高中數(shù)學第三章復數(shù)歸納整合課件新人教版選修222f

本

章

歸

納

整

合知識網(wǎng)絡要點歸納復數(shù)的概念：(1)虛數(shù)單位i；(2)復數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)復數(shù)的實部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)．復數(shù)集：復數(shù)a＋bi

a，b∈R虛數(shù)b≠0實數(shù)b＝0有理數(shù)整數(shù)分數(shù)無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)純虛數(shù)a＝0非純虛數(shù)a≠03．復數(shù)的四則運算，若兩個復數(shù)z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；(2)減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；z2乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；除法：z1

＝

a1a2＋b1b2＋a2b1－a1b2i

＝

a1a2＋b1b2

＋a2＋b2

a2＋b22

2

2

2a

b

－a

b2

1

1

22a2＋b222i(z

≠0)；實數(shù)四則運算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復數(shù)的情況；特殊復數(shù)的運算：in(n

為正整數(shù))的周期性運算；(1±i)2＝±2i；若

ω

1

3i，則

ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.＝－2±

2共軛復數(shù)與復數(shù)的模若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z

＝a－bi，z＋z

為實數(shù)，z－z

為純虛數(shù)(b≠0)．復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，|z|＝

a2＋b2，且z·z

＝|z|2＝a2＋b2.5．復數(shù)的幾何形式→用向量OZ表示復數(shù)z＝a＋bi，(a，b∈R)，用點Z(a，b)表示復數(shù)z＝a＋bi，(a，b∈R)，Z

稱為z

在復平面上的對應點，復數(shù)與復平面上的點一一對應(坐標原點對應實數(shù)0)．任何一個復數(shù)z＝a＋bi

一一對應著復平面內(nèi)一個點Z(a，b)，→也一一對應著一個從原點出發(fā)的向量OZ.復數(shù)加、減法的幾何意義復數(shù)加法的幾何意義→

→若復數(shù)z1、z2

對應的向量OZ1、OZ2不共線，則復數(shù)z1＋z2

是以→

→

→OZ1、OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的對角線OZ所對應的復數(shù)．復數(shù)減法的幾何意義→

→復數(shù)

z1－z2

是連接向量OZ1

、OZ2的終點，并指向

Z1

的向量所對應的復數(shù)．專題一

復數(shù)的概念及幾何意義復數(shù)的概念是掌握復數(shù)的基礎，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)相等、復數(shù)的模等．有關復數(shù)的題目不同于實數(shù)，應注意根據(jù)復數(shù)的相關概念解答．【例1】當實數(shù)a

為何值時，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.(1)為實數(shù)；

(2)為純虛數(shù)；(3)對應的點在第一象限內(nèi)；(4)復數(shù)z

對應的點在直線x－y＝0.解

(1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得

a＝1

或

a＝2.(2)z

為純虛數(shù)，a2－2a＝0，2a

－3a＋2≠0，即a＝0或a＝2，a≠1且a≠2.故a＝0.(3)z

對應的點在第一象限，則a2－2a＞0，2a

－3a＋2＞0，∴a＜0，或a＞2，a＜1，或a＞2，∴a＜0，或a＞2.∴a

的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依題設(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，∴a＝2.專題二

復數(shù)的四則運算復數(shù)加、減、乘、除運算的實質(zhì)是實數(shù)的加減乘除，加減法是對應實、虛部相加減，而乘法類比多項式乘法，除法類比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.在進行復數(shù)的運算時，要靈活利用i，

ω的性質(zhì)，或適當變形創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為關于i，ω的計算問題，并注意以下結(jié)論的靈活應用：2±

2

i(1)設

ω＝－1

3

，則

ω2＝

ω12，ω＝ω

，3n＋3n

1＋ω

＝1，ω

＝ω(n∈N

)等．(2)1

3

±

i3＝－1.2

2

(3)作復數(shù)除法運算時，有如下技巧：a＋bib－ai＝a＋biib－aii＝a＋biia＋bi＝i，利用此結(jié)論可使一些特殊的計算過程簡化．z2－2z【例2】已知復數(shù)z＝1－i，則z－1

＋z

＝A．1－i

B．－2i

C．1＋i

D．－2(

)．z2－2z解析

先計算

z1＝

z－1

，再計算

z1＋

z

.法一＝z2－2z

1－i2－21－i

－2i－2＋2iz－1

＝

1－i－1

－i－2i＝－i·i＝－2i，z2－2z∴z－1

＋z

＝－2i＋1＋i＝1－i.故選A.法二z2－2z

z－12－1z－1

＝

z－11＝z－1－z－1＝(－i)－1

i－i

－i·i＝－i－

＝－2i.z2－2z∴z－1

＋z

＝－2i＋1＋i＝1－i.故選A.答案

A2＋2i4【例3】計算：(1)1－3i5；(2)－2

3＋i1＋2

3i

2

1－i＋

2

006.2＋2i4解

(1)1－3i5＝241＋i4－251—＋3

2

2i5＝－242i2125

－

＋2

2i

213

3

＝2－2＋

2

i＝－1＋3i；(2)－2

3＋i1＋2

3i

2

1－i＋

2

006＝－2

3＋ii1＋2

3ii＋21

003－2i1

003＝－2

3＋iii－2

3—

1

1i1

003＝i－－i＝i－i＝0.專題三

共軛復數(shù)與模共軛復數(shù)與復數(shù)的模是復數(shù)中兩個重要的概念，在解決有關復數(shù)問題時，除用共軛復數(shù)定義與模的計算公式解題外，也常用下列結(jié)論簡化解題過程：

1z(1)|z|＝1?z＝

；(2)z∈R?

z

＝z；(3)z≠0，z

為純虛數(shù)?z

＝－z.【例4】設z1、z2∈C，且|z1|＝1，|z2|≠1，求

z1＋z21＋

z1

·z2的值．解

∵|z1|＝1，∴|z1|2＝z1·z1＝1.從而1＋

z1

z2

＝

z1＋z2

z1＋z2

z1

z1＋z2

1

z1

＝

＝1|z1|＝1.【例5】已知z∈C，解方程z·z

－3i

z

＝1＋3i.解

∵z·z

＝|z|2，把方程變形為z

＝－1＋1－|z|23i，①兩邊取模得|

z

|2＝|z|2＝1＋1－|z|229.整理得|z|4－11|z|2＋10＝0.解得|z|2＝1

或|z|2＝10.將其代入①得z

＝－1

或z

＝－1－3i.∴z＝－1

或z＝－1＋3i專題四

復數(shù)的幾何意義復數(shù)的幾何意義包括三個方面：復數(shù)的表示(點和向量)、復數(shù)的模的幾何意義及復數(shù)運算的幾何意義．復數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學思想方法，即通過幾何圖形來研究代數(shù)問題．任何一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內(nèi)一點Z(a，b)對應，而任一點Z(a，b)又可以與以原點為起點，點Z(a，b)為終點的→向量OZ對應，這些對應都是一一對應，由此得到復數(shù)的幾何解法，特別注意|z|、|z－a|的幾何意義——距離．復數(shù)加減法幾何意義的實質(zhì)就是平行四邊形法則和三角形法則．由減法的幾何意義知|z－z1|表示復平面上兩點Z，Z1

間的距離．復數(shù)形式的基本軌跡當|z－z1|＝r，表示復數(shù)z

對應的點的軌跡是以z1對應的點為圓心，半徑為r

的圓；單位圓|z|＝1.當|z－z1|＝|z－z2|，表示以復數(shù)z1、z2

的對應點為端點的線段的垂直平分線．【例6】已知復數(shù)z1＝i(1－i)3，

(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解

(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝

22＋－22＝2

2.(2)法一

|z|＝1，∴設

z＝cos

θ＋isin

θ，|z－z1|＝|cos

θ＋isin

θ－2＋2i|＝

cos

θ－22＋sin

θ＋22

π＝

9＋4

2sinθ－4.

π當sinθ－4＝1

時，|z－z1|取得最大值

9＋4

2，從而得到|z－z1|的最大值

2

2＋1.法二

|z|＝1可看成半徑為

1，圓心為(0,0)的圓，而

z1對應坐標系中的點(2，－2)．∴|z－z1|的最大值可以看成點(2，－2)到圓上的點距離最大，由圖可知：|z－z1|max＝2

2＋1.專題五

復數(shù)問題實數(shù)化的思想復數(shù)的代數(shù)形式z＝x＋yi(x，y∈R)，從實部虛部來理解一個復數(shù)，把復數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)x，y應該滿足的條件，從而可以從實數(shù)的角度利用待定系數(shù)法和方程思想來處理復數(shù)問題．【例7】已知x，y

為共軛復數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.解

設

x＝a＋bi，(a，b∈R)，則

y＝a－bi.又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，∴4a2＝4，2

2a

＋b

＝2，∴a＝1，b＝1或a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1或a＝－1，b＝－1，∴x＝1＋i，y＝1－i或y＝1＋i或y＝－1－i或x＝1－i，

x＝－1＋i，

x＝－1－i，y＝－1＋i.【例8】設存在復數(shù)z

同時滿足下列兩個條件：①復數(shù)z

在復平面內(nèi)的對應點位于第二象限；②z·z

＋2iz＝8＋ai(a∈R)．求a

的取值范圍．解

設

z＝x＋yi(x，y∈R)，由①得

x＜0，y＞0.由②得x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai，由復數(shù)相等的充要條件，得x2＋y2－2y＝8，2x＝a，即x2＋y－12＝9，a＝2x.∵x2＋(y－1)2＝9

表示以(0,1)為圓心，3

為半徑的圓，且x＜0，∴－3≤x＜0，∴－6≤2x＜0，即－6≤a＜0，∴a

的取值范圍是[－6,0)．命題趨勢復數(shù)是高考必考的內(nèi)容之一，幾乎每年都要涉及一道選擇題，難度不大，以考查復數(shù)的概念和代數(shù)運算為主，有時還考查復數(shù)的模和復數(shù)加減法的幾何意義．通過對近幾年高考的分析，發(fā)現(xiàn)有以下命題規(guī)律：一是對復數(shù)的概念和四則運算的考查應準確理解虛數(shù)單位、復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、實部、虛部、復數(shù)的模等概念，對復數(shù)四則運算的考查可能性較大，要加以重視，其中復數(shù)的乘法運算與多項式的乘法運算類似；對于復數(shù)的除法運算，將分子分母同時乘以分母的共軛復數(shù)．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的結(jié)構(gòu)形式．二是對復數(shù)幾何意義的考查．在高考中一般會結(jié)合復數(shù)的概念、復數(shù)的加減運算考查復數(shù)的幾何意義、復數(shù)加減法的幾何意義．高考真題1＋2ibi1．(2010·遼寧高考)設

a，b

為實數(shù)，若復數(shù)a＋

＝1＋i，則(

)．213A．a(chǎn)＝

，b＝2B．a(chǎn)＝3，b＝1231C．a(chǎn)＝

，b＝2D．a(chǎn)＝1，b＝31＋2i解析

a＋bi＝1＋i?1＋2i＝(1＋i)(a＋bi)?1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i??3a＝2，a－b＝1，a＋b＝2

b＝12.故選A.答案

A2．(2010·全國高考)已知z—1＋i＝2＋i，則復數(shù)z＝(

)．A．—1＋3iC．3＋iB．1－3iD．3－i—解析

由已知得

z

＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，z＝1－3i，故選

B.答案

B－

－3．(2011·全國高考)復數(shù)

z＝1＋i，

z

為

z

的共軛復數(shù)，則

z

z

－z－1＝A．—2iC．i(

)．B．—iD．2i—解析

∵z＝1＋i，∴

z

＝1－i，—2∴z·

z

＝|z|

＝2，—∴z·

z

－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.答案

B4．(2011·湖北高考)i

為虛數(shù)單位，則1＋i1－i2

011＝(

)．A．—iC．iB．—1D．1解析

∵＝1＋i

1＋i21－i

1－i1＋i＝i，1＋i1－i∴

2011＝i2

011＝i4×502＋3＝i3＝－i.答案

A5．(2011·課標全國高考)復數(shù)

2＋i

1－2i的共軛復數(shù)是(

)．A．—3i5C．—i3B.5iD．i解析

法一∵1－2i＝1－2i1＋2i＝2＋i

2＋i1＋2i

2＋i＋4i－25＝i，

2＋i

∴1－2i的共軛復數(shù)為－i.法二

∵

2＋i

＝－