基本不等式及不等式的應用

§7.3基本不等式及不等式的應用高考數學

(浙江專用)(2016浙江文,20,15分)設函數f(x)=x3+

,x∈[0,1].證明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)

<f(x)≤

.A組自主命題·浙江卷題組五年高考證明(1)1-x+x2-x3=

=

,由于x∈[0,1],故

≤

,即1-x+x2-x3≤

,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+

≤x+

=x+

-

+

=

+

≤

,所以f(x)≤

.由(1)得f(x)≥1-x+x2=

+

≥

,又因為f

=

>

,所以f(x)>

.綜上,

<f(x)≤

.疑難突破

(1)將證明f(x)≥1-x+x2轉化為證明1-x+x2-x3≤

成立,而左邊=

=

≤

=右邊,從而問題得證.(2)運用放縮思想,由0≤x≤1?x3≤x,從而f(x)=x3+

≤x+

,而x+

=x+

-

+

=

+

≤

,由(1)及f

=

>

得f(x)>

,從而問題得證.考點一基本不等式B組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組1.(2019天津理,13,5分)設x>0,y>0,x+2y=5,則

的最小值為

.答案4

解析本題主要考查利用基本不等式求最值;通過不等式的應用考查學生推理論證能力及運

算求解能力;體現了邏輯推理與數學運算的核心素養(yǎng).∵x+2y=5,x>0,y>0,∴

=

=

=2

+

≥2

=4

,當且僅當

即

或

時,原式取得最小值4

.2.(2019江蘇,10,5分)在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x+

(x>0)上的一個動點,則點P到直線x+y=0的距離的最小值是

.答案4解析本題通過曲線y=x+

(x>0)上的動點到直線的最小距離考查點到直線的距離公式、基本不等式等有關知識,利用點到直線的距離公式變形考查學生的運算求解能力,體現了從幾何

關系到代數關系的直觀想象和數學運算的核心素養(yǎng).設P

,x0>0,則點P到直線x+y=0的距離d=

=

≥4,當且僅當x0=

,即x0=

時取“=”.故點P到直線x+y=0的距離的最小值是4.一題多解

當點P到直線x+y=0的距離最小時,在點P處的切線與直線x+y=0平行.設P

,x0>0,易知y'=1-

,令1-

=-1,得

=2.∵x0>0,∴x0=

,∴P(

,3

).此時點P到直線x+y=0的距離為

=4.故點P到直線x+y=0的距離的最小值是4.3.(2019上海,7,5分)若x,y∈R+,且

+2y=3,則

的最大值為

.答案

解析本題主要考查函數的最值,考查學生的邏輯推理能力及運算求解能力.∵x>0,

=3-2y,∴3-2y>0,∴y<

,又y>0,∴0<y<

,∴

=3y-2y2=-2

+

,當y=

時,

=

.一題多解

∵x,y∈R+,則3=

+2y≥2

,∴

≤

,即

≤

,當且僅當

=2y=

,即x=

,y=

時,

取最大值,為

.4.(2018江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交

AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為

.答案9解析本題考查基本不等式及其應用.依題意畫出圖形,如圖所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即

csin60°+

asin60°=

acsin120°,∴a+c=ac,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,當且僅當

=

,即a=

,c=3時取“=”.一題多解

作DE∥CB交AB于E,∵BD為∠ABC的平分線,

∴

=

=

,∵DE∥CB,∴

=

=

=

,∴

=

,

=

.∴

=

+

.∴

=

,∴1=

+

+2·

·

|

|·|

|×

,∴1=

,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,當且僅當

=

,即a=

,c=3時取“=”.一題多解2

以B為原點,BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

則D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A

,C

.∵A,D,C三點共線,∴

∥

,∴

+

c

=0,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,當且僅當

=

,即a=

,c=3時取“=”.5.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+

的最小值為

.答案

解析本題主要考查運用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+

=2a+2-3b≥2

=2

=2

=

.當且僅當2a=2-3b,即a=-3,b=1時,2a+

取得最小值,為

.易錯警示利用基本不等式求最值應注意的問題:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,這三個條件缺一不可.(2)在運用基本不等式時,要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧,使其滿足基本不等式中

“正”“定”“等”的條件.6.(2017山東文,12,5分)若直線

+

=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為

.答案8解析本題考查基本不等式及其應用.由題設可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值為8.7.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,則

的最小值為

.答案4解析本題考查基本不等式的應用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(當且僅當a2=2b2時“=”成立),∴

≥

=4ab+

,由于ab>0,∴4ab+

≥2

=4

當且僅當4ab=

時“=”成立

,故當且僅當

時,

的最小值為4.規(guī)律方法

利用基本不等式求最值,若需多次應用基本不等式,則要注意等號成立的條件必須

一致.8.(2016江蘇,14,5分)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是

.答案8解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC為銳角三角形,∴tanA=

>0,tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,則t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,當且僅當t=

,即tanBtanC=2時,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值為8.考點二不等式的綜合應用1.(2019課標全國Ⅱ理,6,5分)若a>b,則

()A.ln(a-b)>0

B.3a<3bC.a3-b3>0

D.|a|>|b|答案

C本題考查不等式的性質及指數函數和對數函數的單調性;通過特值法和綜合法考

查了推理論證能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理.∵a>b,∴a-b>0,取a-b=1,則ln(a-b)=0.故A錯誤.由y=3x在R上單調遞增可知3a>3b,故B錯誤.由y=x3在R上是增函數可知a3>b3,故C正確.取a=0,b=-1,則|a|<|b|,故D錯誤.易錯警示

容易由a>b直接得|a|>|b|而致錯.2.(2019天津理,8,5分)已知a∈R.設函數f(x)=

若關于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,則a的取值范圍為

()A.[0,1]

B.[0,2]

C.[0,e]

D.[1,e]答案

C本題主要考查分段函數及不等式恒成立問題,考查學生推理論證能力及運算求解

能力,將恒成立問題轉化為求最值問題,考查了學生化歸與轉化思想及分類討論思想.(1)當x≤1時,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,①若a>1,則f(x)在(-∞,1]上是減函數,所以f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a≤1,則f(x)≥f(a)=2a-a2,要

使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a2≥0,得0≤a≤2,∴0≤a≤1,綜合①②可知,a≥0時,f(x)≥

0在(-∞,1]上恒成立.(2)當x>1時,lnx>0,f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤

恒成立.令g(x)=

,g'(x)=

,令g'(x)=0,得x=e,當x∈(1,e)時,g'(x)<0,g(x)為減函數,當x∈(e,+∞)時,g'(x)>0,g(x)為增函數,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.綜合(1)(2)可知,a的取值范圍是0≤a≤e,故選C.解后反思

求不等式恒成立時的參數取值范圍的方法:一是分離參數法,不等式f(x)≥a在R上

恒成立?f(x)min≥a,f(x)≤a在R上恒成立?f(x)max≤a;二是討論分析法,根據參數取值情況進行

分類討論,從而確定參數的取值范圍.3.(2017天津理,8,5分)已知函數f(x)=

設a∈R,若關于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,則a的取值范圍是

()A.

B.

C.[-2

,2]

D.

答案

A本題考查分段函數的應用及不等式恒成立問題.①當x≤1時,關于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等價于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3圖象的對稱軸為x=

,可得在x=

處取得最大值-

;由y=x2-

x+3圖象的對稱軸為x=

,可得在x=

處取得最小值

,則-

≤a≤

.②當x>1時,關于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等價于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,因為x>1,所以-

≤-2

=-2

,當且僅當x=

時取得最大值-2

;因為x>1,所以

x+

≥2

=2,當且僅當x=2時取得最小值2,則-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2,故選A.思路分析

討論當x≤1時,運用絕對值不等式的解法和分離參數,可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,再由二次函數的最值求法,可得a的取值范圍;討論當x>1時,同樣可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,從而可得a的取值范圍,求交集即可得到所求范圍.4.(2015課標Ⅱ,24,10分)設a,b,c,d均為正數,且a+b=c+d,證明:(1)若ab>cd,則

+

>

+

;(2)

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要條件.證明(1)因為(

+

)2=a+b+2

,(

+

)2=c+d+2

,由題設a+b=c+d,ab>cd得(

+

)2>(

+

)2.因此

+

>

+

.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因為a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得

+

>

+

.(ii)若

+

>

+

,則(

+

)2>(

+

)2,即a+b+2

>c+d+2

.因為a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.綜上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要條件.5.(2015湖南,16(3),6分)設a>0,b>0,且a+b=

+

.證明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.證明由a+b=

+

=

,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2

=2,即a+b≥2.(2)假設a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1

矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立.評析

本題考查基本不等式的應用、一元二次不等式的解法、反證法等知識.難度不大.考點一基本不等式三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎題組1.(2019浙江臺州高三上期末,4)已知實數a,b滿足a2+b2=4,則ab的取值范圍是

()A.[0,2]

B.[-2,0]

C.(-∞,-2]∪[2,+∞]

D.[-2,2]答案

D因為4=a2+b2≥2

,所以|ab|≤2,從而ab的取值范圍是[-2,2],故選D.2.(2019浙江諸暨高三上期末,7)已知a+2b=1(a>0,b>0),則

+

的最小值等于

()A.4

B.2

+2

C.

D.2

+1答案

B

+

=

+

=

+

-1=

(a+2b)-1=

+

+2≥2

+2,當且僅當a=

b時取到最小值.一題多解

+

=

+

=

+

+2≥2

+2,當且僅當a=

b時取到最小值.3.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(二),7)設a是實數2x,2y的等差中項,

是x,y的等比中項,則實數a的取值范圍是

()A.[0,4]

B.(-∞,0)∪[4,+∞)C.[-4,0)∪(0,4]

D.(-∞,-4]∪[4,+∞)答案

D由已知得a=x+y,|a|=xy,因為(x+y)2≥4xy,所以a2≥4|a|(a≠0),即|a|≥4,故選D.4.(2018浙江新高考調研卷五(紹興一中),15)已知a>0,b>0,ab+2a+b-3=0,則

+

的最小值為

.答案

解析由ab+2a+b-3=0得(a+1)(b+2)=5,所以

+

≥2

=

,當且僅當

=

時取等號.5.(2019浙江金麗衢第一次聯考,13)若實數x,y滿足x>y>0,且log2x+log2y=1,則

+

的最小值是

,

的最大值為

.答案2;

解析由已知可得log2xy=1,所以xy=2,則

+

≥2

=2,當且僅當x=2,y=1時取等號.令x-y=t>0,則

=

=

≤

=

,當且僅當t=2時取等號.6.(2019浙江學軍中學高三上期中,17)實數x、y、z滿足x2+y2+z2=1,則

xy+yz的最大值為

.答案

解析由于1=x2+y2+z2=

+

≥2

·xy+2

yz=

(

xy+yz),∴

xy+yz≤

=

,當且僅當

時取等號,故

xy+yz的最大值為

.1.(2019浙江高考數學仿真卷(三),8)已知x,y,z為正實數,且xy=2x+y=xyz+z,則z的最小值為

(

)A.

B.

C.1

D.

考點二不等式的綜合應用答案

B由xy=2x+y≥2

可得xy≥8(當且僅當x=2,y=4時取等號).而由xy=xyz+z=(xy+1)z可知

=

=1+

≤

.所以z≥

,即z的最小值為

.故選B.2.(2018浙江寧波模擬(5月),10)已知x,y均為非負實數,且x+y≤1,則4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范圍

為

()A.

B.[1,4]C.[2,4]

D.[2,9]答案

A解法一:令

=z,則x+y+2z=1,滿足x,y,z≥0,問題轉化為求4(x2+y2+z2)的取值范圍.設點A

,B(1,0,0),C(0,1,0),點P(x,y,z)可視為長方體的一個三角截面ABC上的一個點,則|OP|2=x2+y2+z2,于是問題轉化為求|OP|的取值范圍.顯然|OP|≤1,|OP|的最小值為O到平面ABC的距離,可以利用等積法計算.因為VO-ABC=VA-OBC,于是

可以得到|OP|≥

,所以|OP|2∈

,即4(x2+y2+z2)∈

.

解法二:因為x,y≥0,所以

≤x2+y2≤(x+y)2,令t=x+y,則0≤t≤1.4x2+4y2+(1-x-y)2≤4t2+(1-t)2=5t2-2t+1≤4.當xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0時取等號.另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)2≥2t2+(1-t)2=3t2-2t+1≥

.當且僅當x=y=

時取等號.所以4x2+4y2+(1-x-y)2∈

.3.(2017浙江金華十校聯考(4月),17)已知實數x,y,z滿足

則xyz的最小值為

.答案9

-32解析將

變形為

由|xy|≤

知,|1-2z|≤

,即-

≤1-2z≤

,解得2-

≤z≤

-2.所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在[2-

,

-2]上的最小值為9

-32.B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:15分鐘分值:28分一、選擇題(每小題4分,共8分)1.(2018浙江嘉興高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)內有兩個不同的零點,則f(m-1)和f(m+

1)()A.都大于1

B.都小于1C.至少有一個大于1

D.至少有一個小于1答案

D若f(x)在(m-1,m+1)內有兩個不同的零點,則設f(x)的兩個零點分別為x1,x2,不妨設x1<x

2,則m-1<x1<x2<m+1,且f(x)=(x-x1)(x-x2).因為f(m-1)=(m-1-x1)(m-1-x2)=(x1-m+1)(x2-m+1),f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2),所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2)<

·

=1,故f(m-1)和f(m+1)中至少有一個小于1,故選D.2.(2019浙江高考“超級全能生”聯考(2月),7)已知正數x,y滿足x+y=1,則

+

的最小值是

()A.

B.

C.

D.

答案

C∵x+y=1,∴2x+2+2y+1=5,∴

+

=

(2x+2+2y+1)·

=

≥

,當且僅當2x2-4y2+4x-4y+1=0時等號成立,故選C.3.(2019浙江臺州一中、天臺一中高三上期中,17)已知實數x,y滿足x2-y2-x+3y-2=0,則x2+y2的最

小值為

.二、填空題(共20分)答案

解析對x2-y2-x+3y-2=0配方得

=

,則(x+y-2)(x-y+1)=0(其幾何圖形為兩條互相垂直的直線).由幾何意義可知x2+y2的值為原點到兩直線上點的距離的平方,其最小值為原點到直線x-y+1=0

的距離的平方,所以

=

=

.4.(2019浙江金華十校高三上期末,16)已知x2+2y2-

xy=1(x、y∈R),則x2+y2的最小值為

.答案

解析解法一:設x2+y2=t,則x2+y