三角函數(shù)的圖象與性質 省賽獲獎

第6節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質知

識

梳

理(π，－1)2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中k∈Z)[－1，1][－1，1]2ππ奇函數(shù)偶函數(shù)[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π](kπ，0)x＝kπ基

礎

自

測解析(1)函數(shù)y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z).(2)余弦函數(shù)y＝cosx的對稱軸有無窮多條，y軸只是其中的一條.(4)當k>0時，ymax＝k＋1；當k<0時，ymax＝－k＋1.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√答案D3.(2018·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(

)A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4答案B答案C規(guī)律方法

(1)三角函數(shù)定義域的求法①以正切函數(shù)為例，應用正切函數(shù)y＝tanx的定義域求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域.②轉化為求解簡單的三角不等式求復雜函數(shù)的定義域.(2)簡單三角不等式的解法①利用三角函數(shù)線求解.②利用三角函數(shù)的圖象求解.(2)法一

要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標系中畫出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示.法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示).(3)設t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，

當t＝1時，ymax＝1；規(guī)律方法求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值).(3)ymax＝－2×(－1)＋1＝3，規(guī)律方法

(1)求較為復雜的三角函數(shù)的單調區(qū)間時，首先化簡成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間，只需把ωx＋φ看作一個整體代入y＝sinx的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把ω化為正數(shù).(2)對于已知函數(shù)的單調區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調區(qū)間應為函數(shù)的單調區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調區(qū)間，從而利用它們之間的關系可求解，另外，若是