2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊 4-5-2 用二分法求方程的近似解 (4)教案

一、教學(xué)目標(biāo)1.理解二分法求解方程的基本思想和原理。2.掌握如何將方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)。3.掌握二分法的具體步驟。4.能夠應(yīng)用二分法求解簡單的方程。二、教學(xué)重點1.如何將方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)。2.二分法的具體步驟。三、教學(xué)難點如何將非單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)。四、教學(xué)方法講解法、示范演示法、交互式教學(xué)法五、教學(xué)過程Step1引入通過閱讀一道數(shù)學(xué)題目引導(dǎo)學(xué)生，認(rèn)識到二分法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例如：已知$x>0$，求$\sqrt{x}=2\cosx$的近似解，并精確到小數(shù)點后三位。Step2講解二分法的基本思想和原理對于一個單調(diào)遞增（或遞減）函數(shù)$f(x)$，如果$f(a)f(b)<0$，則在區(qū)間$[a,b]$內(nèi)必定存在一個實根。利用二分法，不斷縮小區(qū)間范圍，確定方程的實根所在位置。Step3將方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)對于非單調(diào)函數(shù)$f(x)$，我們可以將其轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)$g(x)$的形式，即$g(x)=f(x)-kx$，其中$k$是一個常數(shù)。通過調(diào)整常數(shù)$k$的值，使得函數(shù)$g(x)$的單調(diào)性不變。例如，在求解方程$\sinx=x^2$時，我們可以將其轉(zhuǎn)化為$f(x)=\sinx-x^2=0$，然后設(shè)$g(x)=\sinx-x^2-\frac{1}{4}$，即$k=\frac{1}{4}$，此時$g(x)$在$(0,\frac{\pi}{2})$上是單調(diào)遞增的。Step4二分法的具體步驟對于區(qū)間$[a,b]$，取其中點$c=\dfrac{a+b}{2}$，計算$f(c)$的值。根據(jù)中值定理，將區(qū)間$[a,b]$分成兩部分，分別判斷$f(a)f(c)<0$和$f(c)f(b)<0$是否成立。如果成立，則在區(qū)間$[a,c]$或$[c,b]$內(nèi)必定存在實根，繼續(xù)利用二分法縮小搜索區(qū)間的范圍。不斷重復(fù)以上步驟，直到找到方程的實根。Step5應(yīng)用二分法解題練習(xí)1：求方程$x^3-5x+1=0$在$(0,1)$內(nèi)的實根。解題思路：先證明$f(x)=x^3-5x+1$在區(qū)間$(0,1)$上單調(diào)遞增。若$0<x_1<x_2<1$，則$f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2-5)>0$，即$f(x)$在區(qū)間$(0,1)$上單調(diào)遞增。因此，我們可以將方程$x^3-5x+1=0$轉(zhuǎn)化為$f(x)=x^3-5x+1=0$的形式，并考慮使用二分法解題。取區(qū)間$[a,b]=(0,1)$，有$f(a)=1>0,f(b)=-3<0$，因此在該區(qū)間內(nèi)必定存在一個實根。取$c=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1}{2}$，計算$f(c)=-\dfrac{1}{8}$。由于$f(a)f(c)<0$，因此實根在區(qū)間$(0,\dfrac{1}{2})$內(nèi)。取$c=\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{4}$，計算$f(c)=\dfrac{15}{64}$。由于$f(a)f(c)>0$，因此實根在區(qū)間$(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2})$內(nèi)。取$c=\dfrac{3a+b}{4}=\dfrac{5}{16}$，計算$f(c)=-\dfrac{33}{4096}$。由于$f(a)f(c)<0$，因此實根在區(qū)間$(\dfrac{1}{4},\dfrac{5}{16})$內(nèi)。取$c=\dfrac{3a+b}{4}=\dfrac{13}{32}$，計算$f(c)=\dfrac{65}{32768}$。由于$f(a)f(c)>0$，因此實根在區(qū)間$(\dfrac{13}{32},\dfrac{5}{16})$內(nèi)。繼續(xù)使用二分法，可以得到方程的實根精確到小數(shù)點后6位為0.201417。六、板書設(shè)計1.二分法求解方程2.將方程轉(zhuǎn)化為單調(diào)函數(shù)3.二分法的具體步驟七、教學(xué)反思本節(jié)課介紹了二分法求解方程