2023年北京市昌平區(qū)高三二模理科數(shù)學(xué)

昌平區(qū)2023-2023學(xué)年第二學(xué)期高三年級期第二次質(zhì)量抽測

數(shù)學(xué)試卷（理科）

（總分值150分，考試時(shí)間120分鐘）2023.4

考生須知：

1.本試卷共6頁，分第一卷選擇題和第二卷非選擇題兩局部。

2.答題前考生務(wù)必將答題卡上的學(xué)校、班級、姓名、考試編號用黑色字跡的簽字筆填

寫。

3.答題卡上第I卷（選擇題）必須用2B鉛筆作答，第II卷（非選擇題）必須用黑色字跡

的簽字筆作答,作圖時(shí)可以使用2B鉛筆。請按照題號順序在各題目的答題區(qū)內(nèi)作答,

未在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答或超出答題區(qū)域作答的均不得分。

4.修改時(shí)，選擇題局部用塑料橡皮擦涂干凈，不得使用涂改液。保持答題卡整潔，不

要折疊、折皺、破損。不得在答題卡上做任何標(biāo)記。

5.考試結(jié)束后，考生務(wù)必將答題卡交監(jiān)考老師收回，試卷自己妥善保存。

第一卷（選擇題共40分）

一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).）

（1）集合A={x|2'>1},8={x|x<l},那么AB=

A.{x|x>l}B.{x|%>0}C.{x10<x<1}D.{x|x<1}

（2）命題p:VxeR,xN2,那么以下結(jié)論正確的是

A.命題—7?:VxeR,XW2B.命題一1〃：玉eR,x<2

C.命題-1p:VxwR,x^-2D.命題x<-2

x-3+1

（3）圓/+（丁一2）2=1的圓心到直線/"'（f為參數(shù)）的距離為

）=-2—

A.-----B.1C.D.2^/2

2

x+y>0,o

（4）設(shè)（,與拋物線丁=-41的準(zhǔn)線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為Q,P（x,y）

x-y>0

為。內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，那么目標(biāo)函數(shù)z=x—2y的最大值為

A.-1B.0C.21）.3

⑸在區(qū)間［0,可上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)xx>-"發(fā)生

2

的概率為

A.-B.-C.-D.-

3234

（6）四棱錐P-A8CO的三視圖如下圖，側(cè)視圖

俯視圖

那么此四棱錐的四個(gè)側(cè)面的面積中最大的是

A.3

B.2石

C.6

D.8

(7)如圖，在邊長為2的菱形ABCD

中，ZBAD=60,E為CD的中點(diǎn)，

那么的值為

A.1B.V3C.亞D.不

(8)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,其前〃項(xiàng)的積為9，并且滿足條件q>l,

。99即)0—1>0，&^<0.給出以下結(jié)論：

"100-1

①0<q<l；(g)-aiOt-1>0；

③丁網(wǎng)的值是中最大的；④使《〉1成立的最大自然數(shù)〃等于198.

其中正確的結(jié)論是

A.①③B.①④C.②③D.②④

第二卷(非選擇題共110分)

填空題(本大題共6小題，每題5分，共30分)

(9)二項(xiàng)式(2x+」)5的展開式中1的系數(shù)為

X

2

(10)雙曲線V一如"Mis〉。)的一條漸近線方程為

y=那么b=.

(11)如圖，A8切圓。于點(diǎn)A,AC為圓。的直徑,

8C交圓。于點(diǎn)。，E為C。的中點(diǎn)，且

BD=5,AC=6,那么CO=:

A￡=.

(12)執(zhí)行如下圖的程序框圖，

假設(shè)①是i<6時(shí)，輸出的S值為；

假設(shè)①是i<2013時(shí)，輸出的5值為.

圖1

4

1+-,U>4)

(13)函數(shù)/(x)=,x

log2x,(0<x<4)

假設(shè)關(guān)于X的方程/(x)=左有兩個(gè)不同的實(shí)根，那么實(shí)數(shù)％的取值范圍是.

(14)曲線c是平面內(nèi)到直線4：X=-1和直線4：y=i的距離之積等于常數(shù)

合僅>0)的點(diǎn)的軌跡.給出以下四個(gè)結(jié)論：

①曲線C過點(diǎn)(—1,1)；

②曲線C關(guān)于點(diǎn)對稱；

③假設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)分別在直線上，那么網(wǎng)|+歸卻不小于2k

④設(shè)玲為曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)庶關(guān)于直線》=-1、點(diǎn)及直線y=l

對稱的點(diǎn)分別為《、2、4，那么四邊形《66A的面積為定值4k2.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

(15)(本小題總分值13分)

函數(shù)/(x)=sin(^--2x)+2>j3cos2X,XGR.

TT

(I)求/%);

o

(ID求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

(16)(本小題總分值14分)

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCO是邊長為2的正方形，

側(cè)面底面ABC。，且24=尸。=立4。，

2

P

E、R分別為PC、BO的中點(diǎn).

(I)求證：EF〃平面P4O；/於匚二￡2^^=^.

(II)求證：面Q46_L平面POC；//尸二7

(in)在線段AB上是否存在點(diǎn)G,使得.1/

二面角C-PD—G的余弦值為工？說明理由.

3

(17)(本小題總分值13分)

某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)開展有大的提速，對市民進(jìn)行了“生活滿

意"度的調(diào)查.現(xiàn)隨機(jī)抽取40位市民，對他們的生活滿意指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分

布表：

滿意級別非常滿意滿意一般不滿意

滿意指數(shù)(分)9060300

人數(shù)(個(gè))151762

(I)求這40位市民滿意指數(shù)的平均值；

(II)以這40人為樣本的滿意指數(shù)來估計(jì)全市市民的總體滿意指數(shù)，假設(shè)從全市市民(人

數(shù)很多)中任選3人，記&表示抽到滿意級別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù).求J的分

布列；

(III)從這40位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為加，然后再隨機(jī)選另一個(gè)

人，記他的滿意指數(shù)為"，求〃2m+60的概率.

(18)(本小題總分值13分)

函數(shù)f(x)=^x2-a\nx(a>0).

(I)假設(shè)a=2,求/(幻在(1"⑴)處的切線方程；

(II)求/(處在區(qū)間［l,e］上的最小值；

(III)假設(shè)/(x)在區(qū)間(l,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

(19)(本小題總分值13分)

V22

如圖，橢圓=+4v=1(。>〃>0)的長軸為AB,過點(diǎn)8的直線/與x軸垂直，橢圓的離心

ab

率e:手/為橢圓的左焦點(diǎn)，且|4/忖爾［=1.

(I)求此橢圓的方程；

(II)設(shè)P是此橢圓上異于A,8的任意一點(diǎn)，軸，”為垂足，延長HP到點(diǎn)。使

得HP=PQ.連接AQ并延長交直線/于點(diǎn)M,N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以

為直徑的圓。的位置關(guān)系.

(20)(本小題總分值14分)

設(shè)數(shù)列｛4｝對任意〃eN*都有(切+A)(q+?！?+〃=2(%+4+4,)(其中4、b、

〃是常數(shù)).

⑴當(dāng)左=0,b-3,p=-4時(shí)，求4+。2+%++%；

(II)當(dāng)攵=1,b=0,p=0時(shí)，假設(shè)/=3,為=15,求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

am假設(shè)數(shù)列｛4｝中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，那么稱該數(shù)列是“封

閉數(shù)列”.當(dāng)％=1,。=0,p=o時(shí)，設(shè)s,是數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和，g―q=2,

試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{4},使得對任意“wN*,都有S“wO,

且.假設(shè)存在，求數(shù)列{q}的首項(xiàng)外的所有

12S]S,SySa18

取值；假設(shè)不存在，說明理由.

昌平區(qū)2023-2023學(xué)年第二學(xué)期高三年級期第二次質(zhì)量抽測

數(shù)學(xué)試卷參考答案〔理科〕

一、選擇題(本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).)

題號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)⑻

答案CBADCCAB

二、填空題〔本大題共6小題，每題5分，共30分.)

(9)80(10)6

(11)4；2底(12)5；2013

(13)(1,2)(14)②③④

三、解答題(本大題共6小題，共80分.解容許寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.)

〔15〕(本小題總分值13分)

解：[I)

,//(x)=sin(?-2x)+2百cos?x=sin2x+6cos2x+&=2sin(2x+?)+6..4分

￡)=2sin(y+1o+G=2x曰+G=26..6分

(II)f(x)=2sin(2x+|)+6的最小正周期T=半=7...................8分

j

又由2k兀-----<2XH——<2ATT+—=>kjv----<x<k7r^一(％cZ)可得

2321212

S77IT

函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k7r-—,k7T+-^(ZeZ)......13分

〔16〕(本小題總分值14分)

(I)證明：連結(jié)ACBD=F,

ABCD為正方形,尸為4c中點(diǎn)，

E為PC中點(diǎn).

,在△。以中，EF//PA...................2分

且E4u平面口4￡>,瓦'?平面。40；.￡：///平面24。.................4分

(II)證明：因?yàn)槠矫?4。，平面ABCD,平面P4Z)^ABCD=AD

ABCD為正方形,CD.LAD,C￡>u平面ABC。

所以CD_L平面P4O.

，CD±PA....................................6分

又PA=PD=^AD

所以是等腰直角三角形,

2

71

且NAPD=2即

2

CDPD=D,且C。、POu面PDC

.?.24，面尸。。

又24<=面~鉆，

...面B43J?面POC...............9分

(III)如圖，取AD的中點(diǎn)。,連結(jié)。尸，取尸.

VPA=PD,：.PO±AD.

?.?側(cè)面底面A8CD

平面曰。c平面ABC。=AD,

POL平面ABCZ),

而O,尸分別為AD,8。的中點(diǎn)，,OFIIAB,

又A8C￡>是正方形，故OF±AD.

VPA=PD=—AD,：.PAA.PD,OP=OA=1.

2

以。為原點(diǎn),直線OA,OF,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

那么有41,0,0),尸(0,1,0),￡>(-1,0,0),P(0,0,l).

假設(shè)在AB上存在點(diǎn)G,使得二面角C-PO—G的余弦值為I，連結(jié)PG,OG

3

設(shè)G(l,a,0)(04a42).

由(n)知平面PDC的法向量為PA=(1,0,-1).

設(shè)平面PGD的法向量為n=(x,y,z).；DP=(1,0,1),GO=(-2,-^0),

???由〃?。2=0,〃?6。=0可得<>，令x=l,那么y=--,z=-l,

-2?1-a?y+0?z=0a

M八2.n-PA221

故〃=(1,—,—1)??cos<n,PA>=]—r;—r=

T-3'

a,懊2+——

a2

解得，a=~.

2

所以，在線段AB上存在點(diǎn)G(l,’,0),使得二面角C—PD—G的余弦值為

23

.......................14分

(17)(本小題總分值13分)

解：〔I〕記又表示這40位市民滿意指數(shù)的平均值，那么

一I

X=—(90x15+60x17+30x6+0x2)=63.75(分)..............2分

(II〕:的可能取值為0、1、2、3.

.?冷的分布列為

0123

1124864

P

125125125125

...................8分

(III)設(shè)所有滿足條件〃2加+60的事件為A

①滿足m=0且〃=60的事件數(shù)為：&|47=34

!

②滿足m=0且〃=90的事件數(shù)為：A24=3。

③滿足m=30且〃=90的事件數(shù)為：父4=90

所以滿足條件，吐加+60的事件的概率為，」................13分

780

(18)(本小題總分值13分)

12

解：⑴a=2,f(x)=-x2-2\nx,f\x)=x——,

2x

f(x)在(1,7(I))處的切線方程為2x+2y-3=0..................................3分

(II)由/(x)=x—=--------

XX

由上>0及定義域?yàn)?0,+8),令f(x)=0,得x=?.

①假設(shè)G<1,即0<。41,在(l,e)上，f\x)>0,/(x)在［l,e］上單調(diào)遞增,

因此,/(x)在區(qū)間［l,e］的最小值為/(I)=；?

②假設(shè)l<G<e,即l<a<e2,在(1,6)上，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；在(G,e)

上，/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，因此/(%)在區(qū)間［l,e］上的最小值為

=—a(l-lna).

③假設(shè)G2e,即。次2,在(l,e)上，f\x)<0,f(x)在［e］上單調(diào)遞減,

1,

因此,/(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值為/(e)=-e2-?.

綜上,當(dāng)。時(shí)，￡加0)=；；當(dāng)Ivave?時(shí)，7mhi(x)=；a(l-lna)；

當(dāng)aNe?時(shí)，.7min(x)=ge2-a...........................9分

(III)由(II)可知當(dāng)0<a〈l或aNe?時(shí)，/(x)在(l,e)上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不

可能存在兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)l<a<e2時(shí)，要使/(x)在區(qū)間(l,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，那么

—4z(l-lnd;)<0,

2

AJ/(l)=i>0,即112,此時(shí)，e<tz<-e.

2ci<—e~2

1I2

/(e)=-e2-a>0,

所以，a的取值范圍為(e-e2)...........................................13分

2

(19)(本小題總分值13分)

解：(I)由題意可知，A(—a,0),B(a,0)F(-c,0),

x/J2c2cr-tr-13

又e=—，e=—=------=——=一解得"=4

2礦aa4

V*

所求橢圓方程為....................5分

(II)設(shè)尸(如先)，那么。(玉),2%)(/HZ,不工一2)

由4一2,0),得kAQ=—

所以直線A。方程y=3-(x+2)

'"%+2

由B(-2,0),得直線I的方程為x=2,

_x0+22%%

由kNQ

2-％的2-4

又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足橢圓方程得到：/2+4%2=4,

所以/2_4=-4靖

二直線NQ的方程：y-2y0=---(x-x0)

2%

22

化簡整理得到：x0x+2yy0=x0+4j0=4即/8+2%=4

4

所以點(diǎn)0到直線NQ的距離d=1=2=圓弼半徑

2

7v+4y0

直線NQ與4?為直徑的圓。相切..............................13分

(20)(本小題總分值14分)

解：(I)當(dāng)k=0,b=3,〃=一4時(shí)，

3(q+?！?-4=2(%+4+??)?①

用〃+1去代"得，3(6+。“+])—4=2(q+%+。"+%+1)，②

②一①得，3(an+1-??)=2an+l,an+x=3an,...........................................2分

在①中令九=1得，q=1,那么a,產(chǎn)0,.,.—^=3,

二數(shù)列僅“｝是以首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

.3"-1

??q+%+%++a“=———...........................................................

③

III)當(dāng)Z=l,b-Q,p=0時(shí)，n(at+a”)=2(a(+a2+a”)，

④

用〃+l去代〃得，(〃+1)?+a“+|)=2(q+%+??+a?+1),

④一③得，(n-l)an+l-nan+q=0,⑤.

用〃+1去代”得，”。"+2一(〃+