矩形法求定積分及其程序與程序框圖地實現(xiàn)

矩形法求定積分及其程序與程序框圖的實現(xiàn)――實例探索定積分思想，切實提高課堂效果王亮佛岡縣第一中學數(shù)學科【摘要】定積分“四部曲”思想，對高中生來說不易接受，教學上用計算機來演示矩形法求定積分的過程，可以幫助學生梳理定積分思想，并喚起對程序框圖等相關知識的記憶，認識到數(shù)學知識也可以用電腦去實施檢驗的，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣與熱情，可以培養(yǎng)學生邏輯思維能力，以及提出問題、分析問題、解決問題的能力。本文主要探究在VC6下的程序設計思想及實現(xiàn)過程和將設計思想寫成程序框圖，可供學生思考及反思，可提高教學效果?！娟P鍵詞】定積分思想程序框圖VC6程序設計在《1.5定積分的概念》這一節(jié)的教學過程中，求定積分的四步曲（分割--近似代替--求和--取極限）[1]對現(xiàn)年齡階段的高中生來說比較抽象，難理解，老師需要對四步曲中的每一步都要講清講透，講清為何這么做，這么做的理由又是什么。下面以VC6為例，談談定積分四步曲同計算機程序結合以及由此得出相應的程序框圖并與數(shù)學課程整合的過程。理論指導如右圖，要求出圖1曲面（陰影部分）的面積，用一般方法，我們是無法求出的，因為有一邊是曲的，不是直的。人們經過一系列的探索之后，發(fā)現(xiàn)有一種方法可以求曲面圖形的面積，思路是這樣的（如下圖）：先將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，如果n足夠大，以至于圖中h1與h2特別靠近，此時的f(h1)≈f(h2),上端曲的（①處）可以認為就是直的了（這就是以曲代直的原因）。此時的小曲邊整部分面積近似等于小矩形面積，接著我們可以把分成的n-1個小矩形的面積累加起來，這就得到了曲面（陰影部分）的面積。課本上的第四步“取極限”是什么意思呢？意思就是說我們分的小區(qū)間數(shù)n要無窮大，這樣誤差才很小。二、實踐是檢驗真理的唯一標準馬克思最早提出“檢驗真理的唯一標準就是實踐”[2]。第一部分的理論指導，符合我們的邏輯思維，但我們還要用實踐去檢驗它，證明它。由此我根據(jù)理論指導，用一個求例子來分析定積分的四步曲思想，并用VC6作以下設計：①分割，就是將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，對應的計算窗口要有這樣的功能：輸入a，b和n值，這些不是固定的，可以靈活變動數(shù)據(jù)，于是我設計了四個文本框，其中三個對應輸入a,b,n的值，還有一個文本框用來輸出定積分結果。②近似代替，為了達到近似代替的目的，要求我們輸入的n盡量大。③求和：就是將每個小矩形面積進行累加，對此我設計了一個叫calSum的函數(shù)，用來計算各個小矩形面積的和。④取極限：這也是要求我們輸入的n值盡量夠大，以減少誤差的目的，但在計算機上運行時，若n很大，會大量消耗CPU，會造成窗口界面的卡死（有可能造成死機），為了解決這個問題，我采用線程技術，就是開一個輔助線程來執(zhí)行calSum函數(shù)，這樣界面就不會卡死了。⑤設計二個按鈕，一個是“開始計算”按鈕，用來開個線程并計算定積分的，另一個是“關閉”按鈕，點擊它，以退出程序。整個設計窗口如右圖所示：下面是對應的程序框圖及主要程序：輸入積分下限a,積分上限b,區(qū)間分割數(shù)nvoidCINTEGRALDlg::calSum(){floatsum,i,l,h;sum=0;輸入積分下限a,積分上限b,區(qū)間分割數(shù)nvoidCINTEGRALDlg::calSum(){floatsum,i,l,h;sum=0;l=(b-a)/n;//計算矩形X軸方向的長for(i=0;i<n;i++){ h=(float)pow(a+i*l,2)+1;//將X軸方向的數(shù)字代入方程X^2+1中，求得矩形的高sum=sum+l*h;//將每個矩形的面積累加} CStringstr; str.Format("%.5f",sum); m_out.SetWindowText(str);}s=s+L*H開始i<n?i=1,s=0，L=(b-a)/n是否輸出s結束H=(a+i*L)^2+1i=i=i+1下面看看測試程序結果與實際誤差我們測試幾組值，以檢驗計算結果與真實值的誤差大?。航M數(shù)積分下限a積分上限b區(qū)間分割數(shù)n計算結果真實值第1組39100237.84355240第2組391000239.78391240第3組395000239.95685240第4組3910000239.97815240第5組39500000239.99342240由實踐數(shù)據(jù)可知，相同的上下限，當n越大時，結果越接近實際值240，這就用電腦程序實踐證明了定積分四步曲思想（矩形法計算曲面面積）的正確性，也符合我們的邏輯思維。該程序及程序框圖在課堂上的演示教師在講解人教版高中數(shù)學選修2-2

《1.5定積分的概念》之前，我覺得要先引入個實際例子，“比如一塊邊長為1米的正方形鐵塊，理想上可以切得多少塊如上面圖1的曲面鐵塊？”，這比起直接就講定積分四步曲的效果好多了，因為現(xiàn)在的高中生對數(shù)學感覺到特別枯燥無味，認為學數(shù)學就是為了計算，除了計算別無它用處。引入這個實際例子后，完全可以打消這部分學生的不好念頭，讓其覺得學數(shù)學其實也很有趣的，可以解決生活中的實際問題。引入這個例子后，讓學生觀察曲面鐵塊圖形，此時的學生認為必須要算出曲面鐵塊的面積，方能算出可以切得多少塊這樣的鐵塊。可邊是曲的，如何計算呢？一下子，就激發(fā)了學生的學習興趣，老師適當?shù)匾龑W生閱讀并思考四步曲的思想。為了讓學生更好的學好本節(jié)內容，我將上面的用程序實際四步曲的過程一一講解講透，并用電腦操作測試上面5組數(shù)據(jù)，由于有了同實際相結合的操作與演示，學生對此部分的內容理解變得輕而易舉了。教學期間，可以讓學生思考下如何設計這樣的程序框圖？這樣承前啟后，更利于學生更好地掌握所學的定積分思想與內容。向學生展示完以后，試問學生有沒有更好的方法求曲面圖形的面積？讓學生利用課余時間上網探索相關的信息，并在下一節(jié)課將探索結果講解給老師聽。其實還有精度更高的方法，比如梯形法，拋物線法[3]等方法，讓學生自主去搜索信息，更好地培養(yǎng)了學生動手能力，邏輯思維，以及提出問題，分析問題，解決問題的能力。教師在教學過程當中要用好信息技術帶來的便利，避免枯燥無味的教學手段，給學生提供一個良好的學習環(huán)境。本程序及程序框圖與課堂有效結合，有利于教師更好的教學，對學生的學習效果也有很大的幫助。參考文獻：[1