矩形法求定積分及其程序與程序框圖地實(shí)現(xiàn)

矩形法求定積分及其程序與程序框圖的實(shí)現(xiàn)――實(shí)例探索定積分思想，切實(shí)提高課堂效果王亮佛岡縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)科【摘要】定積分“四部曲”思想，對(duì)高中生來說不易接受，教學(xué)上用計(jì)算機(jī)來演示矩形法求定積分的過程，可以幫助學(xué)生梳理定積分思想，并喚起對(duì)程序框圖等相關(guān)知識(shí)的記憶，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)也可以用電腦去實(shí)施檢驗(yàn)的，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，以及提出問題、分析問題、解決問題的能力。本文主要探究在VC6下的程序設(shè)計(jì)思想及實(shí)現(xiàn)過程和將設(shè)計(jì)思想寫成程序框圖，可供學(xué)生思考及反思，可提高教學(xué)效果?！娟P(guān)鍵詞】定積分思想程序框圖VC6程序設(shè)計(jì)在《1.5定積分的概念》這一節(jié)的教學(xué)過程中，求定積分的四步曲（分割--近似代替--求和--取極限）[1]對(duì)現(xiàn)年齡階段的高中生來說比較抽象，難理解，老師需要對(duì)四步曲中的每一步都要講清講透，講清為何這么做，這么做的理由又是什么。下面以VC6為例，談?wù)劧ǚe分四步曲同計(jì)算機(jī)程序結(jié)合以及由此得出相應(yīng)的程序框圖并與數(shù)學(xué)課程整合的過程。理論指導(dǎo)如右圖，要求出圖1曲面（陰影部分）的面積，用一般方法，我們是無法求出的，因?yàn)橛幸贿吺乔?，不是直的。人們?jīng)過一系列的探索之后，發(fā)現(xiàn)有一種方法可以求曲面圖形的面積，思路是這樣的（如下圖）：先將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，如果n足夠大，以至于圖中h1與h2特別靠近，此時(shí)的f(h1)≈f(h2),上端曲的（①處）可以認(rèn)為就是直的了（這就是以曲代直的原因）。此時(shí)的小曲邊整部分面積近似等于小矩形面積，接著我們可以把分成的n-1個(gè)小矩形的面積累加起來，這就得到了曲面（陰影部分）的面積。課本上的第四步“取極限”是什么意思呢？意思就是說我們分的小區(qū)間數(shù)n要無窮大，這樣誤差才很小。二、實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)馬克思最早提出“檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)就是實(shí)踐”[2]。第一部分的理論指導(dǎo)，符合我們的邏輯思維，但我們還要用實(shí)踐去檢驗(yàn)它，證明它。由此我根據(jù)理論指導(dǎo)，用一個(gè)求例子來分析定積分的四步曲思想，并用VC6作以下設(shè)計(jì)：①分割，就是將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，對(duì)應(yīng)的計(jì)算窗口要有這樣的功能：輸入a，b和n值，這些不是固定的，可以靈活變動(dòng)數(shù)據(jù)，于是我設(shè)計(jì)了四個(gè)文本框，其中三個(gè)對(duì)應(yīng)輸入a,b,n的值，還有一個(gè)文本框用來輸出定積分結(jié)果。②近似代替，為了達(dá)到近似代替的目的，要求我們輸入的n盡量大。③求和：就是將每個(gè)小矩形面積進(jìn)行累加，對(duì)此我設(shè)計(jì)了一個(gè)叫calSum的函數(shù)，用來計(jì)算各個(gè)小矩形面積的和。④取極限：這也是要求我們輸入的n值盡量夠大，以減少誤差的目的，但在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行時(shí)，若n很大，會(huì)大量消耗CPU，會(huì)造成窗口界面的卡死（有可能造成死機(jī)），為了解決這個(gè)問題，我采用線程技術(shù)，就是開一個(gè)輔助線程來執(zhí)行calSum函數(shù)，這樣界面就不會(huì)卡死了。⑤設(shè)計(jì)二個(gè)按鈕，一個(gè)是“開始計(jì)算”按鈕，用來開個(gè)線程并計(jì)算定積分的，另一個(gè)是“關(guān)閉”按鈕，點(diǎn)擊它，以退出程序。整個(gè)設(shè)計(jì)窗口如右圖所示：下面是對(duì)應(yīng)的程序框圖及主要程序：輸入積分下限a,積分上限b,區(qū)間分割數(shù)nvoidCINTEGRALDlg::calSum(){floatsum,i,l,h;sum=0;輸入積分下限a,積分上限b,區(qū)間分割數(shù)nvoidCINTEGRALDlg::calSum(){floatsum,i,l,h;sum=0;l=(b-a)/n;//計(jì)算矩形X軸方向的長(zhǎng)for(i=0;i<n;i++){ h=(float)pow(a+i*l,2)+1;//將X軸方向的數(shù)字代入方程X^2+1中，求得矩形的高sum=sum+l*h;//將每個(gè)矩形的面積累加} CStringstr; str.Format("%.5f",sum); m_out.SetWindowText(str);}s=s+L*H開始i<n?i=1,s=0，L=(b-a)/n是否輸出s結(jié)束H=(a+i*L)^2+1i=i=i+1下面看看測(cè)試程序結(jié)果與實(shí)際誤差我們測(cè)試幾組值，以檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果與真實(shí)值的誤差大?。航M數(shù)積分下限a積分上限b區(qū)間分割數(shù)n計(jì)算結(jié)果真實(shí)值第1組39100237.84355240第2組391000239.78391240第3組395000239.95685240第4組3910000239.97815240第5組39500000239.99342240由實(shí)踐數(shù)據(jù)可知，相同的上下限，當(dāng)n越大時(shí)，結(jié)果越接近實(shí)際值240，這就用電腦程序?qū)嵺`證明了定積分四步曲思想（矩形法計(jì)算曲面面積）的正確性，也符合我們的邏輯思維。該程序及程序框圖在課堂上的演示教師在講解人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2

《1.5定積分的概念》之前，我覺得要先引入個(gè)實(shí)際例子，“比如一塊邊長(zhǎng)為1米的正方形鐵塊，理想上可以切得多少塊如上面圖1的曲面鐵塊？”，這比起直接就講定積分四步曲的效果好多了，因?yàn)楝F(xiàn)在的高中生對(duì)數(shù)學(xué)感覺到特別枯燥無味，認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)就是為了計(jì)算，除了計(jì)算別無它用處。引入這個(gè)實(shí)際例子后，完全可以打消這部分學(xué)生的不好念頭，讓其覺得學(xué)數(shù)學(xué)其實(shí)也很有趣的，可以解決生活中的實(shí)際問題。引入這個(gè)例子后，讓學(xué)生觀察曲面鐵塊圖形，此時(shí)的學(xué)生認(rèn)為必須要算出曲面鐵塊的面積，方能算出可以切得多少塊這樣的鐵塊。可邊是曲的，如何計(jì)算呢？一下子，就激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，老師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生閱讀并思考四步曲的思想。為了讓學(xué)生更好的學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，我將上面的用程序?qū)嶋H四步曲的過程一一講解講透，并用電腦操作測(cè)試上面5組數(shù)據(jù)，由于有了同實(shí)際相結(jié)合的操作與演示，學(xué)生對(duì)此部分的內(nèi)容理解變得輕而易舉了。教學(xué)期間，可以讓學(xué)生思考下如何設(shè)計(jì)這樣的程序框圖？這樣承前啟后，更利于學(xué)生更好地掌握所學(xué)的定積分思想與內(nèi)容。向?qū)W生展示完以后，試問學(xué)生有沒有更好的方法求曲面圖形的面積？讓學(xué)生利用課余時(shí)間上網(wǎng)探索相關(guān)的信息，并在下一節(jié)課將探索結(jié)果講解給老師聽。其實(shí)還有精度更高的方法，比如梯形法，拋物線法[3]等方法，讓學(xué)生自主去搜索信息，更好地培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手能力，邏輯思維，以及提出問題，分析問題，解決問題的能力。教師在教學(xué)過程當(dāng)中要用好信息技術(shù)帶來的便利，避免枯燥無味的教學(xué)手段，給學(xué)生提供一個(gè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境。本程序及程序框圖與課堂有效結(jié)合，有利于教師更好的教學(xué)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果也有很大的幫助。參考文獻(xiàn)：[1