眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

優(yōu)選眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系當(dāng)前第1頁\共有18頁\編于星期四\19點一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛.當(dāng)前第2頁\共有18頁\編于星期四\19點平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即x=

1、

平均數(shù)

:由數(shù)據(jù)及頻率計算平均數(shù),即x=x1f1+x2f2+……xkfk(其中fk是xk的頻率。)2、加權(quán)平均數(shù)

:由數(shù)據(jù)及其權(quán)數(shù)和樣本容量計算平均數(shù),即x=(x1n1+x2n2+……xknk)/n(其中nk是xk的權(quán)數(shù),n為樣本容量,且n1+n2+……nk=n.)3、已知xn的平均數(shù)為x,則kxn+b的平均數(shù)為kx+b。平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù),即

當(dāng)前第3頁\共有18頁\編于星期四\19點

二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(在只有頻率分布直方圖的情況下，也可以估計總體特征,而且直方圖比較直觀便于形象地進(jìn)行分析。)

1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標(biāo)。當(dāng)最高矩形的數(shù)據(jù)組為〔a,b）時,那么(a+b)/2就是眾數(shù)。當(dāng)前第4頁\共有18頁\編于星期四\19點頻率組距0.10.20.30.40.5O0.511.522.533.544.5月平均用水量(t)例題分析:月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：(2+2.5)/2=2.25當(dāng)前第5頁\共有18頁\編于星期四\19點2、從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)

(中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線。）當(dāng)最高矩形的數(shù)據(jù)組為〔a,b）時,設(shè)中位數(shù)為(a+X)，根據(jù)中位數(shù)的定義得知，中位數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為0.5，列方程得：當(dāng)最高矩形的數(shù)據(jù)組之前所有小矩形的面積之和為fm；（頻率直方圖的面積計算，即組距乘以頻率/組距。）x*最高矩形的(頻率/組距)+fm=0.5求解X，那么a+X即為中位數(shù)。當(dāng)前第6頁\共有18頁\編于星期四\19點思考題：如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)？中位數(shù)左邊立方圖的小矩形面積為0.50~2的小矩形面積之和為：0.5×(0.08+0.16+0.30+0.44)=0.490.200.400.1000.511.522.533.544.50.500.30頻率/組距月均用水量/t0.080.160.440.5－0.49＝0.010.01/0.5=0.02如圖在直線t＝2.02之前所有小矩形的面積為0.5所以該樣本的中位數(shù)為2.02當(dāng)前第7頁\共有18頁\編于星期四\19點練習(xí).（廣東11變式題1）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，，分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)的中位數(shù)

.該產(chǎn)品數(shù)量在由此得到頻率當(dāng)前第8頁\共有18頁\編于星期四\19點

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.n個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式:X=假設(shè)每組數(shù)據(jù)分別為〔a1,b1）、〔a2,b2）、…

…

〔ak,bk）時,且每組數(shù)據(jù)相應(yīng)的頻率分別為f1、

f2、……

fk;那么樣本的平均數(shù)(或總體的數(shù)學(xué)期望)由下列公式計算即可。當(dāng)前第9頁\共有18頁\編于星期四\19點由頻率分布直方圖估計樣本平均數(shù)(或總體數(shù)學(xué)期望)公式：X=(a1+b1)/2*f1+(a2+b2)/2*f2+…

…(ak+bk)/2*fk(其中每組數(shù)據(jù)的頻率還可以由頻率直方圖的面積計算而得，即組距乘以頻率/組距。）

當(dāng)前第10頁\共有18頁\編于星期四\19點練習(xí).（廣東11變式題2）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，，分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)的平均數(shù)

.該產(chǎn)品數(shù)量在由此得到頻率當(dāng)前第11頁\共有18頁\編于星期四\19點總體分布的估計練習(xí)：對某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：

壽命個數(shù)100~200200~300300~400400~500500~6002030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計電子元件壽命在100h~400h以內(nèi)的概率；（4）估計電子元件壽命在400h以上的概率；（5）估計總體的數(shù)學(xué)期望.當(dāng)前第12頁\共有18頁\編于星期四\19點總體分布的估計

100~200200~300300~400400~500500~600壽命合計頻率頻數(shù)累積頻率20308040302000.100.150.400.200.1510.100.250.650.851頻率/組距當(dāng)前第13頁\共有18頁\編于星期四\19點總體分布的估計當(dāng)前第14頁\共有18頁\編于星期四\19點思考：從樣本數(shù)據(jù)可知，所求得該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān).注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計總體特征.當(dāng)前第15頁\共有18頁\編于星期四\19點三、用頻率分布直方圖估計總體數(shù)字的特征的利弊：總體的各種數(shù)值特征都可以由兩種途徑來估計，直接利用樣本數(shù)據(jù)或由頻率分布直方圖來估計。兩種方法各有利弊；比如：1、通過頻率分布直方圖的估計精度低；2、通過頻率分布直方圖的估計結(jié)果與數(shù)據(jù)分組有關(guān)；3、在不能得到樣本數(shù)據(jù)，只能得到頻率分布直方圖的情況下，也可以估計總體特征,而且直方圖比較直觀便于形象地進(jìn)行分析。當(dāng)前第16頁\共有18頁\編于星期四\19點四、三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點：（1）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它顯然對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征。（2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值不敏感有時也會成為缺點.（3）由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì)。但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低。當(dāng)前第17頁\共有18頁\編于星期四\19點1、在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為_________________；

2、已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差為2，求數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差？

9.5，0.016

解：平均數(shù)是6，