2022-2023學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題4【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)直線.若，則（

）A．0或1 B．0或-1 C．1 D．-1【答案】A【分析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.2．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的漸近線方程直接求解即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的漸近線方程：，知：的漸近線方程為.故選：C.3．已知雙曲線（）的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】首先求出漸近線方程，依題意可得點(diǎn)在漸近線上，即可得到，再根據(jù)離心率公式計(jì)算可得.【詳解】雙曲線的漸近線為，設(shè)，，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限且在的漸近線上，是以為斜邊的等腰直角三角形，所以點(diǎn)在漸近線上，所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A4．方程表示橢圓的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．且 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓，列出不等式組，求出的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件概念即可求解.【詳解】若方程表示橢圓，則有，解得且，因?yàn)槭羌锨业恼孀蛹浴啊笔恰胺匠瘫硎緳E圓”的充分不必要條件，故選：B.5．已知拋物線，直線，，為上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到與的距離之和的最小值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用拋物線的定義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由，得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.由拋物線的定義可知，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)到與的距離之和的最小值為點(diǎn)到的距離，所以點(diǎn)到與的距離之和的最小值為.故選：A.6．已知橢圓的上頂點(diǎn)為B，斜率為的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可得，再利用重心的性質(zhì)可得點(diǎn)，從而利用可得，即可求離心率.【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)為，因?yàn)槎荚跈E圓上，所以，作差可得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉椤鰾MN的重心，所以，所以，則，所以，整理得，即，所以，則，所以離心率.故選:A.7．已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn).過的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)分別為的內(nèi)心，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，，，再由雙曲線的定義可得，進(jìn)而可得，設(shè)點(diǎn)J的橫坐標(biāo)，由題意可得橫坐標(biāo)為a，設(shè)直線AB的傾斜角，則可求得，再由的范圍即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，，設(shè)△的內(nèi)切圓M分別與、、相切于點(diǎn)、、，則，，，由雙曲線的定義知，，即：，所以，所以，設(shè)內(nèi)心M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)J的橫坐標(biāo)為，則，解得：，所以軸，則E為直線JM與x軸的交點(diǎn)，同理可得：△的內(nèi)心也在直線JM上，設(shè)直線AB的傾斜角為，則，，所以，由題意知，，，所以，所以，又因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為，過的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點(diǎn)，所以，所以，所以.故選：C.8．如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，記，則下列說法中：①，；②點(diǎn)在一條直線上；③；④以線段為直徑的圓與軸相切；⑤分別過兩點(diǎn)作拋物線的切線，則兩條切線互相垂直.正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可知①正確；分別表示出，結(jié)合韋達(dá)定理的結(jié)論可化簡(jiǎn)得到知②正確；根據(jù)與拋物線定義可化簡(jiǎn)得到③正確；根據(jù)線段中點(diǎn)到軸的距離為可知④正確；利用導(dǎo)數(shù)可求得拋物線在處的切線斜率，根據(jù)斜率乘積為可知⑤正確.【詳解】對(duì)于①，由拋物線方程，可得，設(shè)直線，，由，得，，，①正確；對(duì)于②，由題意知，，，，又，，在一條直線上，②正確；對(duì)于③，作垂直于拋物線準(zhǔn)線，垂足為，作軸，垂足為，設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)，由拋物線定義知，，又，，，又，，整理，可得，，③正確；對(duì)于④，線段中點(diǎn)為，又，線段中點(diǎn)到軸的距離為，以線段為直徑的圓與軸相切，④正確；對(duì)于⑤，當(dāng)時(shí)，，，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率；當(dāng)時(shí)，，，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，，兩條切線互相垂直，⑤正確.故選：D.二、多選題9．帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（

）A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法B．放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有種放法D．全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】ACD【分析】對(duì)A：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)B：分類討論一共用了幾個(gè)球，再結(jié)合捆綁法運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)D：利用捆綁法運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于A：每個(gè)球都可以放入4個(gè)不同的盒子，則共有種放法，A正確；對(duì)于B：放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，則有：全部投入4個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：先選擇4個(gè)球，有種，再選擇一個(gè)盒子，有種，故共有種放法，C正確；對(duì)于D：全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，則相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.10．已知在中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，為所在平面上一點(diǎn)，下列命題中正確的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．若，，，則有一解C．若，且，則為等邊三角形D．若，，則【答案】BCD【分析】由余弦函數(shù)性質(zhì)判斷A；由正弦定理判斷B；由向量的運(yùn)算結(jié)合幾何意義判斷C；由兩角和的正切公式判斷D．【詳解】在中，，，A錯(cuò)誤；若，，，因?yàn)?，則，只能為銳角，，三角形只有一解，B正確；向量平行于的平分線所在的直線，由知，該角平分線垂直于，因此是等腰三角形，且，由得，即，則為等邊三角形，C正確；，即，而，則有，又，則，D正確．故選：BCD11．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在圓上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為4B．的最大值為C．的面積的最大值為2D．當(dāng)最大時(shí)，的面積為1【答案】ABD【分析】由圓的方程得圓C是以為圓心，以2為半徑的圓，根據(jù)圓上點(diǎn)與兩定點(diǎn)及直線MN的位置關(guān)系，分析選項(xiàng)正誤.【詳解】圓C：，即，所以圓C是以為圓心，以2為半徑的圓.對(duì)于A，直線MN的方程為，過圓心，所以直線MN與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為直徑4，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，，當(dāng)點(diǎn)P為MN的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)P到直線MN的距離為d，則，因?yàn)橹本€MN過圓心，所以當(dāng)時(shí)，最大為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)MP與圓C相切時(shí)，最大，不妨設(shè)，此時(shí)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn)B．過點(diǎn)作圓的切線，則的方程為C．若圓與圓有唯一公切線，則D．圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2【答案】AD【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，，得到直線過定點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；過點(diǎn)作圓的切線，考慮斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)切線方程為，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圓和圓有唯一公切線得到兩圓內(nèi)切，然后根據(jù)內(nèi)切列方程求解即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)圓心到直線的距離得到直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圓上點(diǎn)到直線距離的最大值和最小值即可判斷圓上有幾個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】直線，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為2，所以時(shí)圓的切線，故B錯(cuò)；因?yàn)閳A和圓有唯一公切線，所以圓和圓內(nèi)切，圓：，圓：，所以，即，解得，故C錯(cuò)；圓上的圓心到直線的距離，所以圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為，則直線與圓的位置關(guān)系如下圖，又因?yàn)?，，所以圓上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，故D正確.故選AD.三、填空題13．已知點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，連接PF并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)B，則的最小值是___________.【答案】4【分析】求出焦點(diǎn)，設(shè).表示出，令，換元根據(jù)基本不等式即可求出答案.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，則由拋物線的定義得，.要使最小，則應(yīng)有，此時(shí)有.令，則，，因?yàn)椋@然有，則由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.故答案為：4.14．已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，分別為雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，直線l過點(diǎn)且與以為直徑的圓相切于點(diǎn)M．若直線l與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，且，則雙曲線C的離心率等于_________．【答案】【分析】利用已知條件，結(jié)合直角三角形以及雙曲線的定義，通過余弦定理，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.【詳解】作圖，如圖所示，可得：因?yàn)?，所以，結(jié)合雙曲線的定義，化簡(jiǎn)得：設(shè)則，故答案為：.15．若直線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則|PM|的最大值為______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線所過的定點(diǎn)和位置關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，顯然點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，當(dāng)點(diǎn)在如下圖位置時(shí)，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16．如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn).，歷時(shí)m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點(diǎn)歷時(shí)n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則_____________.【答案】/0.375【分析】由離心率比求得長(zhǎng)半軸與實(shí)半軸的比，根據(jù)橢圓與雙曲線的定義求兩種裝置中光線路程之比即得．【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距，由，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點(diǎn)F1，則有，，兩式相減得，將裝置中的去掉，則有，所以故答案為：．四、解答題17．已知的展開式中，其前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于56.(1)求展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】(1)1024(2)180【分析】（1）根據(jù)前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和列出方程，求出，進(jìn)而求出所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）利用展開式的通項(xiàng)公式，令的次數(shù)為0，求出，得到答案.【詳解】（1）前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，解得或-11（舍去），中，展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為；（2）的展開式通項(xiàng)公式為，令得，故.18．的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.點(diǎn)為邊上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，記交于點(diǎn)，若已知.(1)當(dāng)時(shí)，求.(2)當(dāng)長(zhǎng)為何值時(shí)，從點(diǎn)處看線段的視角（即）最大？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，從點(diǎn)處看線段的視角（即）最大.【分析】（1）根據(jù)已知條件及余弦定理的推理，利用同角三角函數(shù)函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、余弦定理及勾股定理的逆定理，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義及兩角和的余弦公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及銳角三角函數(shù)的定義，利用兩角差的正切公式及基本不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所?又，所以,所以，又，所以，即，所以.由，可知為的中點(diǎn)，因?yàn)樗?所以.（2）設(shè)記,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即從點(diǎn)處看線段的視角（即）最大.19．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，分別與圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)直線，斜率分別為，．①求證：為定值；②求證：直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到，可得，從而求解；（2）①設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合可得，進(jìn)而求證；②設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，再結(jié)合即可得證.【詳解】（1）易知直線與x軸交于，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，則拋物線方程為．（2）①設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，得，所以，又，所以，即，則．②設(shè)直線方程為，，聯(lián)立方程組，得，所以，，．整理得，，所以直線過定點(diǎn)．20．已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過作斜率之積為1的兩條直線與，設(shè)交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，．試問：直線是否恒過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出與的面積之比；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)恒過定點(diǎn)，與的面積之比2，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)給定的條件，列出關(guān)于的方程組，再求解作答.（2）設(shè)出直線、的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再求出直線的方程即可作答.【詳解】（1）設(shè)橢圓半焦距為c，依題意可得，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）直線恒過定點(diǎn)，設(shè)直線，，，由消去x得，則，設(shè)點(diǎn)，則，，即，顯然直線，同理可得，直線的斜率有，因此直線，即，過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)是線段中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，則，所以直線恒過定點(diǎn)，與的面積之比為2.21．已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)為.(1)求C的方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)的任一直線l與橢圓C分別相交于M，N兩點(diǎn)，且AM，AN與直線