第六章關(guān)于鞅方法定價

第六章鞅方法定價在上一章的二項樹模型下，我們證明了，當(dāng)完備市場中不成在套利機(jī)會時，市場存在唯一概率——等價鞅測度——可以用來給期權(quán)和期貨定價。在這一章，我們先在二項樹模型下詳細(xì)解釋等價鞅測度的含義。接著，我們討論一般結(jié)果。我們將證明，這個結(jié)果在比二項樹模型更復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中也成立。在許多背景下，我們并不需要利用市場均衡來給衍生資產(chǎn)定價，而是利用套利定價原理來進(jìn)行定價——如果證券市場不存在套利機(jī)會，則衍生證券的價格完全由別的長期證券的價格過程來決定。在這個定價的過程中，我們通常把一個長期證券集的價格過程視為給定而來進(jìn)行定價。這樣就自然產(chǎn)生一個問題：如何確定被我們視為給定的價格過程不存在套利機(jī)會？價格過程不存在套利機(jī)會的充分必要條件是，通過變換概率測度和對價格過程進(jìn)行某種正規(guī)化之后，這些價格過程是鞅過程。無套利和鞅過程之間的這種特殊關(guān)系也可以直接用來對衍生證券進(jìn)行定價。作為一個應(yīng)用，我們將用這種方法來對期權(quán)進(jìn)行定價，得到期權(quán)定價的一種新的方法。1．二項樹模型中的等價鞅測度在二項樹模型中模型圖1一期二項式生成過程這里=股票在時間的價格=股票價格上漲的概率=一期的無風(fēng)險利率=股票價格上漲的乘子=股票價格下跌的乘子在每一期末，股票價格或者以概率漲為，或者以概率跌為。每期的無風(fēng)險利率為。對的限制為，這是無套利條件。直觀地可以看出，無論是（這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率高）還是（這時，無風(fēng)險利率總比股票的風(fēng)險回報率低），都存在套利機(jī)會。等價鞅測度的含義：叨等價港的含飽義：稱當(dāng)實死際的棍概率諸為正蘆時，刻也為咳正。逝條件奧期望豬直觀俊解釋筋：在泥某種均條件玩下的枕期望燃值。甘例子特：廟用密前度函沈數(shù)來貴刻畫放例子祥：極在二仇項樹腰下的販條件應(yīng)期望證鞅秋的含籮義：冠即，槽和斬均是個鞅過司程。院等價吩鞅測講度存繼在性訂：定義，則摸從暫的定侵義可串以看勤出，籠無套為利條渣件睡成立迅當(dāng)且毯僅當(dāng)猴大于恰0而憂小于風(fēng)1（提即，熊是概斷率）胞。樸等價熊鞅測鞭度唯考一性錄：上恢面定繞義的心是使曲得下板式成特立（錄即股牙票和雷期權(quán)金價格種的折瞇現(xiàn)值矛是鞅悉）的脹唯一慢概率玩。房（錄Ma厚rt豪in索ga收le柱s趕ar逢e桶as希so士ci龜at莫ed慌w鋒it崇h覺“f索ai臉r”歇g幟am擁bl杠es喇b符ec險au界se洲e想xp跡ec巴te韻d延va刃l(wèi)u席es壓a辱lw瑞ay噸s惕eq姓ua付l雜cu背rr攪en貴t蝶va辱lu舅es梨.豬In敬f柏in中an奏ce引,頓th施is封s拾en運(yùn)se蠢o假f霧fa鹿ir期ne情ss恒t姑ra夢ns陜la肝te制s州in碧to跌p所ri蠻ce坦s遷an躁d探a染pr桃ic朋in晴g誼sy纏st賀em刊w裝i已th扣n積o歉ar構(gòu)bi傻tr險ag補(bǔ)e斥op逢po暴rt狀un錄it即ie糾s.捐）艇性質(zhì)輩：在醬一個躲二項掛樹模踐型中勢，股蛾票和縱無風(fēng)悅險證無券之姥間不彩存在緩套利醫(yī)機(jī)會籃的充績分必淺要條奴件是叔存在瑞唯一壇的等售價鞅絞測度歇。刃熟證明蘇：超例子概：無機(jī)套利味驗證蒙例子取：期碎貨合自約的露無套趟利定滔價子例子障：不隙完備車市場扎的等獅價鞅多測度悉不唯查一。命護(hù)注：適(1選)順Th累e苗im惑po拉rt屆an族ce鑄o竊f逼th蛋is應(yīng)p醫(yī)ro叮po跳rt獵io秤n菌to窩o闖pt遺io登n訴pr娘ic債in跳g將ca局nn次ot雅b珠e嗓ov登er界st轟at刻ed圍.擁It丟t灣ak亭es叨a誼n頁ec綁on趟om哪ic逆n志ot華io食n播of市n事o懂a(chǎn)r謙bi訊tr壺ag訊e螞op估po我rt腥un扯it顆ie規(guī)s芽an偏d氧tr務(wù)an腿sf刑or疼ms嫩i差t提in菠to法a崗m欲at昆he握ma架ti術(shù)ca丈l鐘no導(dǎo)ti滅on奸o踏f侮a成ma赴rt敞in葛ga仆le攜.嶺As覺a程m屑at寒he忌ma蔥ti杏ca獄l經(jīng)no診ti宗on合,喝th鐵eo笨re費ms角c水a(chǎn)n社b液e壺pr研ov芝en滿,絡(luò)fo截rm嗓ul揚(yáng)as膠d石er連iv慢ed熔,重an門d遵co言mp脆ut剩at肆io牌ns框p鞋er拘fo餐rm緒ed雷,欣wh位ic右h碑wo女ul糕d輝be鵲i姥mp敬os聰si戰(zhàn)bl奴e貍us欠in叢g貪th俯e昏ec膊on談om霜ic雕n徒ot邪io火n凍al恢on幫e.郵葡(2扣)捕推廣步：利徹率衍閥生產(chǎn)將品，唯利率厘是隨攀機(jī)的茅，以沃商品艇為標(biāo)惰的物矮的衍苦生產(chǎn)鐵品，么外匯嗽衍生懶產(chǎn)品笛。費2．他一般統(tǒng)經(jīng)濟(jì)憑系統(tǒng)萌2.雞1齒不確索定性礦經(jīng)濟(jì)糞環(huán)境食余我們未考慮濁一個別具有昏唯一烤易腐跌消費組品的誼證券涼市場賽經(jīng)濟(jì)頁。如晃果沒螺有特剖別地衫強(qiáng)調(diào)暖，我住們用陣表示辭不確筆定經(jīng)溪濟(jì)環(huán)登境中拖具有睜有限歡狀態(tài)腿的狀廟態(tài)空周間，咬用腐F案=厚表示定信息只結(jié)構(gòu)棍，對品任意香。和磨第一鉛章一育樣，坦我們刪假設(shè)壓到時摘間企，投升資者乏就完蹄全知脆道真朋實的擠狀態(tài)蒜且跨{蠟?,肯}。緩證券廣市場漁具有乖+1私種長防期證懼券，凳以擱作為鼓指標(biāo)陳。長離期證岡券債的特分征由伶其紅累利過為程頸來刻恒畫，吼這里副表示莖以消薦費品捏為單嗎位，較在時邁間限支付晚的隨亮機(jī)紅趁利。戶紅利刑過程鄭適應(yīng)首于謀F掘。為宰使得延分析攤簡化姜，我普們不足妨假俱設(shè)第乘0種孫長期振證券提直到筒時間年才支僑付紅旁利，凝在時豎間嗚，不覺管哪儉個狀心態(tài)發(fā)磁生，固支付鉆的紅戰(zhàn)利均恩為一市個單蠅位的吧消費杜品。汗從這箏個假東設(shè)我楚們可駕以看炊出，亮第0假種證聰券事盟實上蕉是一脂種甘期的霉面值婆為1糧的折綱現(xiàn)債倒券。煙摩第0泡種證介券在較時間旋的價儉格以賠表示么，元；而撇第糕（這）種們證券抗在時嘗間史的分蘿紅后傘價格蜻以豎表示逢。因陷為價豆格過忘程是脖分紅詞后的昂價格斬，所談以有斑。自港然地示，我齊們假懂設(shè)悼和土是關(guān)嘗于議可測戀的。椒因為確在經(jīng)荒濟(jì)均等衡中呆能夠桌確定蝴的只筑是證牢券的銜相對抬價格箏，所樂以不塵失一雙般性俱，我笛們假潑設(shè)長獎期證晨券的使價格閑以唯原一的面消費滋品為遷單位恥，即殲消費塞品的怨價格尋為1治。謀經(jīng)濟(jì)味中有茶個個停體，翅以橫作為倡指標(biāo)擾。每谷個個居體具苦有時艷間可絮加的哨效用壇函數(shù)岔，這聰些函晉數(shù)是瞞單調(diào)燦增的墳、嚴(yán)孔格凹面的、攤可微習(xí)的。定我們登假設(shè)際，這盯個假駝設(shè)保躺證所葬有個盈體都女選擇餡嚴(yán)格憤正的細(xì)消費充。我北們假冬設(shè)個影體的滅主觀羨概率士為綱，并棗且任爆意不擦確定搜狀態(tài)毒的概遣率大漲于0慶。我迎們假病設(shè)個賤體擁諷有的辭稟賦粱是長袍期證欠券，撿份額沃為冊，弦表示離個體障在時謝間0索擁有懶的第啄0種裝證券勵的份厭數(shù)。結(jié)表示藍(lán)個體語在時燙間0斷擁有顆的第田種證煌券的蛾份數(shù)煉。為洪了避股免退誠化情厚形，蒸我們揀假設(shè)街對每邪個個乞體武而言桿，彎0，瘦0且偵存在悅某個勻使得伴>歸0鋸。蓮定義奪1：戰(zhàn)一個異交易拴策略菠是一閘個做維過俯程,阻這里記，沫和詞分別饞表示煌個體掉在時友間似的交宣易發(fā)挖生前覆，持眾有的樸從時途間份-1村到時竿間吐的第懇0種鼓證券喜和第渾證券荒的份抵?jǐn)?shù)。谷殃一個獸交易布過程很一定催是一姥個可頑料過曉程。順簽我們跟引入盯記號醉定義彩2：帶一個航消費猜計劃快是一鉤個適令應(yīng)于銷F聰?shù)倪^易程：，鉆這里夏表示頭以唯釘一消牽費品姑為計公量單木位，窯個體勵在時惠間舟的隨況機(jī)消網(wǎng)費。芽定義庸3：晃一個竄交易嶼策略驗稱為徑可行發(fā)的智，如館果它仔是可痕料的展且存課在一流個消振費計懼劃滾使得賓，對稠于任禾意臉有餃，嚴(yán)（踢2-障1）這里，。屬我們戲用續(xù)H鈔表示抄所有屬的可汁行的比策略柏形成普地集貢合。染注：摘1.公園關(guān)系路（2微-1撈）是席一種陽自然蓋的預(yù)活算約脹束：終在鼻期收充入（信包括睬證券燥組合位的市寧場值廈和紅乏利）膏用于攻消費開和下蟲一期鳳的投復(fù)資（特購買貸下一乳期的默證券退組合僻）。豐2.伯秘因為把，且惡對所籍有的里而言泥，慈，所露以（秒2-由1）塞的左潑邊為筍0，勵從而赤（2酬-1曉）變梨成+管即在嘴期末尿，所旅有的政財富份都用洪于消榜費。漂3捉.刷在掛（1闖-2倒4）觸中的廚消費臟計劃涉稱為勁是由載交易狗策略惑融資遍的，派以廉來表到示。專我們揭用稠C槳表示摟所有廢由可很行交石易策獄略融馬資的兆消費散計劃妥的集仰合。芒4金.團(tuán)因為筍一個攜長期明證券真是由急它在喘每個障時間谷的紅充利來解刻畫嗚地，貨所以辨我們繭可以羊把由種可行創(chuàng)交易漠策略遣融資道地消籠費計答劃視斷為長炭期證剖券。呈2.梯2好套利嘴、狀撲態(tài)價遙格和醬鞅醋凡正如舒我們慘在前爛言中飾提到愧的一役樣，思本章布的主椒要目舌的之粥一在襲于，踐給定腐價格奉系統(tǒng)甲，如昆何確孕定其難余衍凍生資垂產(chǎn)的蕉價格慕。因煙此，寨我們錘第一批步就針是驗鉛證這析個價府格系伍統(tǒng)是充否具猶有某駕種意相義上煎的傻“會合理峽性慰”段，以學(xué)及為餡了滿序足這鳴種合航理性慌該價買格系仗統(tǒng)應(yīng)粉該滿犧足的膛條件而。因閑為對嗚合理遠(yuǎn)性的降要求序越弱上，這驚種合革理性振的應(yīng)防用也簡就越芒強(qiáng)，以所以弦我們揪下面亭給出傘價格士系統(tǒng)彩為了站具有沸某種濤合理她性應(yīng)擴(kuò)該滿北足的坑條件催，并德使得匙這個亦條件洽盡可冶能地弟弱。壩鈔從最剛理想演的角乖度出煮發(fā)，槍這個海價格獨系統(tǒng)睬具有盛的合預(yù)理性多也應(yīng)撒該是彈一個融均衡復(fù)價格省系統(tǒng)渾應(yīng)該拌具有鉆的。梨因為蓬經(jīng)濟(jì)惠中的相個體惠具有撕非滿揀足性杰，所抄以要療使得斗一個納價格凱系統(tǒng)曉是均從衡的溪，這霧個價抱格系昌統(tǒng)就芝不能仿存在扛套利說機(jī)會斤。因播此我揉們把洽這個險均衡盯價格紡系統(tǒng)嘩具有啞的性竿質(zhì)作當(dāng)為價箏格系濁統(tǒng)勾必須銳滿足菠的合朽理性耍。下傅面給膠出目該前經(jīng)淹濟(jì)環(huán)徒境中鞋套利咽機(jī)會綱的嚴(yán)址格定鍋義。魄定義偵3：搏一個街套利喘機(jī)會嬌指的法是由據(jù)某個兵可行看交易繁策略翅融資楊的消灘費計冊劃觀，滿誕足下污列條蔥件：促1．例是非槳負(fù)的度，且房至少負(fù)存在糕某個教時間晨，使沾得旺>0留的概宅率嚴(yán)浴格為沒正。2．寸直觀靈上來款說，藍(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備的溪。味這種載資產(chǎn)益定價也的鞅嘆方法嫁簡化烏了很繡多看雹起來盜非?；@復(fù)雜缺的資繳產(chǎn)定添價問絹題，何例如卻美式鴉期權(quán)抓的定跑價。榆鞅方庭法還慚可以襪在比趴這里光更一售般的宏環(huán)境恭中得感到廣昨泛地?fù)駪?yīng)用昂，例賠如，農(nóng)這里屋假設(shè)蒸存在著無風(fēng)槽險的梅債券債只是枕為了扁研究哈的方壺便，核我們偷可以揀以任深意一諒種證羊券為除計量濟(jì)單位驅(qū)來計指算所說有證動券的胞價格啦及其手積累哭紅利課的折衛(wèi)現(xiàn)值學(xué)。記2.換3慮狀態(tài)標(biāo)-價仙格和攏等價北鞅測麥度的蔬顯示資表示高怒在上憤一節(jié)掃，我辯們證戰(zhàn)明了添價格耀系統(tǒng)玩無套藥利當(dāng)除且僅稠當(dāng)存悅在等炒價鞅乒測度歷和狀盼態(tài)-烘價格熊緊縮鳥算子版。這往是關(guān)財于等頭價鞅舒測度墨和狀晶態(tài)-鉤價格房緊縮茫算子橋的存梢在性翻問題浴。但貫在實羅際應(yīng)嫁用中蜜，僅建僅知粒道存梁在性危并不汽能解皮決問育題，差我們熊還必畜須能故夠顯懂示地氣表示奉等價者鞅測緣度和賄狀態(tài)術(shù)-價釀格緊漸縮算正子。券在這運(yùn)一章怎中，企我們晃利用振個體飄的效沿用函哨數(shù)來乏研究乘這個籍問題狡。另箱外，近在我蔬們上辨面證革明等雜價鞅緞測度像的存鳴在性上時，凝我們核取的火原概丟率為益任意卷一個私個體咱的主嘴觀概群率，茫那么受，當(dāng)小我們票取的網(wǎng)原主章觀概沙率不員同時澤，是阿否會遞得到駐不同怒的等他價鞅皆測度潮，從崗而對槐同一院衍生解證券遞而言瘋，不棉同的貢個體守是否者會有松不同搖的價媽格？御我們辟會看救到，反盡管娃個體喚的原參主觀李概率歡不同裙，但才當(dāng)市擊場是儉完備油時，嚇?biāo)麄兌兜玫秸椎牡券B價鞅狐測度勺卻相登同，護(hù)從而仿對同次一衍習(xí)生證柿券而認(rèn)言，等不同連的個溪體會爆得到蓋相同齒的價情格。懲至于甚市場睡不是哨完備砌的情咬形，虹我們堡將在星第八廳章中麻討論截。疊蒙給定初價格雀系統(tǒng)繳，經(jīng)嫂濟(jì)中膛個體孩解決校如下夠的最拿優(yōu)化攤問題飄：桶受約雕束于披漁詳軌權(quán)塵訊顫互馳蜂臨擱景（烘2-跑9）添是由副融資希的許這里趴表示舅在概酸率規(guī)之下時的期建望。咽泄因為欣狀態(tài)血數(shù)目仿是有區(qū)限的與且個萬體只疤選擇投非負(fù)西的消拼費計眠劃，哪所以滲我們踩可以喚證明到價格蝴系統(tǒng)流無套麥利當(dāng)懇且僅用當(dāng)最陽優(yōu)化泄問題轎（2秀-9閉）的娘解存姻在。仇定理搜3：漲價格濤系統(tǒng)志無套毫利當(dāng)派且僅簽當(dāng)最籮優(yōu)化抽問題界（2義-9單）的框解存搏在。奧證明旱：細(xì)我們芳以冰H談表示日初始薯成本奇為垮的可押行策港略構(gòu)秋成的砌集合劃。定轉(zhuǎn)義集純合尚=字H職。答即，偶表示僵由稟李賦榆出發(fā)振的可縫行策梨略融擊資的緊消費艇集合脊，顯場然杯乘積架空間右。截定義聚算子木：。慚如果遞在乘括積空仍間尺上定塵義范活數(shù)煩：箱對于炕任意牲x蘭,燙，卷則珍是一彩個完告?zhèn)涞臈疃攘咳蹩臻g裝。而門算子么是寄上的懂連續(xù)襯函數(shù)殃。攀傲當(dāng)價底格系鉆統(tǒng)無律套利殼時，箭有上察界，丙顯然蹈有下排界。窮從而保在鮮上有街最大室值，聯(lián)即最群優(yōu)化貢問題債（2胖-9扯）的春解存?zhèn)阍?。保飯反過貼來，吸當(dāng)最濟(jì)優(yōu)化址問題角（2資-9俯）的宜解存療在時憐，顯來然不四能存夕在套幅利機(jī)顏會。饒假設(shè)舉最優(yōu)芒化問洲題（焦2-級9）篩的解憲為投。設(shè)俱由摟融資晴的消敲費計俊劃為究。由災(zāi)第一晃章的割動態(tài)蘋規(guī)劃偶方法釘我們氣得到監(jiān)，對舞任意州有裁瀉（2酒-1遣0）由因為銅在時暴間搶是已嘗知的錄，（上2-播10趴）可輝以表洋示成扣疼（2郵-1堵1）鏈我們守對（鴨2-院11萬）可煤以作鹽如下養(yǎng)的解餡釋：普左邊佛是在鄭時間張少消使費一穩(wěn)份證怒券箏的邊俘際效末用，扒右邊顆是在功時間依+1姜多一尺份證踐券燒帶來捧的邊術(shù)際效劇用。賄在最責(zé)優(yōu)消轎費路侮徑上疏，左職右應(yīng)摘該相蹈等。陽注：啞由狀維態(tài)-明價格肌緊縮倍算子都的定衣義（隆2-己2）柜，我艱們知任道邊陵際效擱用函攔數(shù)就跪是狀黑態(tài)-污價格墳緊縮慶算子墻。環(huán)謠折現(xiàn)微債券及的價你格也湯滿足鍬類似律（2敞-1驚0）訊的關(guān)祝系，賽在任散意時勻間訪有。堪重復(fù)籠疊代秋上述滑關(guān)系堅，我脆們得眠到，曉對任球意夕有蘋。降吳斧念（2拘-1兔2）抖舊由（烈2-務(wù)11刃）、箭（2歐-1其2）株我們滲可以壺看出受，在到任意吃主觀塞概率陪之下謹(jǐn)，長譯期證疑券的續(xù)價格掩過程老一般泊來說姑不是悠鞅?？沟脠髢r格忘過程貢加上醉積累栽紅利歇在某仰個主驗觀概延率忍之下貓是鞅完的一婆個充宿分條因件是須，該浸個體罩是風(fēng)開險中赤性的取，且榆沒有瀉時間眾偏好戴。這鏟時屯對于早任意棟，身=常艷數(shù)甚因此釋（2腫-1臘1）活、（是2-顧12修）變墾成，疾對于芒任意霉時間敬抬丸單（2計-1肺3）濫若，渴倒綿住熄毀乖（2懲-1訴4）墨這里劍表示風(fēng)在概系率避之下簽的條蜓件期脈望。惹由（售2-愚14先）知啞利率順為零糾。峽豆定義扶證券娘的積濃累紅梨利為振：對邁任意惠在（佩2-安13扒）兩宰邊同抱加上延得到枝重復(fù)貿(mào)疊代補(bǔ)上述斬關(guān)系微，我啦們得餓到，貞對任頸意置有客。紐醬逆（2追-1艙5）玩從而廣在概鑼率黃之下潤，價訴格過謹(jǐn)程加訪上積執(zhí)累紅邀利之所和是擔(dān)鞅。酸苗當(dāng)沒嫁有個獲體是濱風(fēng)險泡中性仗者時催，通急過正刮規(guī)化毛和變掩換概張率測殘度，日長期跳證券魯?shù)膬r凳格加賤上紅厘利仍器舊與套鞅有崗關(guān)。找正規(guī)接化使奔得以朝某種疏長期礎(chǔ)證券距為單啄位的欠利率觀為零媽，而卵變換輩概率節(jié)測度遺包容定了風(fēng)頁險回扭避。上這是尸我們存下面樣將要海討論撫的內(nèi)善容。侄毅我們礙首先氏定義輕折現(xiàn)肅價格負(fù)系統(tǒng)懶和積圓累紅令利過常程牙如果隸，錫；，這里。黎是嚴(yán)罪格正乖的，免否則陵就存弊在套妖利機(jī)穴會，赴例如佳在為彈零的匙時候那買進(jìn)杰債券及，一姿直持源有到鋒時間屠。所訪以上器述的盼定義燒有意績義。儀鋼其次讀，我犁們定春義新房的概頑率測胡度浙如下出對任哲意的甜，賊。參頸（2其-1搞6）惜注：靠5．扔我們獻(xiàn)注意弦這個絹定義患只不做過是凝定理閱1的轎一個捐應(yīng)用賠。宏6．忙當(dāng)市秩場是昨完備帖的時澤候，巧最優(yōu)忘化問督題（跨2-晴9）吵可以越變成畫第一停章的貧最優(yōu)蹄化問忘題（酷1-翼9）漆，從冊而最棗優(yōu)性首一階桌條件摸變成夕（1蓋-7塘）。竟由于?。?表-7弟）獨量立于皆個體給，所壟以由原（2侮-1丸6）乘知道姑，隔定義汁的新騙概率壟測度鎖對所厚有個兔體均宅相同著。從拘而這狡與性堤質(zhì)2忽一致婚。銷下面丟我們摔證明扣是一看個定曬義在陶上的都概率礙。我噴們必施須證午明：區(qū)（1芝）對寒任意稿的倚有赤；（乎2）候。因看為邊悼際效騎用是拆嚴(yán)格惜正的霉，茶，且濤，所直以第工一條酒是顯盡然的咬。其致次，勝刺=勾薄=臟=1盤，掙這里紫的第吉三個邊等式嘗來源侮于（等2-傻12節(jié)）。靜拳下面核我們季證明遼在概吸率騾下，鉆是鞅沿，即愛是等砌價鞅填測度籃。首隆先我灰們給搞出當(dāng)弱時，掙給定匪，在伙概率頃下事消件勤的條蟲件概擔(dān)率域如果丹恒抄（2來-1喜7）瓜類似證地，渡我們握定義風(fēng)給定雙，在摟概率剖之下鎖事件伶的條伴件概奔率這。當(dāng)芬時，棋我們混有旁沖=食，幻鑒（2軟-1岡8）預(yù)這里筆表示鵝個體稅在時抽間風(fēng)當(dāng)事僑件張發(fā)生喝時的吃最優(yōu)凱消費刑，捉表示慚在概鏡率狐之下多事件臭發(fā)生疊的概虜率。賺由（壺2-淹12擾）我絨們知撤道當(dāng)莖時撈，名螺袍（2礙-1級9）野這里暮表示盆在時勞間磚當(dāng)事碼件攏發(fā)生拾時的曬債券姐價格先。把詳（2做-1嚴(yán)9）亮代入烏（2棉-1英8）痰我們夾有卷。婆頌悶（2妥-2歇0）紐林我們步把（搖2-慌20釋）代于入（槳2-盯10骨）得偷到，滔對所樸有拒，腿數(shù)瞞株（2埋-2胳1）脅這里燒表示牛在概晨率特之下輸?shù)臈l菠件期背望。左重新伐改寫席（2剪-2茄1）詞我們圖得到黨。賞誓辣（2籍-2撥2）爛我們黨比較掠（2盯-1貿(mào)3）適和（正2-桿22糞）可只以看鄉(xiāng)出，續(xù)這兩柔個式積子具俊有相遵同的護(hù)形式架，只炒不過林前者逼以消膝費品粗為單疫位，粥期望堡在概渠率稱之下處取得避，而鄉(xiāng)后者校以折里現(xiàn)債堅券為請單位訴，期洲望在呀之下糊取得機(jī)。采澆用由絕（2電-1緣3）衡得到頑（2尊-1水5）派的方盜法，朋我們玩可以完由（存2-弟22尋）得意到，抖對于鐘任意雖的倦有究。需脊炕證瞇（2愈-2反3）哈我們掉證明勻了在賞概率栽下，元是鞅波。至領(lǐng)于折收現(xiàn)債期券，矛，在永之下查顯然停為鞅亡?？实酱税榇烁?，我吼們證誘明了碗是等年價鞅歉測度班。嶼注：歷7.寄雖然瓦我們掩只是糊利用息某個臺個體略的主什觀概版率和揭他的吹邊際明效用邪來構(gòu)沾造等岸價鞅蟻測度鋪，但糾在這扮個等主價鞅搭測度零之下標(biāo)，對甜所有餐的個駱體而仁言，語正規(guī)拐化的桂價格若過程儲和正你規(guī)化副的紅挑利過清程之貫和為師鞅。賤2.驗4澤無套項利和箭存在寸等價擋鞅測成度等貓價性撫的一勵個應(yīng)級用居石我們傳在第麥一章清里介愧紹多版期證別券市滲場的絡(luò)動態(tài)糟完備淚性的踢時候末，我瘡們給局出一巷個價虧格系絹統(tǒng)的席例子里，當(dāng)覽時只移假設(shè)涉這個欲價格膠系統(tǒng)殿是無獵套利待的。姻現(xiàn)在夢我們易利用程無套享利與奪存在德等價塊鞅測滲度之顧間的嗓等價亡性來橡證明商這個臺價格隸系統(tǒng)比確實小不存滴在套蜘利機(jī)滋會。冷為了違討論驕方便撈，我福們重壘新給手出這所個價影格系松統(tǒng)，敏見圖腫2-纖1。別注意鎖這三有個證物券直炕到時掛間3可才支指付紅蜻利。譯在時逐間3媽給出的的就距是支坐付的券紅利喜。事妨件樹僑中的瓦每個尋分支英都有欲一個餃嚴(yán)格觀正的彈概率狹。捉寫在時領(lǐng)間1修，當(dāng)餐處于墳上面頸的結(jié)迎點時硬，設(shè)鈔分別膛表示憤的條葉件概釀率。命因為溫證券賢0的丙價格些過程頌加上楊積累碧紅利帆在所脊有的壤時間冠點均咽為1件，所均以折主現(xiàn)價晉格系屯統(tǒng)仍拉為原潮系統(tǒng)悉。如骨果存星在等嗓價鞅痕測度分，則涼必須竿滿足跡下面傻的線扒性方昌程：攔融嗎際攤?cè)剩?扛-2霉4）姜第一深個方亡程表次示條情件概染率的貴和應(yīng)例該為烈1。泡后三教個方丹程表走示各紙種證勝券在冷時間板2的僅價格嘉與積保累紅起利之作和的育條件縮期望驢值等叢于在打時間鋼1的像上結(jié)銷點的漢價格資與積叛累紅窄利之梅和。亡方程傭組（鈴2-望24艱）的呼唯一距解為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