二次曲線的定義

二次曲線的定義第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六一、二次曲線的代數定義

定義1

坐標滿足的所有點(x1,x2,x3)的集合稱為一條二階曲線.其中(aij)為三階實對稱陣,秩(aij)≧1。

定義1'

坐標滿足的所有直線[u1,u2,u3]的集合稱為一條二級曲線.其中(bij)為三階實對稱陣,秩(bij)≧1。二次曲線的射影定義

定義2′

如果T可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱T=0為退化二級曲線，否則稱為非退化二級曲線。

定義2

如果S可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱S=0為退化二階曲線，否則稱為非退化二階曲線。第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六命題

S=0退化|aij|=0.二次曲線的射影定義

注1.S,T均為高等代數中的實三元二次型。從代數上看，S=0和T=0為相同的代數對象；從幾何上看，它們是同一幾何對象的不同描述，因此統(tǒng)稱為二次曲線。

注2.

在需要時，S=0和T=0均可寫為矩陣格式：

注3.

由對偶原則，我們一般僅討論二階曲線，其結論均可對偶地適用于二級曲線。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六二、二次曲線的幾何結構

定理1

不同心的兩個射影線束對應直線交點的全體構成一條經過此二線束束心的二階曲線Γ.注：若已知兩個射影線束A+λB?A′+λB′的對應式則由此構成的二階曲線方程為

定理2

設二階曲線Γ由射影線束O(P)與O′(P)生成，則在Γ上任意取定相異二點A和B，與Γ上的動點M連線可得兩個射影線束

注：由本定理,一旦二階曲線由兩個射影線束生成，則其上點的地位平等，以曲線上任意相異二點為束心與曲線上的點連線則得到兩個也生成此曲線的射影線束。二次曲線的射影定義第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六定理2的證明.

設Γ由O(P)O′(P)生成，需證設所以只要證設分別以AM,BM截得注意到從而對應點的連線共點，即AA′,BB′,KK′共點于S。但是為定點，故當M變動時，KK′經過定點S，即二次曲線的射影定義則有第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

推論1

平面上五點(其中無三點共線)唯一確定一條非退化二階曲線。

推論1′平面上五直線(其中無三線共點)唯一確定一條非退化二級曲線。

推論2

任一二階曲線可由兩個射影線束生成。

推論2′

任一二級曲線可由兩個射影點列生成。

推論3

二階曲線上四個定點與其上任意一點連線所得四直線的交比為定值。

推論3′

二級曲線上四條定直線被其上任意一條直線所截得四點的交比為定值。

注：推論3對于解析幾何中的各種二次曲線都適用。二次曲線的射影定義第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六三、二次曲線的射影定義

由上述的兩個定理及其推論，我們有

定義3

在射影平面上，稱兩個射影線束對應直線交點的集合為一條二階曲線。

定義3′

在射影平面上，稱兩個射影點列對應點連線的集合為一條二級曲線。

思考：試研究本定義是如何包含退化二次曲線的。提示：考慮透視對應、射影變換的情況。二次曲線的射影定義第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例1

求由兩個射影線束x1–λx3=0,x2–μx3=0(λ+μ=1)生成的二階曲線方程。

解令利用定理1的證明，此二射影線束生成的二階曲線的方程為由λ+μ=1得a=0,b=c=1,d=–1,代入上式得即這是一條退化的二階曲線。二次曲線的射影定義第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六四、二階曲線的切線本部分總假定：所論二次曲線為非退化的.1.定義

定義4與二階曲線Γ交于兩個重合的點的直線稱為Γ的切線。二次曲線的射影定義第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六四、二階曲線的切線2、切線的方程問題：已知二階曲線求過定點P(p1,p2,p3)的Γ的切線方程。

設Q(q1,q2,q3)為平面上任一點，則直線PQ上任一點可表為

xi=pi+λqi。

PQ為Γ的切線PQ交Γ于兩個重合的點將xi=pi+λqi代入Γ：S=0后只有一個解。代入得即二次曲線的射影定義第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六為簡便計，我們引入記號代入(2)式得二次曲線的射影定義整理得第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六從而Q(q1,q2,q3)在過P(p1,p2,p3)的切線上(3)對λ有二重根(4)式即為Q(q1,q2,q3)是Γ過P(p1,p2,p3)的切線上的點的充要條件。習慣地，將其中的流動坐標qi換為xi，得到二階曲線過點P(p1,p2,p3)的切線方程為(5)式為一個二次方程，故經過平面上一點P一般有兩條切線。

如果P在Γ上，則Spp=0，從而，二階曲線上一點P處的切線方程為二次曲線的射影定義第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六注：Sp=0常用的等價寫法請自行證明這三種寫法確實都與Sp=0等價.(3)式與解析幾何中的切線方程一致二次曲線的射影定義第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六五、二級曲線的切點設

1.切點的定義2.切點方程一般(?！湓趌上的切點)：特殊(l屬于Γ′)：二次曲線的射影定義一般地，過平面上一點有?！涞膬蓷l直線。若過平面上某點P有且僅有?！涞囊粭l直線，則稱P為?！涞囊粋€切點。第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例2

如果兩個三點形ABC與A′B′C′

同時內接于一條二次曲線，

求證它們也同時外切于一條二次曲線。證.設交點D,E;D′,E′如圖。

因為A,B,C,A′,B′,C′在同一條二次曲線上，據二階曲線的射影定義有又

由二級曲線的射影定義，這兩個射影點列的對應點連線以及點列的底共六條直線屬于同一條二級曲線，這六條直線恰好是已知兩個三點形的六條邊。結論成立。注：本題的逆命題成立。

二次曲線的射影定義第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六六、二階曲線與二級曲線的統(tǒng)一

定理3(Maclaurin)一條非退化二階曲線的全體切線構成一條非退化二級曲線。

定理3′(Maclaurin)一條非退化二級曲線的全體切點構成一條非退化二階曲線。設由本定理，[u1,u2,u3]為Γ上一點處的切線展開,得注：本定理提供了二次曲線的點坐標、線坐標方程互化方法。

推論4

若bij=αAij(α≠0)，則S≡∑aijxixj=0與T≡∑bijuiuj

=0表示同一條二次曲線。二次曲線的射影定義第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例3求證：x1x3–x22=0與4u1u3–u22=0表示同一條二次曲線.

證明.第一步.驗證已知兩條二次曲線為非退化.第二步.將aij,u1,u2,u3代入(13)式,展開即得4u1u3–u22=0.二次曲線的射影定義第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六七、二階曲線束

定理4.4平面上兩條相異的二階曲線一般有四個交點.

證明.設Γ1：f≡∑aijxixj=0,

Γ2：g≡∑bijxixj=0,則聯(lián)立即為Γ1與Γ2的交點,顯然,在復數范圍內一般有四個解.

定義4.5設f=0,g=0為平面上兩條相異的二階曲線.則稱由所決定的二階曲線的全體為以f=0,g=0的四個交點為基點的二階曲線束.若f=0,g=0的四個交點相異,則稱為二階曲線的四點形束.

定理4.5經過平面上任一點P(非基點),必有一條二階曲線屬于已知束f+λg=0.

證明.因為P不是f=0與g=0的交點,故fpp與gpp不同時為零.不妨設gpp≠0.令則f+λ0g=0為過P且屬于f+λg=0的二階曲線.二次曲線的射影定義第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

定理4.6平面上任一二階曲線束中必有三條退化的二階曲線,它們是以四個基點為頂點的完全四點形的三雙對邊.

注：對定理4.6的直觀理解.如圖,三條相異的退化二階曲線為：實用性很強的兩種極限形式如下：只有兩條相異.只有兩條相異.二次曲線的射影定義第十九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期六

例4已知二階曲線Γ過點A(1,0,1),C(0,0,1),E(3,2,1),并與直線l1:x1–3x2–

x3=0,