原創(chuàng)2022年《南方新課堂·高考總復(fù)習(xí)》數(shù)學(xué) 第三章 第7講 正弦定理和余弦定理配套課件

第7講正弦定理和余弦定理課標(biāo)要求考情分析通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題三角函數(shù)與解三角形交匯命題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意：1.強(qiáng)化正、余弦定理的記憶，突出一些推論和變形公式的應(yīng)用.2.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)充分利用向量方法推導(dǎo)正弦定理和余弦定理.3.重視三角形中的邊角互化，以及解三角形與平面向量和三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，能夠解答一些綜合問(wèn)題名稱(chēng)正弦定理余弦定理定理

＝______＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑a2＝_______________；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC1.正弦定理與余弦定理

csinCb2＋c2－2bccosA(續(xù)表)角的分類(lèi)A為銳角A為鈍角 或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r. 3.在△ABC中，已知

a，b和

A時(shí)，解的情況如下：題組一走出誤區(qū)1.(多選題)在△ABC中，角

A，B，C所對(duì)的邊分別為

a，b，)c，下列結(jié)論一定正確的是( A.a2＝b2＋c2－2bccosA

B.asinB＝bsinA

C.a＝bcosC＋ccosB

D.acosB＋bcosC＝c＝可得asinB＝bsinA，故B正確；解析：根據(jù)余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，故A正確；根據(jù)正弦定理

absinAsinB

根據(jù)正弦定理，a＝bcosC＋ccosB?sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，故C正確； 根據(jù)正弦定理的邊角互化可得sinAcosB＋sinBcosC＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，sinBcosC＝cosA·sinB，又sinB≠0， 所以cosC＝cosA，當(dāng)A＝C時(shí)，等式成立，故D不正確； 故選ABC.

答案：ABC題組二走進(jìn)教材

2.(必修5P4

練習(xí)1改編)在

△ABC中，已知

A＝45°，C＝30°，c＝10，則a＝________.

3.(必修5P8

練習(xí)2改編)在△ABC中，已知

a＝7，b＝10，c＝6，則最大角的余弦值為_(kāi)_______.

解析：由余弦定理得，最大角的余弦值為答案：－1584

題組三真題展現(xiàn)

4.(2017年全國(guó)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝______________.

解析：方法一，由

2bcosB＝acosC＋ccosA， 得2sinBcosB＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB，

方法二，2bcosB＝acosC＋ccosA答案：π35.(2019年上海)在△ABC中，AC＝3，3sinA＝2sinB，且

解析：∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理可得3BC＝2AC，∴由AC＝3，可得BC＝2，考點(diǎn)1正弦定理與余弦定理自主練習(xí)

1.(2017年全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝

，則C＝()A.

π12B.π6C.π4

πD. 3

解析：由題意，得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，得sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，即sinC·答案：B

2.(2019年全國(guó)Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，則B＝__________.

解析：bsinA＋acosB＝0， 即bsinA＝－acosB， 即sinBsinA＝－sinAcosB，sinB＝－cosB，

答案：3π 4

3.(2015年全國(guó)Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是________________.

解析：如圖D21，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與E重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝此時(shí)與AB交于F.在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝圖D214.(2019年全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，A.6B.5C.4D.3解析：由asinA－bsinB＝4csinC，得a2－b2＝4c2，a2＝答案：A答案：A

【題后反思】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息.一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.考點(diǎn)2正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用師生互動(dòng)

[例1](2019年全國(guó)Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC. (1)求A；

(2)若

a＋b＝2c，求sinC.

解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.因?yàn)?°<A<180°，所以A＝60°.

【題后反思】有關(guān)三角函數(shù)知識(shí)與解三角形的綜合題是高考題中的一種重要題型，解這類(lèi)題，首先要保證邊和角的統(tǒng)一，用正弦定理或余弦定理通過(guò)邊角互化達(dá)到統(tǒng)一.一般步驟為： ①先利用正弦定理或余弦定理，將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含有角的關(guān)系；②再利用三角函數(shù)的和差角公式、二倍角公式及二合一公式將三角函數(shù)化簡(jiǎn)及求值.【考法全練】

答案：B考點(diǎn)3三角形的面積問(wèn)題多維探究【考法全練】(1)求角A，B，C的大??；(2)求△ABC的周長(zhǎng)和面積.⊙轉(zhuǎn)化與化歸思想判斷三角形的形狀[例3](1)在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么這個(gè)三角形是()A.銳角三角形C.等腰三角形B.直角三角形D.等邊三角形

解析：方法一，∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，而sinA＝2sinCcosB， ∴2sinCcosB＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinCcosB＝sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0＝sin(B－C)，又∵B，C是△ABC的內(nèi)角，∴B＝C故.ABC是等腰三角形.方法二，sinA＝2sinCcosB，得a＝2ccosB，即a＝2c×a2＋c2－b2

2ac，a2＝a2＋c2－b2，得c2－b2＝0，∴b＝c故.ABC是等腰三角形.答案：C(2)已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，則△ABC的形狀是(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：方法一，已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理知上式可化為sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π.得2A＝2B或2A＝π－2B，

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.方法二，同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.答案：D∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2).即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.∴a＝b或

a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.＝＝(3)(多選題)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的是()A.若

a2＋b2－c2>0，則△ABC一定是銳角三角形B.若

abccosAcosBcosC，則△ABC一定是等邊三角形

C.若

acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形

D.若

acosB＋bcosA＝a，則△ABC一定是等腰三角形

解析：當(dāng)

a＝4，b＝2，c＝3時(shí)，a2＋b2－c2>0，△ABC為鈍角三角形，A錯(cuò)誤；＝因?yàn)?/p>

abcosAcosB＝

ccosC，所以tanA＝tanB＝tanC，且A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C，△ABC為等邊三角形，B正確；

不一定是等腰三角形，C錯(cuò)誤；

acosB＋bcosA＝a?sinAcosB＋sinBcosA＝sinA?sin(A＋B)＝sinA?sinC＝sinA，又因?yàn)锳，C∈(0，π)，所以A＝C.即△ABC為等腰三角形，D正確.

故選BD.

答案：BD【策略指導(dǎo)】三角形形狀的判定方法

(1)通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)注意一些常見(jiàn)的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝，cosAb2＋c2－a2(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sin

A＝

a2R＝2bc等，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷. (3)注意無(wú)論是化邊還是化角，在化簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)公因式不要約掉，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.1.(2013年陜西)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為(

)A.直角三角形C.鈍角三角形B.銳角三角形D.不確定

∴△ABC為直角三角形.故選A.

【高