

河(鴻亭痂=鉆'￥),力=叫4?

設(shè)與CD所成角為a,ae(0,芻，則cosa=包絲絲^=避彳，

2|AM||CDI37

即當幾何體/SCDE體積最大時，AM與CO所成角的余弦值為叵.

37

20.(12分)

在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與

保障，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我國企業(yè)依靠自身強大的科研能力，果斷轉(zhuǎn)產(chǎn)自行研制新型全自

動高速口罩生產(chǎn)機，“爭分奪秒、保質(zhì)保量''成為口罩生產(chǎn)線上的重要標語.

（1）在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且

互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢.已知批次I的成品口罩生產(chǎn)中，前

三道工序

的次品率分別為勺=],￡=]，A=工.求批次I成品口罩的次品率0.

（2）已知某批次成品口罩的次品率為P（O<P<1）,設(shè)100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率為

9（P），記8（P）的最大值點為P“，改進生產(chǎn)線后批次J的口罩的次品率P/=P0.某醫(yī)院獲得批次I,

J的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用.經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)

人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求外，并判斷是否有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠

肺炎病毒的風險有關(guān)?

n(ad—be)-

附：K1

(〃+6)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

【解析】（1）批次I成品口罩的次品率為

p/=l-[(l-pi)(l-jp2)(l-p3)]=l-1^x||x||=A.

99

（2）100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率g（p）=C；00Pp-p）.

令"(p)=0,得p=0.01.

當pe(O,O.Ol)時,d(p)>0；當內(nèi)(0.01,1)時,d(p)<0.

所以s(p)的最大值點為%=0.01.

3

由(1)可知，0=萬=009,p」=Po=O.Ol,故批次J口罩的次品率低于批次I,

故批次J的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次I.

由條形圖可建立2x2列聯(lián)表如下:

口罩批次

核酸檢測結(jié)果合計

IJ

呈陽性12315

呈陰性285785

合計4060100

”(ad-bc?_100x(12x57-28x3)2

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)~40x60x15x85

100x600x600

—?11.765>10.828.

-40x60x15x8517

因此，有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風險有關(guān).

21.(12分)

已知橢圓C:￡+^=l(a>b>0)過點/(-2,0).右焦點為尸，縱坐標為|的點M在C上，且

AFIMF.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)過A與x軸垂直的直線為/,縱坐標不為0的點尸為C上一動點，過尸作直線尸4的垂線交/于

點。，證明：直線尸。過定點.

【解析】(I)設(shè)點廠(%。)，其中c=J^F>0,則

因為橢圓C過點”(-2,0),則a=2,

9

將點M的坐標代入橢圓C的方程，I=r

a2b2~

9

所以4一〃解得6=百，

工+廣

22

因此,橢圓C的標準方程為二+二=1

43

（2）設(shè)點尸（修,為）（々二±2,為片0）,則電=-^,

工0+Z

所以，直線尸/的垂線的斜率為4=-工/，由題可知尸（1,0）,

Y+2

故直線尸。的方程為夕=一」一（X-