2021年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)二》試題（網(wǎng)友回憶版）

2021年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)二》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.當(dāng)x→0時(shí)，是x7的()。A.低階無(wú)窮小B.等價(jià)無(wú)窮小C.高階無(wú)窮小D.同階但非等價(jià)無(wú)窮小參考答案：C參考解析：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，，所以是x7的高階無(wú)窮小，故選C項(xiàng)。[單選題]2.函數(shù)，在x＝0處()。A.連續(xù)且取極大值B.連續(xù)且取極小值C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為0參考答案：D參考解析：因?yàn)楣蔲（x）在x＝0處連續(xù)。因?yàn)楣蔲′（0）＝1/2，故選D項(xiàng)。[單選題]3.有一圓柱體，底面半徑與高隨時(shí)間變化的速率分別為2cm/s，－3cm/s，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm，高為5cm時(shí)，圓柱體的體積與表面積隨時(shí)間變化的速率分別為()。A.125πcm3/s，40πcm3/sB.125πcm3/s，－40πcm3/sC.－100πcm3/s，40πcm3/sD.－100πcm3/s，－40πcm3/s參考答案：C參考解析：由題意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，則當(dāng)r＝10，h＝5時(shí)，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故選C項(xiàng)。[單選題]4.設(shè)函數(shù)f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2個(gè)零點(diǎn)，則b/a的取值范圍為()。A.（e，＋∞）B.（0，e）C.（0，1/e）D.（1/e，＋∞）參考答案：A參考解析：函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，則有駐點(diǎn)x＝b/a，得：在區(qū)間（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）單增；在區(qū)間（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）單減。即f（b/a）為函數(shù)f（x）的極小值，若f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，則f（b/a）＝a·b/a－bln（b/a）＜0，從而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故選A項(xiàng)。[單選題]5.設(shè)函數(shù)f（x）＝secx在x＝0處的2次泰勒多項(xiàng)式為1＋ax＋bx2，則()。A.a＝1，b＝－1/2B.a＝1，b＝1/2C.a＝0，b＝－1/2D.a＝0，b＝1/2參考答案：D參考解析：由函數(shù)知f（0）＝sec0＝1由麥克勞林公式知代入上述數(shù)值得與題給多項(xiàng)式相比較，得a＝0，b＝1/2，故選D項(xiàng)。[單選題]6.設(shè)函數(shù)f（x，y）可微，且f（x＋1，ex）＝x（x＋1）2，f（x，x2）＝2x2lnx，則df（1，1）＝()。A.dx＋dyB.dx－dyC.dyD.－dy參考答案：C參考解析：記?f/?x＝f1′，記?f/?y＝f2′，則題給兩式對(duì)x求導(dǎo)得將分別代入（1）（2）式有聯(lián)立可得f1′（1，1）＝0，f2′（1，1）＝1，df（1，1）＝f1′（1，1）dx＋f2′（1，1）dy＝dy，故選C項(xiàng)。[單選題]7.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，則()。A.B.C.D.參考答案：B參考解析：由定積分的定義知，將（0，1）分成n份，取中間點(diǎn)的函數(shù)值，則故選B項(xiàng)。[單選題]8.二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3ub>－x_{1）2的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)依次為()。A.2，0B.1，1C.2，1D.1，2參考答案：B參考解析：f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2－（x3－x1）2＝2x22＋2x1x2＋2x2>x3}＋2x₃x1所以故特征多項(xiàng)式為令上式等于0，故特征值為－1，3，0，故該二次型的正慣性指數(shù)為1，負(fù)慣性指數(shù)為1，選B項(xiàng)。[單選題]9.設(shè)三階矩陣A＝（1，2，3），B＝（1，2，3），若向量組1，2，3可以由向量組1，2，3線性表出，則()。A.Ax＝0的解均為Bx＝0的解B.ATx＝0的解均為BTx＝0的解C.Bx＝0的解均為Ax＝0的解D.BTx＝0的解均為ATx＝0的解參考答案：D參考解析：由題意得，存在矩陣P，使得BP＝A，則當(dāng)BTx0＝0時(shí)，ATx0＝（BP）Tx0＝P^T>BTx0＝0恒成立，故選D項(xiàng)。[單選題]10.已知矩陣，若下三角可逆矩陣P和上三角可逆矩陣Q，使PAQ為對(duì)角矩陣，則P，Q可以分別取()。A.B.C.D.參考答案：C參考解析：由增廣矩陣得則又則故選C項(xiàng)。[問(wèn)答題]1.（本題滿分10分）求極限。參考答案：又因?yàn)閷⑸鲜酱氲肹問(wèn)答題]2.（本題滿分12分）已知，求f（x）的凹凸性及漸近線。參考答案：將函數(shù)化為分段函數(shù)得函數(shù)求導(dǎo)得x＞0時(shí)x≤0時(shí)可得其拐點(diǎn)為x＝－1，x＝0。（注：x＝2是其駐點(diǎn)，不是拐點(diǎn)）所以則函數(shù)凹區(qū)間為（－∞，－1），（0，＋∞），凸區(qū)間為（－1，0）。因?yàn)椋蕏＝－1是垂直漸近線。又由于，則斜漸近線是y＝x－1，y＝－x－1。[問(wèn)答題]3.（本題滿分12分）f（x）滿足，L為曲線y＝f（x）（4≤x≤9），L的弧長(zhǎng)為s，L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的面積為A，求s和A。參考答案：兩邊對(duì)x求導(dǎo)得則曲線的弧長(zhǎng)曲面的側(cè)面積[問(wèn)答題]4.（本題滿分12分）函數(shù)y＝y(tǒng)（x）的微分方程為xy′－6y＝－6，滿足。（1）求y（x）；（2）P為曲線y＝y(tǒng)（x）上的一點(diǎn)，曲線y＝y(tǒng)（x）在點(diǎn)P的法線在y軸上的截距為Iy，為使Iy最小，求P的坐標(biāo)。參考答案：（1）方程化簡(jiǎn)為，所以將代入，C＝1/3，所以y（x）＝1＋x6/3。（2）設(shè)P（x，y），則過(guò)P點(diǎn)的切線方程為Y－y＝2x5（X－x），法線方程為。令X＝0，且y＝1＋x6/3，則，為偶函數(shù)，僅考慮（0，＋∞）即可。令，求得駐點(diǎn)為x＝1。所以x∈（0，1），Iy′＜0，Iy＞Iy（1）＝11/6；x∈（1，＋∞），Iy′＞0，Iy＞Iy（1）＝11/6。所以P（±1，4/3）時(shí)，Iy最小，為11/6。[問(wèn)答題]5.（本題滿分12分）曲線（x2＋y2）2＝x2－y2（x≥0，y≥0）與x軸圍成的區(qū)域?yàn)镈，求。參考答案：化作極坐標(biāo)求解得[問(wèn)答題]6.（本題滿分12分）設(shè)矩陣僅有2個(gè)不同的特征值，若A相似于對(duì)角矩陣，求a，b的值，并求可逆矩陣P，使得P－1AP為對(duì)角矩陣。參考答案：令則b分情況討論。（1）當(dāng)b＝3時(shí)，由A相似于對(duì)角矩陣可知，二重根λ1＝λ2＝3至少對(duì)應(yīng)存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則由得a＝－1，此時(shí)λ1＝λ2＝3所對(duì)應(yīng)特征向量為λ3＝1所對(duì)應(yīng)特征向量為則（2）當(dāng)b＝1時(shí)，由A相似對(duì)角化可知，二重根λ1＝λ2＝1至少對(duì)應(yīng)存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則由得a＝1，此時(shí)λ1＝λ2＝1所對(duì)應(yīng)特征向量為λ3＝3所對(duì)應(yīng)特征向量為則[填空題]1.。參考答案：1/ln3參考解析：[填空題]2.設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由參數(shù)方程確定，則。參考答案：2/3參考解析：由參數(shù)方程的求導(dǎo)公式得將t＝0代入得。[填空題]3.設(shè)函數(shù)z＝z（x，y）由方程（x＋1）z＋ylnz－arctan（2xy）＝1確定，則。參考答案：1參考解析：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得，當(dāng)x＝0，y＝2時(shí)，代入原方程得z＝1，再將x＝0，y＝2，z＝1代入上式，得?z/?x＝1。[填空題]4.已知函數(shù)，則f′（π/2）＝。參考答案